Контрольная работа по "Комбинаторика"

Комбинаторика

1. Правила суммы и произведения

 

21. Сколько сигналов  можно поднять на мачте, имея три флага различных цветов, если каждый сигнал должен состоять не менее чем из двух флагов? Смысл сигнала зависит не только от цветов, но и порядка их следования.

Число различных  размещений 2 флагов из 3 .

Число различных  размещений 3 из 3 .

Общее число  сигналов равно 6+6=12

А) 9

Б) 12

В) 4

Г) 7 

2. Размещения  с повторениями и без повторений.

Перестановки  и сочетания без повторений 

21. Пять девушек  и трое юношей играют в волейбол. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по четыре человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

Решение:

Посчитаем команды 1-го типа (содержащие одного юношу). Одного юношу из трёх можно выбрать   способами, трёх девушек из 5 можно выбрать   способами. По принципу произведения число команд 1 типа равно . Аналогично, команд второго типа (содержащих двух юношей) существует . ответ: трёх юношей и четырёх девушек можно разбить на две команды, удовлетворяющие условию задачи, 30-ю способами.

А) 60

Б) 180

В) 360

Г) 30 

Случайные события и их вероятности

2.1. Первоначальные  понятия 

21. Ниже приводятся четыре события, связанных с опытом по бросанию трех монет. A – все три монеты легли на стол вверх гербами. B – хотя бы одна монета легла вверх цифрой. C -  ни одна из монет не легла вверх гербом. D – ровно две монеты легли вверх гербами. Какие из перечисленных ниже пар событий составлены из противоположных событий?

Противоположное событие событию А- все три  монеты легли на стол вверх гербами, является событие С, что ни одна монета не легла вверх гербом.

А) (A и B)

Б)  (A и C)

В) (A и D)

Г) (C и D) 

2.2. Классический  способ вычисления вероятностей

(первый  уровень) 

21. В квадрате, разделенном двумя вертикальными  и двумя горизонтальными прямыми  на девять равных квадратов,  случайным образом отмечены два.  Какова вероятность того, что эти квадраты не имеют общих точек?

Решение:

Сначала можно выбрать один из 9 квадратов, а затем второй.

1. Пусть сначала с вероятностью 1/9 выбран один из четырех угловых квадратов (1,3,7,9). Не имеющих с ними общих точек 5 квадратов из оставшихся 8.
2. Пусть с вероятностью 1/9 выбран один из квадратов 2,4,6,8. Не имеющих с ним общих точек 3 квадратов из оставшихся 8.
3. Если выбран квадрат 5, то все оставшиеся квадраты имеют с ним общие точки.

Тогда искомая вероятность равна 

 

А) ~ 0,1111

Б) ~ 0,4444

В) ~ 0,8889

Г) ~ 0,5833

2.3. Классический  способ вычисления вероятностей

(второй  уровень)

 

21. Имеется 5 билетов  в театр, из которых 3 билета на места первого ряда. Какова вероятность того, что два на удачу выбранных билета окажутся на места первого ряда?

Событие А- 2 билета из первого ряда.

Общее число  исходов

N(А)=

Р(А)=3/10=0.3

А) 0,30

Б) 0,36

В) 0,45

Г) 0,40 

2.4. Косвенные  методы вычисления вероятностей

(первый  уровень) 

21. Два стрелка  независимо друг от друга сделали  по одному выстрелу. Вероятность  попадания в цель первого стрелка  0,9, второго – 0,75. Какова вероятность  того, что хотя бы один стрелок  попадет в цель?

 Успех первого  P₁=0.9 промах q=0.1

Успех второго  Р₂=0.75 промах q=0.25

Событие А хотя бы один попадет в цель

Сбытие В противоположное событию А, ни один не попадет в цель.

Р(A)=1-P(B)=1-0.1*0.25=0.975

А) 0,675 

Б)  0,325

В)  0,975

Г)  0,025

2.5. Косвенные методы вычисления вероятностей

(второй  уровень) 

21. Какова вероятность того, что 3 карты, вынутые из колоды в 36 карт, будут одной масти? 

Решение:

Сначала подсчитаем вероятность того, что три карты окажутся одной определенной масти (например «пики»). Пусть А - появление первой карты такой масти, В - появление второй карты той же масти. С- появление третьей карты той же масти. Событие В зависит от события А, т.к. его вероятность меняется от того, произошло или нет событие А. Поэтому придется воспользоваться теоремой умножения в ее общей форме:

Р(АВС)=Р(А)Р(В/А)Р(С/ВА)

Р(А)=1/4 Р(В/А)=8/35 Р(С/ВА)=7/34

 

События, состоящие  в том, что будут вынуты три карты масти «пики», масти «треф» и т.д., несовместны друг с другом. Следовательно, для нахождения вероятности их объединения воспользуемся теоремой сложения:

Р=0.012*4=0.047

.А) 0,25

Б)  ~ 0,047

В)  ~ 0,012

Г)  ~ 0,063 
 

Случайные события и их вероятности (продолжение)

3.1. Формула  полной вероятности

 

21. Имеется 50 деформированных монет. Для 25 из них вероятность выпадения  герба равна 0,3, для 15 – равна 0,4, для остальных – равна 0,7. Какова вероятность того, что случайно взятая из этой партии монета при подбрасывании упадет вверх гербом?

А- выпал герб

Н₁ выпал герб у 25 монет

Н₂ выпал герб у 15 монет

Н₃ выпал герб у 10 монет

Р(Н₁)=25/50=0.5

Р(Н₂)=15/50=0.3

Р(Н₃)=10/50=0.2

По формуле  полной вероятности Р(А)=0.5*0.3+0.3*0.4+0.7*0.2=0.41 

А) 0,396

Б)  0,412

В)  0,590

Г)  0,410

3.2. Теорема  Байеса 

21. Завод выпустил  двести приборов, 50 из которых  были снабжены сигнализаторами  о нарушениях в работе, срабатывающими  с вероятностью 0,8, а 150 – сигнализаторами   нового образца, срабатывающими  с вероятностью 0,95. Известно, что  случайно взятый прибор вовремя   просигнализировал о нарушениях  в работе. Какова вероятность того, что этот прибор снабжен сигнализаторами нового образца?

Решение:

А- сработал сигнализатор

Н₁ сигнализаторы старого образца

Н₂ сигнализаторы нового образца

Р(Н₁)=50/200=0.25

Р(Н₂)=150/200=0.75

По формуле  полной вероятности Р(А)=0.8*0.25+0.95*0.75=0.9125 
 

А) ~ 0,7808

Б) ~ 0,4286

В) ~ 0,2192

Г) ~ 0,5714

3.3. Формула  Бернулли 

21. Какова вероятность того, что при шести бросаниях игральной кости четыре очка выпадет не менее четырех раз?

Решение:

Искомая вероятность равна сумме трех вероятностей

Р = Р₆(4) + Р₆(5) + Р₆(6) = .

А) ~ 0,0025

Б) ~ 0,0016

В) ~ 0,0087

Г) ~ 0,0080

3.4. Теоремы  Лапласа и Пуассона

21. Вероятность падения канцелярской кнопки острием вверх равна 0,7. На стол высыпано одновременно 200 кнопок. Какова вероятность того, что фактическое кол-во кнопок, упавших шляпками вниз, отклонится от наиболее вероятного их числа более чем на 5 %?

По  условию  . Тогда

.

Доля  выпавших шляпками вниз составляет 60/200=0,3. Тогда

.

Б) ~ 0,7566

В) ~ 0,8764

Г) ~ 0,2434

Случайные величины

4.1. Построение  законов распределения дискретной  случайной величины.

Функция распределения и их график 

21. По мишени  производится 4 выстрела. Вероятность  попадания при каждом выстреле  равна 0,7. для случайного числа  попаданий составьте таблицу  распределения, интегральную функцию  F(x) и ее график, а также найдите значение F(3) ?

Решение:

Х будет принимать  значения 0,1,2,3,4.

Вероятность промаха 1-0.7=0.3

Вероятность что  ни один не попадет Р(0)=0.3^4=0.0081

P(1)=

P(2)=

P(3)=

P(4)=

при x ≤ 0, F(x) = Р(Х < 0)= 0, т.к. значения меньше 0 не принимаются

при 0< x ≤ 1, F(x) = Р(Х < 1)= 0,0081

при 1< x ≤ 2, F(x) = Р(Х < 2) = 0.0081+0.076=0.0841, т.к. Х может принять значения 0 или 1

при 2< x ≤3 F(x) = Р(Х < 3) = 0.0081+0.076+0.2646=0.3487,

при 3< x ≤4 F(x) = Р(Х < 4) = 0.0081+0.076+0.2646+0.4116=0.7603,

при x > 4, F(x) = 0.7603+0.2401 =1

1А) 0,852

Б)  0,988

В)  0,3487

Г)  0,136

4.2. Числовые  характеристики дискретной случайной  величины 

21.Игральная  кость подбрасывается до первого  появления единицы. Найти математическое В данной задаче описано геометрическое распределение с параметрами .

Решение:

Для такого распределения математическое ожидание и дисперсия определяются по формулам _{МХ = 1/р*q+1=5+1=6}

  .

ожидание, дисперсию случайного числа подбрасываний? 

А) 6,0 и 30,0

Б)  1,0 и 6,0

В)  6,0 и 6,0

Г)  1,0 и 30,0

Случайные величины (продолжение)

5.1. Плотность  вероятности. Числовые характеристики  непрерывных случайных величин 

21.  
 

;

А) -1,57 и 0,28

Б)  -1,0 и 0,14

В)  -1,0 и 0,28

Г)  -0,78 и 0,42 

5.2.Нахождение  функции распределения по плотности 

21. Дана f(x) – плотность вероятности случайной величины x. Найти: а) коэффициент a; б) функцию распределения F(x). Построить графики f(x)  и F(x). Вычислить вероятность попадания случайной величины в интервал (α; β ).