СИБИРСКАЯ АКАДЕМИЯ ГОСУДАРСТВЕННОЙ  СЛУЖБЫ

ИНСТИТУТ  ПЕРЕПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ

                                Межсессионная контрольная работа по дисциплине

 
«Математика» 
 
 

Протокол проверки:

 
 
 

                                

                                             Новосибирск 2011г.

1.     Теория вероятности (события).

 

Модельер, разрабатывающий  новую коллекцию одежды к весеннему  сезону, создает модели в белом, черной и красной цветовой гамме. Вероятность  того, что белый цвет будет в  моде весной, модельер оценивает в 0,3, черный – в 0,2, а вероятность того, что будет моден красный цвет – в 0,15. Предполагая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение будет удачным: а) по всем; б) хотя бы по одному из выбранных цветов.

 

Решение:

Пусть событие  А – в моде белый цвет.

    P (А) = 0,3

Событие В  – в моде весной будет черный цвет, тогда

    P (В) = 0,2

Событие С  – в моде красный цвет

    P (С) = 0,15

Цвета выбираются независимо друг от друга. 

А) Вероятность  того, что цветовое решение будет  удачным по всем цветам равна: 

P = p (A)* p(B)*p(C) = 0,3*0,2*0,15= 0,09

                                                                                                                                          _

Б) Пусть событие  D – удачное решение хотя бы по одному цвету, тогда событие D – цветовое решение неудачное ни по одному цвету.

_      _  _  _

D = A*B*C ;

     _

p (A) = 1-0,3= 0,7

     _

p (B) = 0,8 

p (C) = 0,85

Вероятность события, что цветовое решение будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов равна:

                      _                 _  _   _

P (D) = 1- p (D) = 1 –  p (A * B * C) = 1 -0,7 * 0,8 * 0,85 = 1 – 0,476 = 0,524 
 

2. Теория  вероятности ( события).

 

Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 50% всех комплектующих деталей, второй – 20%, третий – 30% деталей. Известно, что качество поставляемых деталей разное, и в продукции первого поставщика процент брака составляет 4%, второго – 5%, третьего – 2%. Определите вероятность того, что деталь, выбранная наудачу из всех полученных, будет бракованной. Найдите вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика. 

Решение: 

Имеется три  поставщика, пусть событие Н1  комплектующие от первого поставщика, пусть событие Н2 – комплектующие от второго поставщика. Событие Н3, комплектующие от третьего.

P (Н1) = 0,5 ;

P (Н2) = 0,2 ;

P (Н3) = 0,3 .

Пусть событие  А – бракованная деталь, тогда  вероятность бракованной детали при условии, что деталь будет взята от первого поставщика ( событие Н1). 

Р (А/Н1) = 0,04;

Р (А/Н2) = 0,05;

Р (А/Н3) = 0,02. 

Найдем вероятность  того, что деталь, выбранная наудачу  из всех полученных, будет бракованной  равна по формуле полной вероятности.

              3

Р (А) = ∑ p (Нi) * p (A/Hi) = p (H1) * p (A/H1) + p (H2) * p (A/H2) + p (H3) * p (A/H3) = 0,5

                   I=1

* 0,04 + 0,2 * 0,05 + 0,3 *0,02 = 0,020 + 0,010 + 0,006 = 0,036 

Вероятность того, что бракованная деталь была получена от первого поставщика, посчитаем по формуле Байеса: 

                    P (H1) * P (A/H1)           0,5 * 0,04        0,02        20        10

P (H1/A) = ---------------------- = ----------- = ------- = ---- = ---- = 0,55555

                    3

                    ∑ P (Hi) * P (A/Hi)         0,036              0,036      36         18

                    i=1 
 

3. Математическая  статистика.

Агент статистической службы, посетил 32 продовольственных  магазина и записал цену килограмма говядины высшего сорта в каждом из них (в рублях): 

200,5        194,1         200,8      211,8         211,3         184                 189,4         198,5        194,2        201,7       197,6         184,4         198,3              206,8      210,1         201          198,4       201,9         194,1         202,8              188,6         206,3         214,7       201,2        210,7        198,7        204                 199,7         183,2         185,9      194,6         199,9 

Построить интервальную группировку данных по шести интервалам равной длины и соответствующую гистограмму. Найти среднюю цену килограмма говядины и исправленную дисперсию для выборки. Построить доверительные интервалы надежности 95% и 98% для средней цены килограмма мяса. 

Решение: 

Расположим  исходные данные в порядке возрастания (ранжировка ряда): 

183,2           184           184,4           185,9           188,6            189,4

194,1           194,1        194,2           194,6           197,6            198,3

198,4           198,5        198,7           199,7           199,9            201

200,5           200,8        201,2           201,7           201,9            202,8

204              206,3        206,8           210,1           210,7            211,3

211,8           214,7 

Итого 32 значения. 
 

                            ∑ всех значений       6369,2

Средняя цена = ---------------------- = ------------ = 199,0375

32. 32

Построим интервальную группировку данных, разделим на 6 интервалов.

Находим длину  интервала: 

214,7 – 183,2 = 5,25 ≈5,3

           6 

 
 
 
 
 
 

Построим гистограмму: 
 

 
 
 

Найдем дисперсию: 

D = 1/32 (137863,69 + 73000,205 + 347333,42 + 407030,625 + 85739,405 + 225462,61)

              2

- 191,05 = 1/32 (558197,315 + 718232,64) – 36500,1025 = 3388,3

   

4. Решите  программу линейного  программирования.

 
 

2х1 + 3х2 → max

2х1 + х2 ≤ 8

х1 + 2х2 ≤ 6 

х1 + х2 ≤ 4

х1 ≥ 0

х2 ≥ 0

Решение: 

Нужно найти  такое неотрицательное решение  системы линейных неравенств, при котором линейная функция  

А = 2 х1 + 3 х2 достигает наибольшего значения. 

Все ограничения  – это линейные неравенства, каждое геометрически изображается полуплоскостью, лежащей по одну сторону от прямой, соответствующей равенству, полученному  из рассматриваемого неравенства обозначим (→).

Отобразим в  прямоугольной системе координат  условие неотрицательности переменных

х1 ≥ 0, х2 ≥ 0.

Построим прямые : 

1. 2Х1  + х2 =8

2. х1 + 2х2 =6

      3. х1 + х2 = 4 

Для этого найдем две точки, в которых искомые  прямые пересекают оси х1 и х2 

       Х1  + 2х2 =8

   I. Х1  + 2х2 =8