Контрольная работа по "Математике"

Задание 1. Решить задачу линейного программирования

Вариант 7.

 

Решение:

Введем дополнительные переменные

(max)

Ограничения:          

                                                   

                         = 0                          

 

Составим симплекс таблицу:

Базисные переменные	Свободные члены
	9	1	3
	8	2	1
	0	1	-3
F	0	-1	-2

      Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-2). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Пересчитаем таблицу 

Базисные переменные	Свободные члены
	3	0.333	0.333
	5	1.667	-0.333
	9	2	1
F	6	-0.333	0.667

        Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение. Так как в строке F есть отрицательные элементы, то полученное решение не оптимально. Для определения ведущего столбца найдем максимальный по модулю отрицательный элемент в строке F (-0.333). А ведущая строка та, у которой наименьшее положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца.

Базисные переменные	Свободные члены
	2	-0.2	0.4
	3	0.6	-0.2
	3	-1.2	1.4
F	7	0.2	0.6

Найдено оптимальное решение

Задание 2. Составить  и решить задачу линейного программирования

Вариант 8. Предприятию требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,3‰ и с долей зольных примесей не более 3,25%. Содержание примесей в трех сортах угля приведены в таблице.

Полезное вещество	Сорт угля
	А	Б	В
Содержание фосфора, ‰	0,6	0,4	0,2
Содержание примеси золы, %	2	4	3

Цена  килограмма угля сортов А и Б составляет 30 рублей, а сорта В — 45 рублей.

Составьте задачу линейного программирования о пропорциях смеси углей минимальной  цены, удовлетворяющей ограничениям на содержание примесей. Найдите оптимальные  пропорции смеси.

Решение:

Введем следующие обозначения:

Х₁ – содержание угля А в смеси;

Х₂ – содержание угля В в смеси;

Х₃ – содержание угля С в смеси;

Ограничения имеют вид:

 

Окончательный вид:

 

 Приведем к  каноническому виду:

 

Решим симплекс-методом:

S	i				30	30	45	0	0
					A1	A2	A3	A4	A5
0	1	4	0	0,3	0,06	0,04	0,02	1	0	15
	2	5	0	3,25	2,0	4,0	3,0	0	1	1
					-30	-30	-45	0	0	K=3, l=2
1	1	4	0	21/200	7/150	1/75	0	1	-1/150
	2	3	45	39/4	2/3	4/3	1	0	1/3
					0	30	0	0	45/3

 

Задание 3. Математическая статистика

Вариант 5. Для оценки необходимых затрат рабочего времени собраны данные о том, сколько минут требуется на оформление однотипных комплектов документов случайно выбранным специалистам (в минутах):

18,24	21,82	24,39	25,04	24,23	27,43	22,53	23,2
12,23	18,89	15,74	19,01	11,16	16,53	25,89	22,69
12,22	22,59	25,38	13,95	22,29	25,34	19,87	25,73
11,45	19,09	17,89	23,05	26,44	22,04	18,52	11,08

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и  соответствующую гистограмму.

Найти среднюю продолжительность оформления комплекта документов и исправленное среднее квадратическое отклонение для выборки. Построить доверительные  интервалы надежности 90% и 95% для  средней продолжительности оформления документов.

Решение: Для построения гистограммы относительных часто выборочные данные разбиваем на k = 6 интервалов одинаковой длины.

Просматривая выборочные значения, находим, что наибольшим значением  случайной величины является 27,43, наименьшим 11,08. Для определения длины частичного интервала находим

Xmax = 27,43             Xmin =11,08

И размах разборки

w = Xmax – Xmin  = 27,43 – 11,08  = 16,35

Следовательно,

 
 Вычисляем границы частичных  интервалов. За начало первого интервала aₒ возьмем наименьшее значение исследуемого признака 11,08.

h = 2,73: aₒ = 11,08; a1 = 11,08 + 2,73 = 13,81; a2  = 13,81 + 2,73 = 16,54;

a3 = 16,54 + 2,73 = 19,27; a4 = 19,27 + 2,73 = 22,00; a5 = 22,00 + 2,73 = 24,73; a6 = 24,73 + 2,73 = 27,43.

Просматривая результат  наблюдений, находим количество выборочных данных попавших в заданный интервал. В результате обработки выборки  получаем табл. 1

Номер интервала	Границы интервала	Частота n
1	2	3
1	[11,08; 13,81]	5
2	[13,81; 16,54]	3
3	[16,54; 19,27]	6
4	[19,27; 22,00]	5
5	[22,00; 24,73]	9
6	[24,73; 27,43]	7

 

Результаты группировки  сведем в табл. 2

Номер интер-вала	Границы интервала	Середина интервала	Час-то-та	Относитель-ная частота	Плотность относитель-ной частоты	Накопленная относитель-ная частота
1	2	3	4	5	6	7
1	[11,08; 13,81]	12,45	5	0,16	0,059	0,16
2	[13,81; 16,54]	15,18	3	0,09	0,033	0,25
3	[16,54; 19,27]	17,91	6	0,19	0,070	0,44
4	[19,27; 22,00]	20,64	5	0,06	0,022	0,50
5	[22,00; 24,73]	23,37	9	0,28	0,103	0,78
6	[24,73; 27,43]	26,08	7	0,22	0,081	1
			32	1,00

 

 Находим середину интервала  (столбец 3) по формуле:

              

              

              

Находим относительную частоту (столбец 5) по формуле:

             = 0,09              

                          = 0,22

Находим плотность относительной  частоты (столбец 6) по формуле:   ,  где    h = 2,73. В верхней строке шестого столбца — 0,16/2,73 = 0,059; во второй — 0,09/2,73 = 0,033; в третьей — 0,19/2,73 = 0,070; в четвертой – 0,06/2,73 = 0,022; в пятой – 0,28/2,73 = 0,103; в шестой – 0,22/2,73 = 0,081.

 Находим накопленную относительную частоту. В верхней строке седьмого столбца — 0,16; во второй — 0,16 + 0,09 = 0,25; в третьей — 0,25 + 0,19 = 0,44; в четвертой – 0,44 + 0,06 = 0,50; в пятой – 0,50 + 0,28 = 0,78; в шестой – 0,78 + 0,22 = 1.

 

Построим гистограмму.

Рис. 1

Вычислим выборочные характеристики:

а) выборочная средняя 

 

б) исправленная выборочная дисперсия

 

в) выборочное среднеквадратичное (стандартное) отклонение

 ≈ 5

Распределение исследуемого признака Х нам неизвестно, и также неизвестны его математическое ожидание μ и дисперсия σ2.

Поскольку объем выборки  достаточно велик и его гистограмма  очень похожа на функцию плотности  вероятности нормального распределения, приближенно можно считать, что  двусторонние доверительные интервалы  для оценки параметров μ и σ 2, соответствующие доверительной  вероятности γ = 1 − α, имеют следующий  вид:

для математического ожидания μ —

 

для дисперсии σ ² —

 

Выборочная средняя  = 20,19 , исправленная выборочная дисперсия  и стандартное отклонение S = 5 были найдены ранее.

1. Для γ = 0,95 найдем α =1 − γ = 1−0,95 = 0,05

   

По таблицам квантилей  распределения Стьюдента и  (хи-квадрат) для 31 степеней свободы находим:

 

 

 

Построим доверительный  интервал для математического ожидания

  

 

Построим доверительный  интервал для дисперсии

 

 

2. Для γ = 0,90  найдем α =1 − γ = 1−0,90 = 0,10

   

По таблицам квантилей  распределения Стьюдента и  (хи-квадрат) для 31 степеней свободы находим:

 

 

 

Построим доверительный  интервал для математического ожидания

  

 

Построим доверительный  интервал для дисперсии

 

 

 

Задание 4.  Корреляционный анализ

Вариант 10. Исследовать связь между числом работающих на крупных и средних предприятиях района и поступлением доходов в городской бюджет на основании следующих данных.

работает, тыс. чел.	157	95	112	149	106	125	74	49
поступления, млн. руб.	209,5	88,3	122	156,1	132,4	114,2	104,6	48,7

 

Решение:

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для  генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии  имеет вид y = bx + a + ε

Для оценки параметров α  и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

an + b∑x = ∑y

a∑x + b∑x² = ∑yx

Для наших данных система  уравнений имеет вид

8a + 867 b = 975,8

867 a + 103157 b  = 116639

Из первого уравнения  выражаем а и подставим во второе уравнение

Получаем b = 1,18, a = -6,33

Уравнение регрессии: