Контрольная работа по Математике

Министерство  образования и науки Российской Федерации

 

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального  образования

 

«САРАТОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

 

 

Контрольная работа

по Математике

 

Работу выполнила

Зинковская Любовь Константиновна  

Студентка 1 курса заочного отделения

педагогики  начального и специального образования факультета СГУ

группа № 145

 

 

 

 

проверил: 

доцент Литвинова О.А.

 

2013 год

 

 

Контрольная работа

 

1.     Докажите, что

а) 3 < 5;

Возьмем множество А, которое является представителем класса «число 3», например, А=. Возьмем множество В, которое является представителем класса «число 5», например В=. Поставим в соответствие каждому кругу из множества А треугольник из множества В, множество таких треугольников. В₁= является подмножеством множества В. Итак, множество А равномощно множеству В₁, которое является собственным подмножеством множества В. Поэтому по определению отношения «меньше» 3<5.

А

В\В₁

В₁

 

 

 

 

 

 

б) 24 + 32 > 22 + 32;

В левой и правой части  неравенства записаны суммы, состоящие  из двух слагаемых 24;32 и 22;32. Вторые слагаемые  в этих суммах равны числу 32, значит для того, чтобы узнать, какая  сумма больше, нужно сравнить слагаемые 24 и 22.

Возьмем множество А, которое является представителем класса «число 24» и множество В, являющееся представителем класса «число 22». В множестве А можно выделить собственное подмножество А, равномощное множеству В, значит 22<24, 24>22 и 24+32>22+32.

в) 4×6 > 4×3.

В левой части неравенства  произведение 4×6 равно сумме шести  слагаемых, каждое из которых равно  четырем:4+4+4+4+4+4. В правой части неравенства  произведение 4×3 равно сумме трех слагаемых, каждое из которых равно  четырем: 4+4+4.

4+4+4+4+4+4>4+4+4, значит 4×6 > 4×3.

2.     Примените законы сложения и умножения и вычислите результат, каждый случай использования законов объясните:

а) 4064 + (1732 + 936);

Поменяем местами слагаемые, применив коммутативное свойство сложения

936+1732

4064+(936+1732)=

Переставим скобки, применим ассоциативное свойство  сложения

=(4064+936)+1732=

Выполним сложение в скобках  и найдем окончательный результат.

5000+1732=6732.

Ответ: 6732.

б) 486 + 387 + 813 + 914;

Применив коммутативное  свойство сложения, поменяем слагаемые  местами

=486+914+387+813=

Применив ассоциативное  свойство сложения, переставим скобки

=(486+914)+(387+813)=

Выполним сложение в скобках  и найдем окончательный результат

=1400+1200=2600. 

Ответ:  2600.

в) 624∙187 + 376∙187.

Применим дистрибутивное свойство сложения

624*187+376*187=

=187*(624+376)=

Выполним сложение в скобках  и найдем конечный результат

=187*1000=187000.

Ответ:  187000.

3.     Докажите, что для любых натуральных чисел a , b и c верно утверждение: если а = b , то а + с = b + с .

Пусть А это множество класса «число а», В – множество класса «число b». Если а= b, то n(A)=n(B), число элементов в этих множествах одинаковое. А ~ В. Рассмотрим множество класса «число с» и найдем число элементов объединения множеств

АUС=n(АUС)=n(A)+n(C)

BUC=n(BUC)=n(B)+n(C)

n(A)+n(C)=n(B)+n(C), т.к. к равным числам элементов множества А и В добавляется одно и то же число n(C) элементов множества С. Объединение множеств АUС равномощно объединению множеств ВUС, тогда а+с=b+c.

4.  Дайте теоретико-множественное обоснование вычитания и умножения, наглядно  проиллюстрировав каждое условие:  

а) Из коробки вынули сначала 6 карандашей, а затем  2 карандаша вернули обратно. Сколько всего карандашей вынули из коробки?

А

В задаче рассматриваются  три множества: множество А карандашей, вынутых из коробки первоначально, множество В карандашей, вернувшихся  в коробку , оно является подмножеством  множества А, и множество С карандашей, оставшихся вне коробки после возврата части их. Множество С представляет собой дополнение множества В до А.  В задаче требуется найти число элементов в этом дополнении. Т.к. по условию n(А)=6, n(В)=2 и ВʗА, то n(С)=n(А\В)=nт(А)-n(В)=6-2=4.

В

С

А\В

 

Ответ: из коробки вынули 4 карандаша.

 

б) За одну минуту Щелкунчик может разгрызть 4 ореха. Сколько орехов Щелкунчик разгрызет  за 3 минуты?

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 4 элемента. Требуется узнать число элементов  в объединении этих множеств. Если n(А₁)=n(A₂)=n(A₃)=4, то n(A₁ U A₂ U A₃ )= n(А₁)+n(A₂)+n(A₃)= 4+4+4=4*3. Произведение 4*3 является математической моделью данной задачи. Т.к. 4*3=12, то получаем ответ на вопрос задачи: за 3 минуты Щелкунчик разгрызет 12 орехов.

A₃

A₂

A₁

A₁ U A₂ U A₃

5.  Каждое из двух слагаемых увеличили на 40. Как изменится сумма?

Пусть первое слагаемое равно  а, второе б, тогда их сумма а+б. увеличим каждое слагаемое на 40 и запишем их сумму: (а+40)+(б+40). На основании св-ва. ассотиативности записи данное выражение без скобок: ( а+40+б+40). Применим св-во коммутативности, поменяем местами слагаемые: а+б+40+40. Согласно свойству ассотиативности сложения произведем группировку : (а+б)+(40+40). Сложим числа во второй скобки и получим: (а+б)+80.

Сумма увеличилась на 80.

6. Делимое увеличили  в 10 раз, а делитель уменьшили  в 2 раза. Как изменится частное?

Пусть а-делимое, б-делитель. Увеличим делимое в 10 раз (10а), а делитель уменьшим в 2 раза и выполним деление

Частное увеличится в 20 раз.

7.     Какой смысл имеет натуральное число 8, если оно получено в результате измерения: а) длины отрезка;  б) площади фигуры;  в) массы тела?

а) По условию задачи измерили некоторый отрезок а и получили численное значение длины, равное 8. Это означает, что отрезок а  состоит из 8 единичных отрезков е: m_еа=8, а=5е.

б) В этом случае измеряли площадь фигуры F с помощью единиц площади – квадрата Е (единичного квадрата). Фигура F состоит из 8 единичных квадратов Е: m_еF=8 или F=8E.

в) Для измерения массы  выбирают некоторое физическое тело, массу которого принимают за единицу, например цилиндр массой 1 килограмм. На рычажных весах устанавливают  равновесие массы измеряемого тела х и 8 килограммов: m_кгх=8 или х=8кг. Здесь в качестве единицы массы выбрана масса в 1 кг, можно было бы взять произвольный эталон массы е, тогда и записи измерения массы тела х получили бы общий вид: m_ex=8 или х=8*е.

8.     Обоснуйте выбор действий при решении следующих задач:

а) Мама купила 5 кг огурцов, 2 кг свеклы и помидоры. Сколько  килограммов помидоров купила мама, если масса всех овощей 12 кг ? 

В задаче четыре величины: массы  огурцов, масса свеклы, масса помидоров, и масса всех овощей. Известны численные  значения трех величин: масса всех овощей 12 кг, масса огурцов 5 кг, масса свеклы 2 кг. Требуется найти массу помидоров.

Найдем численное значение массы огурцов и массы свеклы, для этого надо сложить  их численные  значения 5+2=7. Массу помидоров можно  получить, вычитая из массы всех овощей массу огурцов и свеклы. Получим численное значение массы  помидоров: 12-7=5.

б) На одной полке 30 книг, на другой на 7 книг меньше. Сколько  книг на двух полках?

 В задаче три величины: количество книг на первой  полке, количество книг на второй  полке, количество книг на двух  полках. Известно численное значение  первой величины: количество книг  на первой полке – 30. Также  известно, что численное значение  книг на второй полке меньше  на 7. Количество книг на второй  полке можно узнать вычитанием: 60-7=23. Чтобы найти численное значение  книг на двух полках, нужно  сложит численное значение количества  книг на первой полке 30 и  количества книг на второй  полке 23: 30+23=53.

Ответ: 53 книги.

9.     Объясните различными способами, почему следующие задачи решаются при помощи умножения:

а) В одной корзине 5 кг яблок. Сколько килограммов яблок  в трех таких корзинах?

Решение:

1 способ:

Выясним, почему задача решается при помощи умножения.

В задаче речь идет о трех множествах, в каждом из которых 5 элементов. Требуется узнать число элементов  в объединении этих трех множеств.

Если n(А₁)=n(A₂)=n(A₃)=5, то n(A₁ U A₂ U A₃ )= n(А₁)+n(A₂)+n(A₃)=5+5+5=5*3. Произведение 5*3 является математической моделью данной задачи. Так как 5*3=15, то в трех корзинах 15 кг яблок.

2 способ:

Пусть множество А= является представителем класса «числа5» (число яблок в одной корзине) и множество В= является представителем «число 3» (число корзин). Найдем декартово произведение А×В=.

Путем пересчета устанавливаем, что n(A×B)=15, т.е. в трех корзинах содержится 15 кг яблок.

б) За один день Саша прочитывает 4 страницы книги. Сколько  страниц в книге, если Саша прочитал ее за 6 дней?

За 6 дней, читая по 4 страницы в день, Саша прочитал 4+4+4+4+4+4 страниц,

 

что по теореме является произведением 4*6. (6>1). Таким образом, получаем ответ на вопрос задачи: в  книге 24 страницы.

 

10.     Покажите, какие теоретические факты лежат в основе алгоритма сложения чисел:

а) 136 и 253;

Представим числа 136 и 253 в  виде развернутой записи в десятичной системе счисления: 136+253=(1*10²+3*10+6)+(2*10²+5*10+3). На основании свойства ассоциативности сложения запишем данное выражение без скобок: =1*10²+3*10+6+2*10²+5*10+3. Применим коммутативное свойство сложения, поменяем местами слагаемые: 1*10²+2*10²+3*10+5*10+6+3.Сгласно свойству  ассоциативности сложения  произведем группировку: (1*10²+2*10² )+(3*10+5*10)+(6+3). Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 10² , а во второй – 10. Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

10²*(1+2)+10*(3+5)+(6+3).

Итак, сложение данных чисел 136 и 253 свелось к сложению однозначных  чисел, изображенных цифрами соответствующих  разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения:3*10²+8*10+9. Полученное выражение есть десятичная запись числа 389.

 

б) 626 и 245.

Запишем числа в десятичной системе счисления:

626+245=(6*10²+2*10+6)+(2*10²+*4*10+5)=

Применим свойства ассоциативности  и коммутативности сложения:

=6*10²+2*10+6+2*10²+4*10+5=6*10²+2*10²+2*10+4*10+6+5=(6*10²+2*10²)+(2*10+4*10)+(6+5)=

Применим свойство дистрибутивности умножения относительно сложения и  сложим числа в скобках:

=10²*(6+2)+10*(2+4)+11=8*10²+6*10+11=

Представим число 11 в виде суммы 10+1, применим свойство ассоциативности  и дистрибутивности ко второму и  третьему слагаемому, получим ответ:

=8*10²+6*10+10+1=8*10²+(6*10+10)+1=8*10²+10(6+1)+1=8*10²+7*10+1= =871.

 

 

11.     Как изменится разность, если: 

а) уменьшаемое  и вычитаемое увеличить на 46; 

а – уменьшаемое, б- вычитаемое,(а-б)-разность. Увеличим уменьшаемое и вычитаемое на 46 и составим разность:

чтобы вычесть из числа а+46 суммы б+46, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы, одно за другим.

Чтобы вычесть число из суммы достаточно вычесть его  из каждого-либо одного слагаемого.

Вычтем число б из слагаемого а, число 46 из слагаемого 46.

Находим разность 46-46, она  равна 0. Таким образом разность не изменится, если уменьшаемое и вычитаемое увеличить на 46.

(а+46)-(б+46)=(а+46)-б-46

(а-б)+(46-46)=(а-б).

 

б) уменьшаемое  уменьшить на 277, а вычитаемое увеличить  на 323; 

а -  уменьшаемое, b – вычитаемое, (а-b) – разность. Уменьшим уменьшаемое на 277, а вычитаемое увеличим на 323 и составим разность. Вычтем из разности (а-277) поочередно слагаемые суммы (b+323). Вычтем из а число b (a>b по условию) и уменьшим число 277 на 323. т.е. разность (а-b) уменьшится на 600.