Комплексные числа

 

 

 

 

 

              

 

 

 

 

 

               Доклад по дисциплине «математика»

               Принёс студент группы ЭА-18101

               Солод Иван Дмитриевич

               На тему: «Комплексные числа»

 

 

 

 

 

 

 

                                                      

 

                                              

 

 

 

 

                            Маркс, 2013             

История возникновения комплексных  чисел

1. Развитие  понятия о числе

 

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа. Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных чисел.

 В  III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного как . Наряду с натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил, что “… элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в челом является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1. Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.           

 Следующим  важным этапом в развитии понятия  о числе было введение отрицательных чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э. Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант, знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа , чтобы .

 

2. На  пути к комплексным числам

 

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения кубических уравнений вида кубические и квадратные корни: .

 Эта  формула безотказно действует  в случае, когда уравнение имеет один действительный корень ( x=1), а если оно имеет три действительных корня ( x₁=1 x_2,3 = ), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось, что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени. Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное уравнение пятой степени нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень,  извлечение корня).

 В  1830 году Галуа (Франция) доказал,  что никакое общее уравнение, степень которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически.  Тем не менее, всякое уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней (среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы. Он показал, что система уравнений , не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , , нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать что .

3. Утверждение  комплексных чисел в математике

 

Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу .  Термин “комплексные числа”  так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

 В  течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование. 

 Постепенно  развивалась техника операций  над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра (1707): (подробнее смотри приложение). С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : ,  которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

 

 

В конце  XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например,  в теории колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

 Хотя  в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение, приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми доказательствами.

 “Никто  ведь не сомневается в точности  результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

  После  создания теории комплексных чисел возник вопрос о существовании “гиперкомплексных” чисел - чисел с несколькими “мнимыми” единицами. Такую систему вида , где , построил в 1843 году ирландский математик У. Гамильтон, который назвал их “кватернионами”. Правила действия над кватернионами напоминает правила обычной алгебры, однако их умножение не обладает свойством коммутативности  (переместительности): например, , а . Гиперкомплексные числа не являются темой моего реферата, поэтому я лишь упоминаю об их существовании.

 Большой  вклад в развитие теории функций  комплексного переменного внесли русские и советские ученые Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

 

Комплексные числа и их свойства

1. О комплексных  числах

 

В связи с развитием  алгебры потребовалось ввести сверх  прежде известных положительных и отрицательных чисел числа нового рода. Они называются комплексными. Комплексное число имеет вид a + bi; здесь a и b – действительные числа , а i – число нового рода, называемое мнимой единицей. “Мнимые” числа составляют частный вид комплексных чисел (когда а = 0). С другой стороны, и действительные числа являются частным видом комплексных чисел (когда b = 0).

 Действительное  число a назовем абсциссой комплексного числа a + bi; действительное число b – ординатой комплексного числа

a + bi. Основное свойство числа i состоит в том, что произведение i*i равно –1, т.е.

                                       i²= -1.                                                           (1)

  Долгое  время не удавалось найти такие  физические величины, над которыми  можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами – в частности  правилу (1). Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

Правило каждого  действия над комплексными числами  выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над вещественными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

Действительное  число а записывается также в  виде a + 0i (или a – 0i).

Примеры. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0i означает –2. 

Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись         bi обозначает то же, что 0 + bi. Два комплексных a + bi,  a’ + b’i считаются равными, если у них   соответственно равны абсциссы и ординаты, т. е. Если a = a’, b = b’. В противном случае комплексные числа не равны. Это определение подсказывается следующим  соображением. Если бы могло существовать, скажем, такое равенство:

2 + 5i = 8 + 2i, то по правилам алгебры мы имели бы  i = 2, тогда как i не должно бать действительным числом.

2. Геометрическое изображение  комплексных чисел

 

  Действительные  числа можно изобразить точками  прямой линии, как показано на рис.2, где точка K изображает число 5. Это число можно изобразить также отрезком ОK, учитывая не только его длину, но и направление.

   Каждая  точка С “числовой прямой”  изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОС соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на “числовой прямой” не остаётся места для комплексных чисел.

   Но  комплексные числа можно изобразить  на “числовой прямой”. Для  этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат с одним и тем же масштабом на обеих осях (рис. 1). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой М, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа.

Примеры. На рис. 2 точка А с абсциссой  х=3 и ординатой у=5 изображает комплексное число 3 + 5i. Точка В (-4,-5) изображает комплексное число –4 - 5i.

Действительные  числа (в комплексной форме они  имеют вид a + 0i) изображают точками оси OХ, а чисто мнимые – точками оси OУ.

 Примеры.  Точка К на рис. 2 изображает действительное число 5, точка L – чисто мнимое число 3i. Начало координат изображает число 0.

 Сопряжённые  комплексные числа изображаются  парой точек, симметричных относительно оси абсцисс; так, точки А и А’ на рис. 2 изображают сопряжённые числа  3 +5i   и 3 -5i.

 Комплексные  можно изображать также отрезками, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число a + bi можно изобразить не только точкой M (рис. 1), но также вектором ОM .

Замечание. Давая какому – либо отрезку наименование “вектор”, мы подчёркиваем, что существенное значение имеет не только длина, но и направление отрезка.

Геометрическое  истолкование комплексных чисел  позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

          

3. Тригонометрическая  форма комплексного числа.

 

 Абсцисса  а и ордината b комплексного числа a + bi выражаются через модуль  r  и аргумент  q. Формулами

                   a = r cos q ,     r=a/cos q         

                   b = r sin q ,     r=b/sin q