Оценке  параметра λ экспоненциального (показательного) закона распределения уделяется  много внимания. Во-первых, экспоненциальный закон находит серьезные применения в задачах теории надежности. Во-вторых, для случая показательного закона многие задачи удается разрешить в явной форме, выписав ответ в виде простых формул [5].

     Кроме того, экспоненциальное распределение  занимает очень важное место при  проведении системного анализа экономической  деятельности. Этому закону распределения  подчиняются многие явления, например:

1. Время поступления заказа на предприятие;
2. Посещение покупателями магазина-супермаркета;
3. Телефонные разговоры;
4. Срок службы деталей и узлов в компьютере [6].

     Таким образом, на примере показательного закона можно изложить основные идеи методов получения оценок, не затемняя их сложными расчетами [5].

     Целью данной курсовой работы является применение теоретических знаний о показательном  законе распределения для построения оценок параметров данного закона распределения  и проверки параметрической статистической гипотезы. 

     Экспоненциальное (показательное) распределение –  абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя  последовательными совершениями одного и того же события. 

     Случайная величина Х имеет экспоненциальное распределение с параметром λ > 0, если ее плотность имеет вид

     

, где

     λ – положительное число.

     Интегрируя  плотность, получаем функцию экспоненциального  распределения:

     Получаем 

     

 

     математическое  ожидание экспоненциального распределения равно обратной величине параметра λ.

     Дисперсия случайной величины Х равна обратной величине квадрата параметра λ.

     Заметим, что в случае показательного распределения  математическое ожидание и среднее  квадратическое отклонение равны.

     Множество, на котором задана случайная величина Х экспоненциального закона распределения выглядит: [0; +∞]. 

     Для однопараметрического экспоненциального  закона функция правдоподобия  имеет вид:

     

, где 

     и – полная достаточная статистика.

      Для нахождения оптимальной оценки необходимо проверить принадлежность данного  закона к экспоненциальному семейству  законов распределения. Для этого  прологарифмируем плотность вероятности. Фиксируем параметр λ:

      

      Введем  обозначение:

      

;  :   ;  

      Получим: . Следовательно, экспоненциальный закон распределения принадлежит экспоненциальному семейству законов распределения.

      Для нахождения оптимальных оценок понадобятся  следующие формулы:

      

      

      Применив  данные формулы к экспоненциальному закону распределения, получим:

      

      

      

      Составим  уравнение несмещенности:

      

      

 – оптимальная оценка дисперсии.

      Таким образом, оптимальная оценка параметра  λ имеет вид: .

      Построение  оптимальной оценки методом максимального правдоподобия

      Пусть Х – непрерывная случайная величина, которая в результате n испытаний приняла значения х₁, х₂, …, х_n.

      Функцией  правдоподобия случайной величины Х называют функцию аргумента θ:

      Найдем  оценку параметра λ экспоненциального распределения методом максимального правдоподобия.

      

 при 

      Составим  функцию правдоподобия:

      

      Отсюда  следует:

      

      Найдем  логарифмическую функцию правдоподобия:

      

      Найдем  первую производную по λ:

      

      Напишем уравнение правдоподобия, для чего приравняем первую производную нулю:

      

      Найдем  критическую точку. Для этого  решим полученное уравнение относительно λ:

      

      

      Найдем  вторую производную по λ:

      

      Заметим, что при  вторая производная отрицательна; следовательно, - точка максимума и, значит, в качестве оценки максимального правдоподобия параметра λ экспоненциального распределения надо принять величину, обратную средней:

      Построение  интервальной оценки параметра экспоненциального  закона распределения

      Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала, покрывающего оцениваемый параметр.

      Пусть , где λ – скалярный параметр, подлежащий интервальной оценке.

      Примем  в качестве опорной случайной  величины:

      Опорная случайная величина V монотонно убывает и непрерывна по λ для любых и не зависит от λ.

      Построим  центральный γ-доверительный интервал (γ₁= γ₂)

      Для определения границ доверительного интервала воспользуемся уравнениями:

      

                (1)

      

(2)

      Решив первое уравнение, получим нижнюю границу  γ-доверительного интервала:

       .. .. 

         ..

      Аналогично, решив второе уравнение, получим  верхнюю границу γ-доверительного интервала:

      Таким образом, двусторонний γ-доверительный  интервал имеет вид:

Построение  алгоритма проверки параметрической  статистической гипотезы

      По  выборке объемом  , подчиненной экспоненциальному закону распределения, проверим гипотезу о равенстве параметра конкретному значению . Пусть нулевая гипотеза – . Тогда конкурирующая – . Чтобы проверить нулевую гипотезу необходимо:

      1. Задать уровень значимости α  и конкретное значение  ;

      2. Из доверительного интервала выразить (найти критерий проверки);

      3. Вычислить нижнюю и верхнюю  границы критерия проверки, используя  конкретное значение  ;

      4. Если при конкретном значении  принадлежит неравенству, полученному в пункте 2 (критерию проверки) – нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

      Формирование  генеральной совокупности

      Сгенерируем выборку случайных чисел в объеме n=100, подчиняющихся экспоненциальному закону распределения с использованием статистического пакета «Анализ данных» инструмента «Генерация случайных чисел» программы Ms Excel. Сформируем генеральные совокупности случайных величин U и K, подчиняющиеся равномерному распределению с заданными параметрами: от 0 до 1. Затем рассчитаем значение случайной величины Х, используя формулу , и значение случайной величины Y, используя формулу . Параметр λ=3.

      В итоге получили значения, представленные в таблице 1 (Приложение А).

Нахождение  статистических оценок математического  ожидания и дисперсии

      По  данным выборки Х определим статистические оценки математического ожидания и дисперсии . Данные значения можно получить, используя пакет «Анализ данных» программы МS Ехсеl с помощью инструмента «Описательная статистика». Для этого используем: Сервис – Анализ данных – Описательная статистика – ОК. Получаем данные, представленные в таблице 2 (Приложение Б).

      Математическое  ожидание = 0,390017833.

      Дисперсия = 0,151505804.

Построение  интервальной оценки

      Построим  центральный γ-доверительный интервал для параметра λ с доверительной вероятностью γ=0,9. Так как доверительный интервал центральный, то . Получаем . По таблице значений функции распределения стандартного нормального распределения находим = 1,645. Оценку максимального правдоподобия находим по формуле

      

, 2,563985321.

      Двусторонний  γ-доверительный интервал имеет  вид:

      

      Поэтому для определения границ интервала используем следующие формулы:  

      Получаем  двусторонний γ-доверительный интервал:

      2,20179074 <λ< 3,0688035

      Истинное  значение параметра λ=3 входит в полученный доверительный интервал.

Построим  критерий проверки двух гипотез:

       

     Уровень значимости α = 0,1; = 3.

     Известно, что, следовательно, асимптотически оптимальный критерий имеет функцию мощности:

      _{, если}   

      _{, если} 

      Получим критерий проверки из доверительного интервала:

      

     Выразим из этого неравенства  . Получим критерий проверки гипотезы:

     

     Таким образом, критерий проверки имеет вид:  2,5065 < < 3,4935

      Оптимальную оценку параметра λ найдем по формуле ,

      

2,563985321.

     Таким образом, , поэтому нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

     Функция мощности:

     

     

     Ошибка  второго рода равна:

     1 – (0,99 – 0,02) = 0,03 или 3%.

 

     В данной курсовой работе представлено описание экспоненциального  закона распределения, дано построение точечной оценки параметра распределения  λ двумя способами: