ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БЕЛГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

(НИУ  «БелГУ») 

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 

КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТЕХНИКИ 
 
 
 
 
 

ИСТОРИЯ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ  СЧИСЛЕНИЯ

Реферат студентки

Очного  отделения 1 курса 011105 группы

Шевкун  Екатерины Алексеевны 
 
 

     Научный руководитель

                                       Гальцева Оксана Александровна 
 
 
 
 
 
 
 

БЕЛГОРОД,2011

 

Содержание 

 

ВВЕДЕНИЕ

     Современный человек в повседневной жизни  постоянно сталкивается с числами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведём свой семейный бюджет в рублях и копейках (сотых долях рубля) и т.д. Числа, цифры... они с нами везде. А что знал человек о числах несколько тысяч лет назад? Вопрос непростой, но очень интересный. Историки доказали, что и пять тысяч лет назад люди могли записывать числа и производить над ними арифметические действия. Конечно, принципы записи были совсем не такими, как сейчас. Но влюбом случае число изображалось с помощью одного или нескольких символов.

     Эти символы, участвующие в записи числа, в математике и информатике принять  называть цифрами

     Но  что же люди понимают тогда под  словом "число"?

     Первоначально понятие отвлечённого числа отсутствовало, число было "привязано" к тем  конкретным предметам, которые пересчитывали. Отвлечённое понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности. Дробные же числа изобрели тогда, когда возникла необходимость производить измерения. Измерение, как известно, это сравнение с другой величиной того же рода, выбираемой в качестве эталона.

     Эталон  называется ещё единицей измерения. Понятно, что единица измерения  не всегда укладывалась целое число  раз в измеряемой величине. Отсюда и возникла практическая потребность  ввести более "мелкие" числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено уже развитием математики.

     Понятие числа - фундаментальное понятие  как математики, так и информатики. В дальнейшем при изложении материала  под числом мы будем понимать его  величину, а не его символьную запись.

     Сегодня, в самом конце XX века, для записи чисел человечество использует в  основном десятичную систему счисления. А что такое система счисления?

     Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.

     Различные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в настоящее время, делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

     Наиболее  совершенными являются позиционные  системы счисления, т.е. системы записи чисел, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Например, наша привычная десятичная система является позиционной: в числе 34 цифра 3 обозначает количество десятков и "вносит" в величину числа 30, а в числе 304 та же цифра 3 обозначает количество сотен и "вносит" в величину числа 300.

     Системы счисления, в которых каждой цифре  соответствует величина, не зависящая  от её места в записи числа, называются непозиционными.

     Позиционные системы счисления - результат длительного исторического развития непозиционных систем счисления.

 

     1.Единичная система

     Потребность в записи чисел появилась в  очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов, например овец, изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждой овце в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

     Учёные  назвали этот способ записи чисел  единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе  счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

     Неудобства  такой системы записи чисел и  ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

     Можно предложить, что для облегчения счёта  люди стали группировать предметы по 3, 5, 10 штук. И при записи использовали знаки, соответствующие группе из нескольких предметов. Естественно, что при подсчёте использовались пальцы рук, поэтому первыми появились знаки для обозначения группа предметов из 5 и 10 штук (единиц). Таким образом, возникли уже более удобные системы записи чисел.

 

     2.Индийская нумерация

     Счет  целых чисел в Индии с древних  (арийских) времен носил десятичный характер. Санскрит- индоевропейский язык, родственный индоевропейским языкам Европы (для сравнения приведем числительные 1-эка, 2-дви, 3-три). В названиях чисел применялся аддитивный и субстрактивный принципы; например, 19 можно было назвать и “навадаша”, (девять-де-сять) и "экауна-вимсати" (без одного двадцать). В отличие от других индоевропейских языков, в санскрите существуют названия для чисел от 10 до 50.

     Начиная с VI в. до н. э. в Индии были широко распространены цифры “брахми”. В отличие от цифр карошти, цифры брахми записывались слева направо, как индийское письмо. До сотни применялся чисто аддитивный принцип, а начиная с сотен этот принцип соединялся с мультипликативными: в нумерации брахми последний принцип применялся не только к знаку для 100, но и к знаку для 1000.

     Эта особенность цифр брахми стала предпосылкой создания в Индии десятичной позиционной  нумерации.

     Первая  известная нам запись с помощью  цифр брахми, в которой применяются только первые девять цифр, а десятки и сотни обозначаются теми же цифрами, что и единицы, относится к VI в. н. э.: это дарственная запись от 595 г. н.э., в которой 346-й год записан цифрами брахми 346. Нуля не было, вместе него на счетной доске оставлялся пустой столбец.

     Наряду  с цифровой записью в Индии  широко применялась словесная система  обозначения чисел, этому способствовал  богатый по своему словарному запасу санскритский язык, имеющий много  синонимов. При этом нуль обозначался словами “пустое”, “небо”, “дыра”; единица — предметами, имеющимися только в единственном числе: Луна, Земля; двойка — словами “близнецы”, “глаза”, “ноздри”, “губы”; четверка — словами “океаны”, “стороны света” и т. д.

     Применение  позиционного принципа в словесной нумерации, в котором одно и то же слово в зависимости от места имеет разное числовое значение, а названия разрядов опускаются, зафиксировано еще в V в. Например, число 1021 записывалось словами “Луна — дыра — крылья — Луна”. Одно из названий нуля — “шунья” (пустое) стало впоследствии основным. Когда в VIII в. индийские сиддханты переводили на арабский язык, слово “шунья” перевели арабским словом “сыфр”, имеющим то же значение. Слово “сыфр” при переводе арабских сочинений на латынь было оставлено без перевода в виде ciffra, откуда происходит французское и английское название нуля zero, немецкое слово Ziffer и наше слово “цифра”, также первоначально означавшее нуль.

     Но  в это же время на судьбу нумерации  значительное влияние оказали математики. В области вычислений требовались более удобные системы счисления и Ариабхата предложил записывать цифры санскритскими буквами.

     Первое  достоверное свидетельство о  записи нуля относится к 876 г., в настенной  надписи из Гвалиора (Индия) имеется  число 270.

       На основе цифр брахми выработались современные индийские цифры “деванагари” (божественное письмо), применяющиеся в десятичной позиционной системе, от которой происходят десятичные позиционные системы арабов и европейцев.

     Первым  свидетельством об индийской десятичной позиционной системе являются слова сирийского христианского епископа Севера Себохта, жившего в одном из монастырей в верховьях Евфрата в VII в. В рукописи 662 г. Себохт писал: “Я не стану касаться науки индийцев... их системы счисления, превосходящей все описания. Я хочу лишь сказать, что счет производится с помощью девяти знаков."

     Мы  называем изобретенные индийцами цифры 1, 2, .., 9 и нуль арабскими, так как  заимствовали их у арабов, но сами арабы  называли эти цифры индийскими, а  арифметику, основанную на десятичной системе - “индийским счетом”

 

     3.Древнеегипетская десятичная непозиционная система

           История системы. Древнеегипетская  десятичная непозиционная система  возникла во второй половине  третьего тысячелетия до н.э.. Бумагу заменяла глиняная дощечка, и именно поэтому цифры имеют такое начертание.

           Сущность системы. Египтяне придумали  свою числовую систему, в которой  для обозначения ключевых чисел  1, 10, 100 и т.д. использовались специальные  значки – иероглифы. Все остальные  числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку. В древнеегипетской системе счисления использовались специальные знаки ( цифры) для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих «цифр», в которых каждая «цифра» повторялась не более девяти раз. В основе как палочной, так и древнеегипетской систем счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи.

 

     4.Римская система

          История системы. Примером непозиционной  системы счисления, которая сохранилась  до наших дней, может служить  система счисления, которая применялась  более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Знакомая нам римская система принципиально ненамного отличается от египетской. Но она более распространена в наши дни: в книгах, в фильмах. Римскими цифрами пользовались очень долго. Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система счисления сегодня используется, в основном, для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

          Сущность системы. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, Х (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Centum – сто, Demimille – половина тысячи, Mille – тысяча). Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

     XXVIII = 10 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 (три десятка, пяток,  три единицы).

     Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

     Например, IX – обозначает 9, XI – обозначает 11.

     Десятичное  число 99 имеет следующее представление:

     XCIX = -10 +100 -1 + 10.

     Значение  числа в римской системе счисления  равно:

     1)      сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр» (назовем их группой первого вида);

     2)      разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая. В этом случае от значения большей «цифры» отнимается значение меньшей «цифры». Вместе они образуют группу второго вида. Заметим, что левая «цифра» может быть меньше правой максимум на один порядок: так перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только Х (10), перед D(500) и Ь(1000) – только С(100), перед V(5) – только I(1);