Гиперболалық функциялардың туындысы

Қостанай мемлекеттік  педагогикалық институты

Жаратылыстану-математика факультеті

Физика- математика кафедрасы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Курстық жұмыс

Тақырыбы: Гиперболалық функциялардың  туындысы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Орындаған: математика I-курс Қалиева А

Тексерген: аға оқытушы  Раисова Г

 

 

 

Мазмұны

 

1) Кіріспе.............................................................................................................3

2) Негізгі бөлім...................................................................................................4

   а) екінші ретті гиперболалық типтегі теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табу жөнінде.......................................................................................................9

 б) гипербола текті теңдеулер түріне жататын тербеліс теңдеуі...................13

3) Қорытынды ....................................................................................................16

4) Пайдаланған әдебиеттер тізімі......................................................................17

5) Қосымшалар....................................................................................................18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yнүктесінде және оның белгілі бір маңайында анықталған болсын.

аргумент өсімшесі h ал оған сәйкес келетін функция өсімшесі арқылы белгіленетін еді.

Анықтама. Егер

 шегі  бар болса, онда бұл сан у функциясының нүктесіндегі туындысы деп аталады да,

 

т.с.с. символдарының бірімен  белгіленеді.

 

Туындылар кестесі

1. с´0

2. ()´  ();

3. )´, а

4. (,  а

5. (        

6.-

7. (tgx)´

8. (ctgx)´  

9. ( 

10.      

11. (arctgx)´       

12. (arcctgx)´   

13. (shx)´

14. ()´

15. (thx)´

16. (cthx)´   

                 

Гиперболалық функциялар және олардың туындылары

Гиперболалық синус  

функцияның анықталу облысы  D=R, мәндер жиыны E=R.

Гиперболалық косинус 

функцияның  анықталу облысы D=R, мәндер жиыны .

Гиперболалық тангенс 

функцияның  анықталу облысы D=R, мәндер жиыны E=(-1,1).

Гиперболалық котангенс 

анықталу облысы   мәндер жиыны .

Бұл функциялар үшін мына тепе-теңдіктер  орынды:

Туындыны есептеу ережелерін қолданып, гиперболалық функциялардың  туындыларын есептейік

.

Гиперболалық функцияларды интегралдау:

Негізгі формулалар:

Мысал: 

Гиперболалық косинус  деп    функциясын айтады, оны chx символымен белгілейді, яғни

chx

Функция интервалында анықталған және үзіліссіз. Осы тұжырымдар теңдіктің оң жағынан оңай алынады.

у

ch(-x) chx

Ендеше график Оу өсіне  қарағанда симметриялы.

Сонымен қатар

 

Теңдіктерін пайдалана отырып у chx функциясының мәндер жиыны

Функцияны монотондылыққа зерттеу  әдісін пайдалана отырып  у chx функциясының

у chx функциясының графигін шыншыр сызық деп атайды.

 

Гиперболалық синус деп  символымен белгілейді. Сонда

 

функция интервалында анықталып осы аралықта өспелі және үзіліссіз болады.

у = функциясы тақ, себебі

sh (-x) = .

Олай болса график бас  нүктеге қарағанда симметриялы.

Сонымен қатар 

 

орындалатынын көруге болады.

Осы мәліметтрге сүйене отырып, у = shx функциясының мәндер жиыны  интервалы екенін анықтаймыз.

 қатынасын гиперболалық тангенс деп атайды да thх деп белгілейді.

Сонда

thх = =

теңдіктің оң жағынан y = thx функциясының интервалында анықталатынын және үзіліссіз болатынын байқаймыз.

y = thx функциясы тақ, себебі

th (-х) =

Демек, график бас нүктеге  қарағанда симметриялы. Мынадай  қатынастардың орындалатынын тексеру  қиынға соқпайды:

= 1,

.

Осылардан y = -1, y = 1түзулері  y = thx функциясының графигі үшін горизонтальдің асимптоталар екенін көреміз.

 

 

 

 

 гиперболалық котангенс  деп атап, cthx символымен белгілейді.

Сонда

cthx =

функция x = 0 нүктесінде анықталмайды;

x = 0 нүктесі ІІ – текті  үзіліс нүктесі.

Функция және интервалдарында анықталады және үзіліссіз болады.

y = cthx функциясы тақ, өйткені

cth (-x) = = = - cthx

Олай болса график бас  нүктеге қарағанда симметриялы  болады.

Сонымен қатар

= +,

= - ,

 

 

теңдіктері орындалады.

Осылардан y = -1, y = 1түзулері y = cthx функциясының графигі үшін горизонталь  асимптоталар, ал х = 0 түзуі вертикаль  асимптота болатынын көреміз.

Гиперболалық функциялар үшін орынды болатын мына формулаларды берелік:

а)    ch²x -sh²x = 1,

б)    ch²x + sh²x = ch2x,

 в)   2shx chx = sh2x,

 г)    sh (x+y) = shx chy + chx shy,

 д)    sh (x-y) = shx chy - chx shy,

 е)    ch (x+y) = chx chy + shx shy,

 ж)      ch (x-y) = chx chy - shx shy,

 и)    chx + chy = 2ch ch,

 к)    shx shy = 2sh ch.

Біз мысалы, в/ формуласын дәлелдейік. Егер shx пен chx функцияларының анықтамаларын  пайдаланса:

2shx chx = 2 . = = sh2x.

Сол сияқты, е/ формуласы  былай дәлелденеді:

chx chy + shx shy = . + . = +

  = = ch (x+y),

яғни

ch (x+y) = chx chy + shx shy.

Ескерту. Біз жоғарыда элементар функцияның өзінің анықталу жиынында дифференциалданбауы мүмкін екенін көрдік (у=|х| - мысалы). Бірақ, егер  қандай да бір аралықта элементар және дифференциалданатын функция болса, онда функциясы осы аралықта элементар болады. Қысқаша айтқанда, элементар функцияның туындысы да элементар функция болады. Бұл тұжырым алдынғы пунктерден шығады.

 

а) екінші ретті гиперболалық типтегі теңдеулер жүйесінің жалпы шешімін табу жөнінде

Бір жағынан жүйеден бір белгісіз функцияны екіншісі арқылы өрнектеу барысында олардың дербес туындыларына қатысты әртүрлі деңгейдегі қиындықтар туындайды.

Дегенмен дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер жүйелерін  шешуде математикалық физика теңдеулерін  шешудің негізгі әдіс-тәсілдерін қолдана білудің  маңыздылығы  зор.

Біз бұл жұмысымызда

  (1)

Гиперболалық  типтегі  теңдеулер  жүйесінің жалпы шешімі

  

болатындыңын бірнеше  тәсіл арқылы көрсетеміз.

Мұндағы - кез келген функциялар.

1-ші тәсіл.

Теңдеулер жүйесі гиперболалық типке жататындықтан жүйке оның характеристикалық  теңдеуі түбірлері  нақты сандар болғандықтан

  (2)

алмастырулары арқылы (1) жүйе

  (3)

түріне келтіріледі, бұдан

 және    (4)

  (5)

Кішкене түрлендірулер жасап, бастапқы айнымалыларға қайта көшсек, ізделінді шешімді аламыз.

2-ші тәсіл. 

Берліген жүйені түрлендірсек

 (6)

аламыз. Бұдан

  (7)

Егер  деп белгілесек

  (8)

Жүйенің әрбір теңдеуі  өзара тәуелсіз функцияларына негізделген екінші ретті параболалық типтегі теңдеулерге келтірілгендігі көрініп тұр.

Әрбір теңдеуді жеке-жеке шешіп  бастапқы функцияларға қайта көшіп, ізделінді шешімді аламыз.

3-ші тәсіл.

Қажетті түрлендірулер арқылы. (8) түрде алынған жүйенің бірінші  теңдеуін ал екіншісін . және айнымалылары бойынша дифференциалдап оларды өзара қоссақ  жүйе

  (9)

түрге келтіріледі.

Бірінші теңдеу □ □ битолқын теңдеуі оның  жалпы шешімі

болатындығы белгілі. Демек

Теңдікті  және айнымалылары бойынша интегралдау нәтижесінде ізделінді шешімді аламыз.

4-ші тәсіл. Берілген  теңдеулер жүйесін

 немесе

  (10)

түрінде жазатын. Егер

   (11)

деп белгілесек

  (12)

Бірінші ретті гиперболалық типтегі біртекті теңдеулер жүйесін  аламыз

  (13)

алмастырулары нәтижесінде (12) жүйе

түріне келтіріледі. Бұдан

  (14)

Бастапқы функциямен айнымалыларға  қайта көшсек

  (15)

бірінші ретті біртексіз  гиперболалық типтегі теңдеулер  жүйесін аламыз.

Демек жоғарыдағы теорияға қайта сүйеніп, жүйені

  (16)

түріне келтіреміз. Бұдан

  (17)

Бастапқы  айнымалыларына көшіп, және функцияларын тапсақ ізделінді шешімді беретінін байқаймыз.

Қарастырып отырған теңдеулер  жүйесін шешу барысында бірнеше  тақырыптар арасындағы сабақтастықты  байқадық және әрбір тәсілдегі түрлендірулердің тек характеристикаларына тәуелділігі  айқындалынды. Ал табылған жалпы шешім  осы жүйеге құрылған шектік немесе басқа да есептерді шешуге мүмкіндік  береді.

 

б) Тербеліс теңдеуі

Көптеген физикалық процестер  белгілі бір ортада тербелістердің пайда болуымен байланысты. Мысалы, ішектің тербелістері, мембрананың  тербелістері, дыбыс тербелістерінің  таралуы және т.б. Олар гипербола  текті теңдеулер түріне жататын  тербеліс теңдеуімен сипатталады.

Мысал ретінде, белгілі бір  ортада координатасының бойында өтетін физикалық шамасының келесі өрнекпен сипатталатын өшпейтін тербелістерін қарастырайық:

                                        .                           (19)

Бұл жерде  - тербелістердің амплитудасы;  - физикалық шамасының координата бойымен өзгеруінің периодын анықтайтын толқындық сан; -физикалық шамасының - уақытындағы өзгеру периодын анықтайтын шеңберлік (циклдық) жиілік;  -   нүктесіндегі тербелістің фазасы;  - тербелістің уақытына  сәйкес бастапқы фазасы.

Толқындық сан былайша  анықталады:

                                                          .                                                    (20)  

Бұл жерде  - толқынның ұзындығы.

Шеңберлік жиілікті былайша  анықтайды:

                                                          .                                                   (21)

Бұл жерде  - тербелістер периоды.

Физикалық шамасының координатасы бойынша туындысы:

                                         .                            (22)

    Физикалық шамасының уақыты бойынша туындысы:

                                          .                          (23) 

Физикалық шамасының координатасы бойынша екінші туындысы:

                                       .                         (24)

Физикалық шамасының уақыты бойынша екінші туындысы:

                                       .                         (25)

(24) және (25) өрнектерін (19) өрнегімен салыстыру арқылы мынаны табамыз:

                                                    ;                                            (26)

                                                    .                                           (27)

(26), (27)-ші өрнектерінен шамасын жекешелеп алып, алынған нәтижелердің оң жақтарын теңестірсек, толқындық теңдеу деп аталатын мынадай дербес туындылы теңдеу аламыз:

                                                   .                                            (28)  

Қарапайым, және болатын жағдай үшін толқындық теңдеу былайша жазылады:

                                                        .                                                 (29)