Экономико-математическая постановка задачи

Экономико-математическая постановка задачи

Портфель - это совокупность финансовых активов, объединенных вместе для реализации целей инвестора, для максимизации прибыли и минимизации  убытков. В модели Марковица допустимыми  являются только стандартные портфели, портфели без коротких позиций (без продаж), то есть портфель состоящий только из купленных акций.

Отсюда первое ограничение, которое накладывается на портфель, это положительные доли всех составляющих финансовых активов портфеля (х_i).

 (1)

Второе ограничение состоит в том, что сумма всех долей финансовых активов должна составлять 1, это правило нормировки долей. Формула 2 показывает это ограничение.

 (2)

Так же доходность портфеля будет выглядеть как сумма  доходностей отдельных акций  с выбранными весовыми коэффициентами. Так как каждый инвестор пытается максимизировать получаемую доходность, то необходимо будет максимизировать эту целевую функцию. В итоге это будет выглядеть в виде формулы 3.

 (3)

Помимо доходности инвестору  необходимо так же учесть и риск, связанный с той или иной акцией. Риск по Г. Марковицу выражается в виде среднеквадратического отклонения δ_i каждой финансовой составляющей активов портфеля. Значение δ_р - это уровень приемлемого риска для инвестора. Помимо учета средне квадратического отклонения отдельных акций необходимо учесть корреляцию между доходностями акций - r_ij . Корреляция в нашем случае для модели Марковица равняется нулю. В итоге риск всего портфеля представлен формулой 4.

 (4)

Экономико-математическая модель задачи формирования оптимального портфеля акций максимальной эффективности при которой риск портфеля не превышает заданного значения δ_р, и при учете всех ограничений на портфель, примет следующий вид (5):

 (5)

Обратная задача оптимизации  портфеля сводится к выбору такой структуры портфеля, доходность которого выше либо равна заданному значению m_p, а риск минимален. Экономико-математическая модель задачи в этом случае примет вид (6):

 (6)

Компьютерная  реализация.

Как отмечалось в предыдущей главе, для разработки планов оптимальной системы финансовых портфелей банка целесообразно использовать стандартное для финансистов банков программное обеспечение: Excel, или другие электронные таблицы, имеющие Solver (поиск решения). Эти пакеты позволяют решать сформулированную выше экономико-математическую задачу.

Будем использовать как  инструмент компьютерную программу  поиска оптимального плана портфелей  банка методом нелинейного математического  программирования¹. Рассмотрим пример электронных таблиц портфелей банка, обрабатываемых программой оптимизации.²

В примере представлены таблицы портфеля размещения ресурсов банка (таблица активов), привлечения  ресурсов (пассивы) и таблица экономических  нормативов.

Пример  составления портфеля Марковица  для выбора оптимального кредитного портфеля банка

Для нахождения оптимального портфеля по Марковицу воспользуемся  средствами Excel и компонентой Solver (Поиск  решений).

Формула расчета дневной  доходности (m_j) представлена (7):

 (7)

Где: Р_j - цена акции на конец текущего дня;

Р_j-1 - цена акции за предыдущий день.

В итоге должна получится, следующая  таблица дневных доходностей  активов банка:

Таблица 1. Таблица  активов банка

Что бы рассчитать доходность для каждой акции необходимо найти  среднюю доходность активов за выбранный  период, в данном случае 1 год.

 (8)

Посчитав, среднедневная  доходность за весь период составила  для Портфель1=-0,02%, Портфель 2=0,28%, Портфель 3=0,05% и Портфель4=0,08%. Так как средняя  доходность Первого портфеля отрицательная, то он не будет включен. Помимо доходности необходимо рассчитать риск, для этого рассчитаем среднеквадратическое отклонение доходностей по формуле (9).

 (9)

Для портфеля 1 δ₁ =1,73%, портфеля 2 δ₂ = 1,98% и портфеля 3 δ₃ = 2,05%. Составим уравнение для нахождения оптимального портфеля. Так же зададим допустимый максимальный уровень риска в 0,15%.

 (10)

Полученные данные занесем  в таблицу для расчетов долей (x_i) каждой акции в портфеле. Осталось решить полученное уравнение и рассчитать доли каждой акции, для этого воспользуемся встроенным в пакет Excel надстройки «Поиск решений».

После запуска надстройки «Поиск решений» установим целевую  функцию, это доходность всего портфеля. После этого поставим флажок на максимизации значения этой целевой функции. Ячейки для изменения будут соответствовать доли акций, которые необходимо найти. Так же необходимо наложить ограничения на то что бы сумма всех долей была равна 1, и что бы каждая доля была не отрицательна и общий риск портфеля был бы меньше 0,15%.

В ячейке с общим риском (D7) прописывается следующая формула:

=КОРЕНЬ(0,0301*D2*D2+0,0393*D3*D3+0,0421*D4*D4)

Целевая функция в  ячейке (F3) равняется:

=D2*B2+D3*B3+D4*B4

В ячейке (D6) прописывается  ограничение для портфеля:

=СУММ(D2:D4)

После проделанной работы получим следующие результаты:

Расчет оптимального портфеля по Г. Марковицу представлен  на рисунке ниже.

Для решения существующих проблем при разработке депозитной политики любому банку необходимо руководствоваться  определенными критериями ее оптимизации. Это предполагает согласование интересов коммерческого банка и его клиентов с учетом проводимой государством экономической политики. Очевидно, что их интересы далеко не всегда совпадают. Поэтому оптимальная депозитная политика предполагает, прежде всего, согласование их интересов. Можно выделить следующие направления оптимизации депозитной политики:

1) взаимосвязь депозитных, кредитных и прочих операций  банка для поддержания его  стабильности, надежности и финансовой  устойчивости;

2) диверсификация ресурсов  банка с целью минимизации  риска;

3) сегментирование депозитного  портфеля (по клиентам, продуктам,  рынкам);

4) дифференцированный  подход к различным группам  клиентов;

5) конкурентоспособность  банковских продуктов и услуг;

6) обеспечение оптимального сочетания стабильных и «летучих» ресурсов в депозитном портфеле в условиях повышенных рисков;

7) оптимальное сочетание  ценовых и неценовых методов  привлечения средств;

8) учет концепции жизненного  цикла в процессе формирования  спектра вкладов и депозитного портфеля в целом;

9) выделение в структуре  банка подразделения, занимающегося  маркетинговым исследованием рынка  депозитов.

В целях совершенствования  депозитной политики коммерческого  банка можно предложить следующее: каждый коммерческий банк должен иметь собственную научно-обоснованную депозитную политику, выработанную с учетом специфики его деятельности. Данная политика должна соответствовать задачам функционирования банка на соответствующем этапе его развития. Формирование основных положений депозитной политики банка должно опираться на глубоком познании механизма действия экономических законов в денежно-кредитной сфере, тенденций образования и использования денежных доходов государства, хозяйствующих субъектов и населения, экономической природы различных видов вкладов; необходимо расширение круга депозитных продуктов, сочетание их видов и типов, что позволит полнее удовлетворять потребности клиентов банка, повысить заинтересованность инвесторов в размещении своих средств.

 

 

1 Солянкин А.А. Компьютеризация финансового анализа и прогнозирование в банке. / Под ред. Г.А.Титоренко. – М.: Финстатинформ, 2008. – 96 с.

2 Емельянов С.А., Майков Г.П. Оперативный анализ финансового состояния банков с использованием среды Windows – Excel. // Приборы СУ. 2007. №12.