История систем счисления

История систем счисления 

     Современный человек в повседневной жизни  постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и  телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых  долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч  лет назад? Вопрос непростой, но очень  интересный. Историки доказали, что  и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить  над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но в любом  случае число изображалось с помощью  одного или нескольких символов.

     Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принято называть цифрами

     Но  что же люди понимают тогда под  словом "число"?

     Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем  конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием  письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость  производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с  другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

     Эталон  называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения  не всегда укладывалась целое число  раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность  ввести более "мелкие" числа, чем  натуральные. Дальнейшее развитие понятия  числа было обусловлено уже развитием  математики.

     Понятие числа - фундаментальное понятие как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала под числом мы будем понимать его величину, а не его символьную запись.

     Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в  основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

     Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

     Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в  настоящее время, делятся на две  группы: позиционные и непозиционные.

     Наиболее  совершенными являются позиционные  системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит  от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в  величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен  и "вносит" в величину числа 300.

     Системы счисления, в которых каждой цифре  соответствует величина, не зависящая  от её места в записи числа, называются непозиционными.

     Позиционные системы счисления - результат длительного  исторического развития непозиционных  систем счисления. 

Единичная система 

     Потребность в записи чисел появилась в  очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

     Учёные  назвали этот способ записи чисел  единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе  счисления обозначалось с помощью  строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому  числу.

     Неудобства  такой системы записи чисел и  ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко  ошибиться, нанеся лишнее количество палочек  или, наоборот, не дописав их.

     Можно предложить, что для облегчения счёта  люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при  подсчёте использовались пальцы рук, поэтому  первыми появились знаки для  обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы  записи чисел. 

Древнеегипетская  десятичная непозиционная  система 

     В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 10², 10³, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.

Пример. Число 345 древние египтяне записывали так:

     В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой  принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной. 

Вавилонская шестидесятеричная  система 

     Также далеко от наших дней, за две тысячи лет до н.э., в другой великой цивилизации  -вавилонской - люди записывали цифры по-другому.

     Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий  клин - для обозначения десятков.

     Для определения значения числа надо было изображение числа разбить  на разряды справа налево. Новый  разряд начинался с появления  прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево.

Например: Число 32 записывали так:

     Знаки прямой клин и лежачий клин служили  цифрами в этой системе. Число 60 снова  обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=60², 216000=60³ и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.

     Значение  числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что  цифры в каждом последующем разряде  значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.

Пример. Число 92=60+32 записывали так:

а число 444 в этой системе записи чисел имело вид

т.к. 444=7*60+24.

     Исключительно для наглядности разделён пробелом (которого не было у вавилонян) старший  разряд (левый) и младший.

     Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной  системе с основанием 60.

     Запись  числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения  нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения  абсолютного значения числа требовались  дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда

что соответствует  появлению цифры 0 в записи десятичного  числа.

Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:

     Но  в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем  понимании, и опять же требовались  дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.

     Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически  невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.

     Шестидесятеричная вавилонскаясистема - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

     Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших  дней. Так, мы до сих пор делим  час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов). 

Римская система 

   Знакомая  нам римская система не слишком принципиально отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, C, D и M соответственно, являющиеся цифрами этой системы счисления.

   Число в римской системе счисления  обозначается набором стоящих подряд цифр. Значение числа равно:

1. сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых цифр (назовём их группой первого вида);
2. разности значений двух цифр, если слева от большей цифры стоит меньшая. В этом случае от значения большей цифры отнимается значение меньшей цифры. Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из "младших" может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) - только C(100), перед V(5) - только I(1);
3. сумме значений групп и цифр, не вошедших в группы первого или второго вида.

Пример 1. Число 32 в римской системе счисления  имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).

Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской  системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).

Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления  будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов  в формировании числа участвуют  отдельные "цифры").  

Славянская  система счисления 

     Данная  система счисления является алфавитной т.е. вместо цифр используются буквы алфавита. Данная система счисления применялась нашими предками и была достаточно сложной, т.к. использует в качестве цифр 27 букв.