Контрольная работа по "Линейная алгебра"

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Задание №1

Вычислить определитель четвертого порядка.

4.

Решение.

=

= =

= .

 

 

 

Задание 2.

Проверить совместность системы уравнений  и в случае совместности решить ее:

а) по формулам Крамера;

б) с помощью  обратной матрицы (матричным методом);

в) методом  Гаусса.

4. 

Решение.

1. Найдем решение системы с  помощью формул Крамера. Воспользуемся формулами:

, ,

где – определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных.

..= = –24–6–12+24+6-9= –1;

= –1; = –6; = –5.

Найдем  , , .

(1, 6, 5) – решение системы.

 

2. Решим систему матричным способом. Запишем систему в матричной  форме  ,

где , , .

Решение системы в матричной форме имеет вид , где – матрица, обратная матрице . Найдем матрицу по формуле

= , где = 5, – алгебраическое дополнение к элементу.

=	=	=
А12.=	..=	=
=	=	= ..

Обратная матрица имеет вид:

.=- = .

Найдем решение системы.

= = .

(1, 6, 5) – решение системы.

3. Метод Гаусса.

Запишем расширенную матрицу системы

 

Найдем решение системы

 

Ответ: (1, 6, 5)

 

Задание 3.

Даны вершины  треугольника.

Найти: 1) длину стороны АВ; 2) внутренний угол А в радианах с точностью  до 0,001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину С; 4) уравнение медианы проведенной через вершину С; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины С; 7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область треугольника АВС.  Сделать чертеж.

4.  А (-1; 1);  В (-7; 4);  С (-4; 5)

Решение.

1) длину стороны АВ

 

2) внутренний угол А в радианах  с точностью до 0,001

Используем формулу: .

= . .

3) уравнение высоты, проведенной  через вершину С

Найдем уравнение высоты . Так как векторы и перпендикулярны, то их скалярное произведение равно 0. . Пусть точка имеет координаты . Тогда вектор имеет координаты . . Из условия имеем: , ,

 – уравнение высоты  .

4) уравнение медианы проведенной  через вершину С

Так как точка  является серединой стороны АВ, то ее координаты найдем как координаты середины отрезка. , . . Воспользуемся формулой: прямой проходящей через две точки. Получим , , – уравнение медианы СМ.

5) точку пересечения высот треугольника

Найдем уравнение высоты АК. Пусть  точка  имеет координаты . Тогда вектор имеет координаты . . Из условия имеем: , – уравнение высоты АК.

Найдем точку пересечения высот

 

Точка пересечения высот: .

 

6) длину высоты, опущенной из  вершины С

Найдем расстояние от точки  до прямой .

Воспользуемся формулой: прямой проходящей через две точки. Получим , , – уравнение стороны АВ.

Воспользуемся формулой: = = .

 

7) систему линейных неравенств, определяющих внутреннюю область  треугольника АВС.

Сделать чертеж.

АС. Воспользуемся формулой: прямой проходящей через две точки. Получим , , – уравнение стороны АС.

ВС. Получим  , , – уравнение стороны ВС.

Система неравенств

 

 

 

 

 

Задание 4.

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, -3, 5) параллельно плоскости Оху.

Решение.

Воспользуемся формулой: .

Нормальный вектор плоскости Оху:

 – уравнение плоскости, проходящей через точку А(2, -3, 5) параллельно плоскости Оху

 

 

 

 

Задание 5.

 

Решить  однородную систему линейных алгебраических уравнений.

4.

Решение.

Воспользуемся методом Гаусса

 

 

Решение системы

 

 

 

Задание 6.

3. По координатам точек А, В и С для указанных векторов найти:

а) модуль вектора  ; б) скалярное произведение векторов и ; в) проекцию вектора на вектор ; г) координаты точки делящей отрезок в отношении ;    

А (4; 3; 2),  В (-4; -3; 5),  С (6; 4; -3),

 

Решение

а) модуль вектора 

 

б) скалярное произведение векторов и

в) проекцию вектора  на вектор

 

г) координаты точки  делящей отрезок в отношении ;    

,  ,

 

 

 

 

 

Задание 7.

Даны векторы  Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства, найти координаты вектора в этом базисе.

4. (-1; 3; 5; 0),  (5; -1; -3; 2), (-2; 9; -2; 9), (8; 0; 1; 0), (9; -17; 14; -26).

Решение.

Найдем смешенное произведение векторов:

Так смешенное  произведение не равно 0, то вектора образуют базис.

Найдем координаты вектора в этом базисе

Найдем решение системы методом  Крамера

,

 

,  , ,

Получим

 

 

Задание 8.

4. Цеха завода могут работать не более 23 дней в месяц. Затраты на электроэнергию в первом цеху составляют 15000 ден. ед в день, во втором – 18000 ден. ед. в день. Общие затраты на электроэнергию не должны превышать 700000 ден. ед. Первый цех приносит ежедневную прибыль в 40000 ден. ед., второй – 43000. Общая прибыль должна быть больше либо равной 1600000 ден. ед. Построить на плоскости область допустимых вариантов рабочих дней цехов в месяц.

Решение

х1 – количество дней, которые работает первый цех.

х2 – количество дней, которые работает второй цех.

Согласно условию получим

Система ограничений

,

Прибыль

По условию: .

Количество работых дней не может  быть отрицательным:

Построим область допустимых решений

 

 

 

 

 

 

математический анализ

Задание №1.  Найти пределы:

4. а)    б)      в)      г)

Решение.

а) = = =

= = = =

= = .

б) = = = =

= = .

в) = = = = .

г) = = = =

= = = = .

 

 

 

Задание №2. 

Для данной функции требуется:

а) найти точки разрыва;

б) найти скачок функции в каждой точке разрыва;

в) сделать чертеж.

4.

Решение

Область определения функции –  вся числовая прямая. На интервалах (-¥, ), ( , ), ( , +¥) функция непрерывна, так как задана на них элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках и , в которых изменяется аналитическое задание функции.

 

Рассмотрим точку  . Найдем односторонние пределы в точке .

, . .

Так как  , то в точке разрыв нет, функция непрерывна.

 

Рассмотрим точку  .

, .

Так как  , то в точке – функция имеет разрыв первого рода. Скачок равен: .

Строим график функции:

 

 

 

Задание №3. 

а) Найти производные указанных функций:	б) Найти производную неявно заданной функции:	в) Найти производные функций, используя логарифмическую производную:

 

Решение

а)

 

б)

,

,

,

.

 

в)

, ,

,

,

 

 

 

 

 

Задание №4.

1. Найти приближенно значение функции  y= при x=126.

Решение.

 

, ,

Ответ: 5,013

 

 

 

 

Задание №5.   Исследовать функцию и построить ее график:

4.

Решение.

1) Найдем область определения. .

2) Функция неопределенна в точке  . Следовательно, эта точка является точкой разрыва функции. Определим ее тип.

= = – ; = = + ;

 – точка разрыва второго  рода. В этой точке функция  имеет вертикальную асимптоту.

3) Исследуем функцию на четность  или нечетность.

.

Функция не является четной и не является нечетной.

4) Найдем точки пересечения функции  с осями координат.

Ось Ох ( ),  ; ; .

Ось Оу ( ) график функции не пересекает.

Точка ( ; 0) является точкой пересечения с осями координат.

5) Найдем асимптоты к графику  функции.

 – наклонная асимптота.

= = = = ;

График функции не имеет наклонных  асимптот

=

График функции не имеет горизонтальных асимптот

6) Исследуем функцию на монотонность  и экстремум.

Найдем производную  .

= = .

Вычислим  = 0; = 0; =0.

Производная функции не существует в точках .

Данные точки являются критическими точками. Все эти точки разбивают  Область определения на промежутки. Исследуем знак производной на каждом из промежутков.

 

Составим таблицу.

		0		1
	–	не сущ.	–	0	+
	убывает	не сущ	убывает	3	возрастает

 

7) Определим интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба.

Найдем  .

= =

Найдем критические точки второго рода. =0, = 0;

уравнение  = 0, .

				0
	+	0	–	не сущ.	+
	вогнута	0	выпукла	не сущ	вогнута