Контрольная работа по "Математике"

y = 1,18 x – 6,33

1. Параметры уравнения  регрессии.

Выборочные средние.

 

 

 

Выборочные дисперсии:

 

 

Среднеквадратическое отклонение

 

 

1.1. Коэффициент  корреляции

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем  является выборочный линейный коэффициент  корреляции, который рассчитывается по формуле:

 

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

 

Линейное уравнение регрессии  имеет вид y = 1.18 x -6.33

1.3. Коэффициент  эластичности.

Коэффициент эластичности находится  по формуле:

 

 

Бета – коэффициент показывает, на какую часть величины своего среднего квадратичного отклонения изменится в среднем значение результативного признака при изменении факторного признака на величину его среднеквадратического отклонения при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных:

 

1.4. Ошибка аппроксимации.

Оценим качество уравнения  регрессии с помощью ошибки абсолютной аппроксимации.

 

 

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

 

где

S_y0 = 15799.4 + 2911.04 = 18710.44

Теоретическое корреляционное отношение для линейной связи равно коэффициенту корреляции r_xy.

Для любой формы зависимости  теснота связи определяется с  помощью множественного коэффициента корреляции:

 

1.6. Коэффициент  детерминации.

Чаще всего, давая интерпретацию  коэффициента детерминации, его выражают в процентах.

R²= 0.9² = 0.8157

 

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y
157	209.5	24649	43890.25	32891.5	179.54	7660.63	897.58	2364.39	0.14
95	88.3	9025	7796.89	8388.5	106.14	1134.01	318.29	178.89	0.2
112	122	12544	14884	13664	126.27	0.0006	18.2	13.14	0.035
149	156.1	22201	24367.21	23258.9	170.07	1164.52	195.15	1650.39	0.0895
106	132.4	11236	17529.76	14034.4	119.16	108.68	175.21	5.64	0.1
125	114.2	15625	13041.64	14275	141.66	60.45	753.87	276.39	0.24
74	104.6	5476	10941.16	7740.4	81.28	301.89	543.84	1181.64	0.22
49	48.7	2401	2371.69	2386.3	51.68	5369.23	8.9	3525.39	0.0613
867	975.8	103157	134822.6	116639	975.8	15799.4	2911.04	9195.88	1.09

 

 

 

2. Оценка параметров  уравнения регрессии.

2.1. Значимость  коэффициента корреляции.

 

По таблице Стьюдента  с уровнем значимости α=0.05 и степенями  свободы k=6 находим t_крит:

t_крит (n-m-1;α) = (6;0.05) = 1.943

где m = 1 - количество объясняющих  переменных.

2.2. Интервальная  оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

 

r(0.7766;1.0298)

2.3. Анализ точности  определения оценок коэффициентов  регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии  возмущений является величина:

 

 

S²_y = 485.1735 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

 

S_y = 22.0267 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S_a - стандартное отклонение случайной величины a.

 

 

S_b - стандартное отклонение случайной величины b.

 

 

2.4. Доверительные  интервалы для зависимой переменной.

(a + bx_p ± ε)

где

 

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно  большом числе наблюдений и X_p = 119

 

Индивидуальные  доверительные интервалы для Y при  данном значении X.

(a + bx_i ± ε)

где

 

 

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно  большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

2.5. Проверка гипотез  относительно коэффициентов линейного  уравнения регрессии.

1) t-статистика. Критерий  Стьюдента.

t_крит (n-m-1;α) = (6;0.05) = 1.943

 

 

 

 

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения  регрессии.

Определим доверительные  интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95%  будут  следующими:

(b - t_крит S_b; b + t_крит S_b)

(a - t_крит S_a; a + t_крит S_a)

2) F-статистика. Критерий  Фишера.

 

где m – число факторов в модели.

Оценка статистической значимости парной линейной регрессии производится по следующему алгоритму:

1. Выдвигается нулевая  гипотеза о том, что уравнение  в целом статистически незначимо: H₀: R²=0 на уровне значимости α.

2. Далее определяют фактическое  значение F-критерия:

 

 

где m=1 для парной регрессии.

3. Табличное значение определяется по таблицам распределения Фишера для заданного уровня значимости, принимая во внимание, что число степеней свободы для общей суммы квадратов (большей дисперсии) равно 1 и число степеней свободы остаточной суммы квадратов (меньшей дисперсии) при линейной регрессии равно n-2.

4. Если фактическое значение F-критерия меньше табличного, то  говорят, что нет основания  отклонять нулевую гипотезу.

В противном случае, нулевая  гипотеза отклоняется и с вероятностью (1-α) принимается альтернативная гипотеза о статистической значимости уравнения  в целом.

Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=6, Fkp = 5.99

 

Задание 5.   Теория вероятности.

Вариант 4. Вероятность того, что стрелок попадет в «десятку», равна 0,5. Составить закон распределения числа попаданий в серии их четырех выстрелов. Построить многоугольник распределения.

Решение:

а) Возможные значения случайной величины х: 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности вычисляем по формуле Бернулли:

 

 

 

 

 

Закон распределения х  представится таблицей:

xi	0	1	2	3	4
pi	0,0625	0,25	0,375	0,25	0,0625

 

Проверка: 0,0625 + 0,25 + 0,375 + 0,25 + 0,0625 = 1.

б) Многоугольник распределения представлен на рисунке 2.

Задание 6. Матрицы и операции над ними.

Вариант 7. Выполнить умножение матриц АВ^–1С.

 

Решение:

1. Найдем обратную матрицу 

Определитель матрицы  равен:

=(-2)×(-4)-3×5= 8-15= -7

Определитель не равен  нулю, следовательно, обратная матрица  существует.

Находим миноры всех элементов:

М₁₁ = – 4; М₁₂ = 5;

М₂₁ = 3; М₂₂ = – 2.

Вычисляем алгебраические дополнения элементов по формуле 

 

B₁₁ = – 4; B₁₂ = 5;

B₂₁ = 3; B₂₂ = – 2.

Вычисляем обратную матрицу  по формуле 

 

 

2. Находим произведение матриц А и .

= = =

 

3. Находим произведение матриц АС.

 

АС= =

 

Ответ: АС=

 

7. Решения системы  уравнений методом Крамера.

Вариант 6.

 

Решение:

Находим главный определитель:

 

 

Находим 1-ый определитель для  вычисления х.

 

 

Находим 2-ой определитель для  вычисления у.

                                  

Находим 3-ий определитель для  вычисления z.

 

Найдем решения данной системы уравнений. Согласно описанному выше методу, данная система уравнений  имеет решения

х

у

z

Проверка:

1·(–8) +1·() –1·() =1

8·(–8) +3·() – 6·() =2

4·(–8) +1·() – 3·() =3

Ответ:  х= –8, у=,  z= .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Протокол  проверки:

Дата проверки
Оценка
Комментарии   преподавателя