Автор: Пользователь скрыл имя, 25 Октября 2013 в 20:05, доклад
Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.
r – длина вектора (a+bi) , q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).
Поэтому
всякое комплексное число
Это выражение называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа.
Действия с комплексными числами
Определение: Суммой комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называют комплексное число (a + a’) + (b + b’)i.
Это определение
подсказывается правилами
Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i
Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).
Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i
Пример 4. (-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = - 4
В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.
Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.
2. Вычитание комплексных чисел.
Определение. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i.
Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i
Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6
3. Умножение комплексных чисел.
Определение. Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число
Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2 = -1.
Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.
Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a2 + b 2
Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных чисел есть действительное и притом положительное число.
Для умножения
комплексных чисел также
4. Деление комплексных чисел.
В соответствии с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.
Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.
Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di)=
Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).
Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i. Получим:
((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.
Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.
Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.
Чтобы доказать, что правая часть действительно является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi.
Решение уравнений с комплексными переменными
Рассмотрим сначала простейшее квадратное уравнение z2 = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение:
1) имеет один корень z = 0, если а = 0;
2) имеет два действительных
3) не имеет действительных корней, если а<0.
На множестве комплексных чисел это уравнение всегда имеет корень .
Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2 = a, если:
1) а = -1; 2) а = -25; 3) а = -3.
1) z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2 - i2 = 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 = i.
2) z2 = -25. Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение:
z2 = (-1)25,
z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0, (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i.Ответ:
z 1,2 = 5i.
3) z2 = -3, z2 = i2( )2, z2 - ( )2i2 = 0, (z - i)(z + i) = 0
Ответ: z1,2 = i.
Вообще уравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.
Используя равенство i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = 2i, = i .
Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где а, b, с - действительные числа, а 0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:
Z1,2 = .
Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле находим: z1,2 = = = 2 3i.
Заметим, что найденные в этой задаче корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4, z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.
Число 4 - это 2-й коэффициент уравнения z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2 - корни уравнения az2+bz+c = 0, z1+z2 = , z1z2 = .
Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i.
Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным корнем z1, то есть z2=-1+2i. По теореме Виета находим
P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5. Ответ z2-2z+5=0.
Приложение.
В качестве приложения я хочу рассмотреть формулу (иногда в литературе она имеет название теоремы) Муавра. Она имеет большое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать синусы и косинусы углов (n*x), где n – любое целое число, через простые функции sin x и cos x.
Формула:
где i – мнимая часть комплексного числа, i2 = -1
Пример:
cos3q + i*sin3q =(cosq + i*sinq)3 = cos3 q + 3i cos2 q * sinq + 3i2 * cosq * sin2 q + i3 sin3 q = cos3 q - 3cosq * sin2 q + i*(3cos2 q * sinq - sin3 q)
cos3q = cos3 q - 3cosq * sin2 q
sin3q = 3cos2 q * sinq - sin3 q
Таким же образом можно значительно упростить sin4x, cos4x (sin5x, cos5x и т.д.) до выражений, содержащих sinx и cosx
Список литературы.
http://ru.wikipedia.org
http://www.pm298.ru
http://www.fxyz.ru
http://elementy.ru
http://www.mathematics.ru