Комплексные числа

Автор: Пользователь скрыл имя, 25 Октября 2013 в 20:05, доклад

Краткое описание

Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу . Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.
В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Файлы: 1 файл

Комплексные числа.docx

— 112.75 Кб (Скачать)

r – длина вектора (a+bi) , q – угол, который он образует с положительным направлением оси абсцисс (см. рис. 1).

 Поэтому  всякое комплексное число можно  представить в виде r(cos q + i sin q), где r > 0   т.е. z=a+bi  или z=r*cos q + r*sin q

 Это выражение  называется нормальной тригонометрической формой или, короче, тригонометрической формой комплексного числа. 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

Действия с комплексными числами

1. Сложение комплексных чисел

 Определение:  Суммой комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называют комплексное число (a + a’) + (b + b’)i.

 Это определение  подсказывается правилами действий  с обычными многочленами.

 Пример 1. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

  Пример 2. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример 3. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример 4.  (-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = - 4

 В примере 4 сумма двух комплексных чисел равна действительному числу. Два комплексных числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Сумма сопряженных комплексных чисел равна действительному числу.

Для комплексных  чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются   действительными   числами,   для   которых  справедливы указанные законы.

 

2. Вычитание комплексных чисел.

 

Определение. Разностью комплексных чисел a + bi (уменьшаемое) и a’ + b’i (вычитаемое) называется комплексное число (a – a’) + (b – b’)i.

Пример 1. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример 2. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

                                  

3. Умножение  комплексных чисел.

 Определение.  Произведением комплексных чисел a + bi и a’ + b’i называется комплексное число

                                     (aa’ – bb’) + (ab’ + ba’)i.

Замечание. На практике нет нужды пользоваться формулой произведения. Можно перемножить данные числа, как двучлены, а затем положить, что i2 = -1.

Пример 1. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i 2 = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример 2. (a + bi)(a – bi) = a2 + b 2

Пример 2 показывает, что произведение сопряженных комплексных  чисел есть действительное и притом положительное число.

Для умножения  комплексных чисел также справедливы  переместительный и сочетательный законы, а также распределительный  закон  умножения  по  отношению  к сложению.

                 

4. Деление  комплексных чисел.

 В соответствии  с определением деления действительных чисел устанавливается следующее определение.

 Определение. Разделить комплексное число a + bi на комплексное число a’ + b’i – значит найти такое число x + yi, которое, будучи помножено на делитель, даст делимое.

Конкретное  правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем: (a + bi):(c + di)=

 

 Пример 1. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

  Записав дробь (7 – 4i)/(3 + 2i), расширяем её на число 3 – 2i, сопряженное с 3 + 2i.  Получим:

((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.

  Пример 1 предыдущего пункта даёт проверку.

  Пример 2. (-2 +5i)/(-3 –4i) = ((-2 + 5i)(-3 – 4i))/((-3 – 4i)( -3 + 4i)) = (-14 –23i)/25 = -0,56 – 0.92i.

Чтобы доказать, что правая часть действительно  является частным, достаточно помножить её на a’ + b’. Получим a + bi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение уравнений с  комплексными переменными

 

  Рассмотрим сначала простейшее  квадратное уравнение z2 = a, где а - заданное число, z - неизвестное. На множестве действительных чисел это уравнение: 

1) имеет один корень  z = 0,  если а = 0;

2) имеет два действительных корня   z1,2 =   , если а>0;

3) не имеет действительных корней, если а<0.

           На  множестве комплексных чисел  это уравнение всегда имеет корень .

          Задача 1. Найти комплексные корни уравнения z2 = a, если:

1) а = -1;  2) а = -25;  3) а = -3.

1) z2 = -1. Так как i2 = -1, то это уравнение можно записать в виде z2 = i2, или z2 - i= 0. Отсюда, раскладывая левую часть на множители, получаем (z-i)(z+i) = 0, z1 = i, z2 = -i.Ответ. z1,2 = i.

2) z2 = -25.  Учитывая, что i2 = -1,преобразуем это уравнение:

z2 = (-1)25, 

z2 = i2 52, z2 - 52 i2= 0,  (z-5i)(z+5i) = 0, откуда z1 = 5i, z2 = -5i.Ответ:

z 1,2 =   5i.

3) z2 = -3, z2 = i2( )2, z2 - ( )2i2 = 0, (z - i)(z +   i) = 0

Ответ: z1,2 =   i.

       

 

 

 

 

Вообще уравнение z2 = a, где а < 0 имеет два комплексных корня: Z1,2= i.

     Используя равенство  i2 = -1, квадратные корни из отрицательных чисел принято записывать так: = i, = 2i, =  i .

Итак, определен для любого действительного числа а (положительного, отрицательного и нуля). Поэтому любое квадратное уравнение az2 + bz + c = 0, где а, b, с - действительные числа, а   0, имеет корни. Эти корни находятся по известной формуле:  

  Z1,2  .

           Задача 2. Решить уравнение z2-4z+13=0. По формуле             находим: z1,2 = = = 2 3i.            

           Заметим,  что найденные в этой задаче  корни являются сопряженными: z1=2+3i и z2=2-3i. Найдем сумму и произведение этих корней: z1+z2=(2+3i)+(2-3i)=4,    z1z2=(2+3i)(2-3i)=13.   

Число 4 - это 2-й коэффициент уравнения  z2-4z+13=0, взятый с противоположным знаком, а число 13- свободный член, то есть в этом случае справедлива теорема Виета. Она справедлива для любого квадратного уравнения: если z1 и z2  - корни уравнения  az2+bz+c = 0,  z1+z2 = ,  z1z2 = .  

            Задача 3. Составить приведенное квадратное уравнение с действительными коэффициентами, имеющие корень z1=-1-2i. 

Второй корень z2 уравнения является числом, сопряженным с данным    корнем    z1,  то есть   z2=-1+2i.  По теореме Виета находим

P=-(z1+z2)=2, q=z1z2=5.   Ответ z2-2z+5=0.

 

 

 

 

 

 

Приложение.

 

В качестве приложения я хочу рассмотреть  формулу (иногда в литературе она имеет название теоремы) Муавра. Она имеет большое значение в тригонометрии, потому что позволяет выражать синусы и косинусы углов (n*x), где n – любое целое число, через простые функции sin x  и cos x.

Формула:

где i – мнимая часть комплексного числа, i2 = -1

Пример:

cos3q + i*sin3q =(cosq + i*sinq)3 = cos3 q + 3i cos2 q * sinq + 3i2 * cosq * sin2 q + i3 sin3 q = cos3 q - 3cosq * sin2 q + i*(3cos2 q * sinq - sin3 q)

Приравнивая абсциссы и ординаты, получаем:

cos3q = cos3 q - 3cosq * sin2 q

sin3q = 3cos2 q * sinq - sin3 q

Таким же образом  можно значительно упростить  sin4x, cos4x (sin5x, cos5x и т.д.)   до выражений, содержащих sinx и cosx

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

 

http://ru.wikipedia.org

http://www.pm298.ru

http://www.fxyz.ru

http://elementy.ru

http://www.mathematics.ru




Информация о работе Комплексные числа