Интегралы и дифференциалы

     На  малой дуге MN алгебраической кривой f(х) = 0 путём проведения секущей SMN  строится «характеристический» D MNP.

D MNP подобен D MRS.  

     Отсюда SR = (MR ^. MP) / PN, или в более привычных нам символах SP = [f(х)h] / f(х+h) – f(х).

Затем Ферма  переходит от секущей к касательной, полагая х = 0, получая тем самым  S_t = у / у¹. Позднее он  распространил этот метод определения касательных на случай неявной функции f(х,у) = 0. Полученное им выражение легко переводится в привычное нам                       

 дf / дх + у¹ (дf / дх) = 0.

     Первый  в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10  глав. В предисловии даётся краткий исторический обзор развития нового исчисления.

     В 10 главах книги излагаются  определения постоянных и переменных величин и дифференциала («Бесконечно малая, часть на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется её дифференциалом».), объясняются употребляющиеся обозначения dх, dу и др., выводятся правила дифференцирования алгебраических выражений, определяется дифференциальное исчисление к нахождению касательных к кривым, к нахождению максимумов и минимумов и т.п.

     Большими  достоинствами книги Лопиталя являются простота и строгая последовательность изложения, обилие примеров лёгких, средних  и более трудных.

     Появление анализа бесконечно малых революционировало  всю математику, превратив её в математику переменных величин. 

5. Определение дифференциала

 

     Определение. Функция у = f(х) называется дифференцированной в точке х, если её приращение Dу  в этой точке можно представить в виде                      

 Dу = f(х)Dх+a(Dх)Dх,      

 где         a (Dх) = 0

6. Первообразная функция и неопределённый интеграл

 

     Основной  задачей дифференциального исчисления является нахождение производной  f’(х)  или дифференциала f’(х)dх данной функции  f(х).

В интегральном исчислении решается обратная задача:

     Дана  функция  f(х); требуется найти такую функцию  F(х), производная которой f(х)dх в области определения функции  f(х), то есть, в этой области функции  f(х) и F(х) связаны соотношением F’(х) = f(х) или dF(х)= F’(х)dх = f(х)dх.

     Определение.  Функция F(х) называется первообразной функцией для данной функции  f(х), если для любого х из области определения f(х) выполняется равенство F’(х) = f(х) или  dF(х) = f(х)dх.

Примеры.       1) Пусть  f(х) = cos х.                      

 Решение: Тогда F(х) = sin х, так как  

F’(х) = cos х = f(х)  или  dF(х) = cos х dх = f(х)dх                      

2) Пусть  f(х) = х².                      

 Решение:  Тогда F(х) =    , так как F’(х) = х² = f(х)  или dF(х) = х²dх = f(х)dх.

     Известно, что если две функции  f(х) и j(х) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, то есть, если  f(х) = j(х) + С, то f’(х) = j(х) или  f’(х)dх = j(х)dх.

     Известно  также, что и наоборот, если две  функции  f(х) и j(х) имеют одну и ту же производную или один и тот же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, то есть, если                       

f’(х) = j’(х) или dхf(х) = dj(х), то                     

f(х) = j(х) + С.

     Замечание. Действительно, если производная  f’(х) обращается в нуль для любых значений х в (а,в), то в этом интервале f(х) = С.

     В самом деле, если х₁Î (а,в) и х₂ Î (а,в), то в силу теоремы Лагранжа, имеем f(х₂) – f(х₁) = (х₂–х₁) f’(х₀), где х₁< х₀< х₂ . Но, так как f’(х₀) = 0, то f(х₂) – f(х₁) = 0.

     Отсюда  непосредственно следует что, если в формуле у = F(х) + С мы будем придавать постоянной С все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f(х).

     Определение. Множество F(х) +С всех первообразных  функций для функции f(х), где С  принимают все возможные числовые значения, называется неопределённым интегралом от функции f(х)  и обозначается символом                        

     f(х)dх    

Таким образом, по определению,                        

     f(х)dх = F(х) + С,  (А) 

где F’(х) = f(х) или dF(х) = f(х)dх и С – произвольная постоянная. В формуле (А) f(х) называется подынтегральной функцией, f(х)dх  – подынтегральным выражением, а символ  – знаком неопределённого интеграла.

     Неопределённым  интегралом называют не только множество  всех первообразных, но и любую функцию  этого множества.

Определение. Нахождение первообразной по данной функции  f(х) называется интегрированием. 

7. Проблема двойных и тройных интегралов

 
          Эта эпоха математического творчества оказалась единственной по своей интенсивности, а Эйлер - одним из немногих по своей продуктивности учёным. Его творения: "Введение в анализ бесконечно малых", "Основания дифференциального исчисления" и "Основания интегрального исчисления" стали первыми трактатами, которые объединили уже обширный, но вместе с тем разрозненный материал нового анализа в цельную науку. В них была разработана та основа современного анализа, которая сохранилась и до нашего времени. 
           Исследование методов вычисления двойных и тройных интегралов показала, что вычисление этих интегралов методом вычисления обычного определенного интеграла - при помощи неопределенного, невероятно трудно, поэтому математики сохранили концепцию Ньютона только на словах, а на деле, при решении задач точных наук, приняли сторону Лейбница. Так они вычисляли соответствующие интегральные суммы (в прямоугольных, цилиндрических и сферических координатах) и находили их пределы. 
              Таким образом, поиск методов вычисления новых видов определенного интеграла показал, что обыкновенный, двойной и т. д. определенный интегралы должны быть обоснованы сами по себе независимо от понятия неопределенного интеграла. Но каждое слагаемое любой интегральной суммы является бесконечно малой величиной. Ставился вопрос не только о легализации ранее “изгоняемого” понятия бесконечно малого, но и о раскрытии его реального содержания и о соответствующем его применении. Как говорилось ранее, чтобы всё это сделать, появилась необходимость преодолеть, обобщить, развить традиционное, каким было признано Эйлерово, толкование функции и понятия предела. 
               Коши - решение парадокса существования конечных сумм из бесконечно малых слагаемых. Возник естественный вопрос о возможности существования пределов интегральных сумм, имеющих бесконечно малые слагаемые. Так в первой четверти XIX века, избегаемое ранее, понятие бесконечно малой оказалось необходимым и для изучения и для сопоставления свойств непрерывных и разрывных функций. 
               Основополагающих результатов добился в развитии этого вопроса Коши. “Между многими понятиями, - указывал Коши, - тесно связанными со свойствами бесконечно малых, следует поместить понятие о непрерывности и прерывности функций”. Здесь же Коши дал определение непрерывности функции, которое более чем ясно подтвердило ясность этого его утверждения. Новая постановка задач обоснования математического анализа дала понять, что вопрос не только в признании и применении бесконечно малых - это делали и раньше! - ,но прежде всего в научном истолковании их содержания и обоснованном на этом использовании их в алгоритмах математического анализа. Но чтобы этого добиться, необходимо было преодолеть господствовавшее в XVIII веке узкое толкование понятия предела, разработать новую общую теорию пределов.  
             Исследование разрывных функций, а также сравнение их с функциями непрерывными заставило признать то, что ранее считалось невозможным: предел, к которому стремиться последовательность значений функции, при стремлении аргумента в некоторой точке может оказаться отличным от значения функции в этой точке. 
              Получается, что предел не всегда является конечным значением переменной, но во всех случаях предел является числом, к которому переменная неограниченно стремится. Следовательно, dx и dy не необходимо нули или “мистически” актуально бесконечно малые; бесконечно малая - это переменная, имеющая пределом нуль, причем факт не является противоречием или парадоксом. 
             Вторую ограничительную тенденцию в принятой ранее трактовке понятия предела также преодолел Коши. Он признал, что переменная может приближаться к своему пределу не только монотонно, но и колеблясь- принимая порой значения, равные её пределу. Эта формулировка придала теории Коши необходимую общность и исключительную гибкость.

Литература.

 

1.   «Дифференциальные  и интегральные исчисления». 

2.   «Курс высшей математики».

3.   «История математики в школе».

4.   «История математики».

5.   «Краткий очерк истории математики».

6.   «Курс высшей математики».