Формулы простых чисел

                                                                                                                                       3стр.

2.Введение.                                                                                       

Всякий, кто изучает простые числа, бывает, очарован и одновременно ощущает собственное бессилие. Определение простых чисел так просто и очевидно. Почему же простые числа столь упорно сопротивляются нашим попыткам постичь порядок и закономерности их расположения? Может быть, в них вообще нет порядка, или же мы так слепы, что не видим его?

Возможно, из всех занимательных задач в теории чисел самая занимательная - это поиск простых чисел. Подобно золотым самородкам, они скрываются в "породе" остальных чисел. Напомним, что простое число это то, которое не делится ни на какое другое кроме 1 и самого себя. Пока числа не велики, они встречаются довольно часто, но затем быстро растворяются в потоке, по мере того, как величина чисел растёт. Некоторые задачи, относящиеся к теории распределения простых чисел, формулируются настолько просто, что понять их может даже ребенок. Тем не менее, они настолько глубоки и далеки от своего решения, что многие математики считают их вообще неразрешимыми.

3.Формулы простых чисел

Еще в Древней Греции было замечено, что некоторые чис­ла имеют много делителей, а другие — меньше. Число 36 делится на 1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18, 36, т. е. имеет 9 делителей. Число 5 делится только на 1 и 5, т. е. имеет всего два де­лителя, а число 1 делится только само на себя — имеет всего один делитель.

Чис­ла, имеющие  больше двух делителей, называются состав­ными.   Единица, имеющая только один делитель,   не  от­носится  ни к простым числам и ни к составным. Простыми числами являются: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ... 97, 101, 107, 109, 2503, 2521, 2531,4297,4337,4339, ... 4931, 4933, 4937,... 5953,-5981,5987, ... Не видно никакой закономерности в их рас­положении. Ученые на протяжении сотен лет старались раскрыть закономерность распределения простых чисел, но до сих пор им это не удалось сделать. Было выдвинуто множество гипотез, со­ставлено немало формул  для  нахождения  всех простых чисел данного множества натуральных чисел, но при вни­мательном рассмотрении все они оказались ошибочными. Ошибались не   только   начинающие   математики,  ошиба­лись и авторитетнейшие ученые мира.

     Очень интересна судьба одной из формул такого рода. Ее составил известный французский математик Пьер Фер­ма. Он обогатил науку важнейшими открытиями.  Лучшие, из которых принадлежат теории чисел. Изучая сочинения древнегречес­кого математика Диофанта, Ферма заинтересовался про­стыми числами. Он высказал предположение о том, что числа вида являются простыми при любых целых неотрицательных значениях n, т. е. что эта формула явля­ется как бы «генератором простых чисел», поскольку фор­мула дает простое число 3 при n = 0, при n = 1 получаем простое число 5, при n = 2 — простое число 17 и т.д. Ферма утверждал, что и при любых других значениях n «генератор» будет давать только простые числа. При n =5 он получил число 4 294 967 297. Ферма был убежден, что и это число, как и все предыдущие, полученные при по­мощи формулы, простое. Но

                                                                                                                         4стр.

доказать свое предположе­ние в общем виде он не смог.

Прошло около 90 лет после того, как Ферма высказал свое предположение. 1 декабря 1729 г. 22-летний адъюнкт высшей математики Петербургской академии Леонард Эйлер получил письмо от профессора этой академии Хри­стиана Гольдбаха, в котором тот писал ему: «Известно ли тебе замечание Ферма о том, что все числа вида именно 3, 5, 17 и т. д. суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этого доказать и, на­сколько я знаю, после него никто не доказывал».

Но в это время Эйлеру было не до абстрактных проб­лем. В мае 1733 г. Эйлер получил письмо Гольдбаха. Тот еще раз напом­нил ему о формуле Ферма для простых чисел. Эйлер про­читал письмо и задумался. Он считал. А считать так, как Эйлер, никто не мог. Здесь не   было ему равных.

Да, рассуждал Эйлер, формула Ферма дает простые чис­ла для n = 0, 1, 2, 3, 4. При n =5  получается   число 4 294 967 297. А простое ли это число? Словно молния пронзила его мозг: число 641! Да, это число является делителем иско­мого  числа.   Предположение  гениального  Ферма   оказа­лось неверным. Но, может быть, формула Ферма дает «осеч­ку» только при n = 5, а для остальных чисел она верна? Нет, это число не является единственным исключением. Кроме этого числа известны еще  ряд  чисел, для которых формула Ферма дает составные. Таким образом, наибольшее из известных в настоящий момент составных чисел Ферма состоит из 10135 цифр и делится на 27x2455+1.

Если математическое чутье в тот раз и подвело Ферма, то формула его сыграла в математике исключительную роль. Она привела к замечательному открытию в геомет­рии.

Некоторые фигуры в природе и технике имеют форму правильных многоугольников. Поэтому многие матема­тики уже в древние времена интересовались возможно­стью построения таких многоугольников циркулем или ли­нейкой. Известно несколько способов построения правильных пя­ти- и десятиугольников. Сейчас каждый десятиклассник знает, как при помощи циркуля и линейки построить правильные трех-, четырех- и пятиугольники.

А можно ли построить циркулем и линейкой правиль­ные 7-, 9-, 11-, 13-, 17- и другие многоугольники, у кото­рых число сторон нельзя найти при помощи формул 2n, 2nх3,2nх5 и 2nх15? На протяжении более двух тысяч лет крупнейшие математики мира не смогли на это ответить. И только в 1796 г. исчерпывающий ответ на этот вопрос дал 19-летний студент Карл Фридрих Гаусс. Это была одна из первых   выдающихся  работ   гениального  математика.

Он доказал уди­вительную теорему: «При помощи циркуля и линейки мож­но построить правильный многоугольник с простым числом сторон в том и только в том случае, если это число получа­ется при помощи формулы Ферма, т. е. при помощи фор­мулы  ».

Весь ученый мир был удивлен и поражен. Значит, при помощи циркуля и линейки можно построить правиль­ные 3-, 5-, 17-, 257-, 65 537 и другие многоугольники и нельзя построить правильные 7-, 11-, 13-угольники?!

                                                                                                                             5стр.

Сам Гаусс построил правильный 17-угольник. Теорема Гаусса была блестяще подтверждена практически. Теория чисел оказалась любопытнейшим образом связан­ной с геометрией. Оказались не правы люди, утверждаю­щие, что теория чисел — это ненужная наука, наука, отор­ванная от практики и не заслуживающая внимания.

Сам же Гаусс очень гордился своим первым выдаю­щимся открытием. Теорему о построении правильных мно­гоугольников он считал одним из важнейших своих до­стижений и завещал выгравировать на его надгробной плите правильный 17-угольник, что и было выполнено.

Было множество попыток создания формул для нахож­дения простых чисел. Но все эти «генераторы простых чисел» дают лишь ог­раниченное число простых чисел. Тем не менее, многие из этих формул довольно любопытны. Несколько таких фор­мул создал уже известный нам Леонард Эйлер. Он доказал почти все теоремы Ферма. Никогда не издавал своих тру­дов по этому разделу математики, а оставлял замечания на полях книг, писал о них в письмах к друзьям. Эйлер также обобщил и развил многие проблемы, которые лишь намечались у Ферма.

Так, Ферма была сформулирована и доказана важней­шая теорема сравнений. Сущность ее заключается в следу­ющем. Нетрудно проверить, что 23 — 2 делится на 3,25 — 2 делится на 5,27 — 2 делится на 7, и т. д. Может быть, основание 2 такое «счастливое» число? Нет. Возьмем дру­гое основание. Пусть это будет число 5. Легко убедиться, что число 53 — 5 делится на 3, что 57 — 5 делится на 7, что 1013 — 10 делится на 13, и т. д. Очевидно, число аn — а делится всегда на n при любом натуральном основании а, если показатель степени n простое число. Эта теорема произвела на всех математиков огромное впечатление и вошла в историю под названием «Малой теоремы Ферма».

Доказательство «Малой теоремы Ферма» не сохрани­лось, Леонард Эйлер не только доказал «Малую теорему Ферма», но и обобщил ее. Для этого он в 1759 г. применил впервые в математике новый метод доказательства. Приведем еще один пример, где Эйлер дополнил Ферма. Все простые числа, кроме 2, нечетны. Любое нечетное число   можно   представить в виде   4n + 1   или  4n — 1, где n = 0, 1, 2, 3, 4, ... Возьмем простые числа вида 4n+1. Например, 5, 13, 17, 29, 37.    Оказывается, каждое из этих чисел равно сумме квадратов двух натуральных чисел. На самом деле:    5 = 22 + 12, 13 = 32 + 22,  17 = 42 + 12, 29 = 52 + 22, 37 = 62 + 12, и т. д. Ферма до­казал  эту теорему в общем виде.  Эйлер дал строгое ее доказательство  и  поставил проблему  определения  вида простых чисел,  могущих   быть  делителями  формы. Этот общий подход позволил Эйлеру сформулиро­вать в 1772 г. фундаментальную теорему всей теории де­лимости  чисел — так  называемую  «золотую  теорему»  о квадратичном  законе  взаимности. 

Из этой теоремы посыпались, как из рога изобилия «генераторы простых чисел», т. е. формулы, при помощи которых можно получить простые числа. Такими форму­лами являются: x2 + х + 17, 2х2 + 29, х2 + х + 41, x2 — 79x + 1601, x2 + х + 72 491 и др. Если в этих фор­мулах подставить последовательно 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., то первая формула даст 16 простых чисел, вторая — 29, третья — 40,   четвертая — 80,   пятая — 4923  и  т.д.     

                                                                                                                                   6стр.

Прошло 190 лет, и об этих формулах Эйлера загово­рили в ученом мире. На этот раз

они «всплыли» на по­верхность при совершенно необычных обстоятельствах. В 1964 г. известный американский математик С. Улам случайно оказался на лекции, тема которой его совсем не интересовала. От скуки он начал рисовать решетку из горизонтальных и верти­кальных линий. В одной из клеток он поста­вил 1 и стал нумеровать остальные клетки по спирали, расходящейся от первой клетки. Когда спираль совершила уже несколько оборотов, Улам начал обводить кружками простые числа, не преследуя никакой определенной цели. Однако вскоре заметил, как на его глазах возникает довольно любопытная закономерность. Откуда ни возьмись, стали появляться прямые линии. Казалось бы, что про­стые числа должны быть разбросаны в таблице как по­пало, без всякого порядка. Но, может быть, все это случайно для немногих первых последовательных чисел? А если взять сотни, тысячи, мил­лионы последовательных чисел? Улам обратил­ся в вычислительный центр. Электронно-вычислительная машина быстро   расположила числа по спира­ли. На магнитной ленте была построена спираль и вдоль ее было расположено 65 тысяч простых чисел. И тогда ученый еще раз убедился, что как бы далеко простые числа ни находились от центра, они по-прежнему сохраняли в основном тенденцию  выстраивать­ся вдоль плавных кривых.

И сразу на ум приходят «генераторы простых чисел» Эйлера: х2 + х + 17, х2 + х + 41 и др.! Оказывается, все простые числа, которые «производят» эти «генераторы», можно просто удивительным способом получить при по­мощи спирали Улама. Если за начало спирали взять не единицу, а 17, то на главной диагонали квадрата,  как в  сказке,  выстроятся все 16 простых чисел, соответствующих эйлеровской фор­муле х2 + х + 17.   Если же спираль начать с числа 41, то 40 простых чисел, соответствующих формуле х2 + х + 41 выстроятся по главной диагонали квадрата. Конечно, уламовские спирали не дают нам всеобщего  способа  для  объяснения  расположения  всех простых чисел.  К тому же в расположении чисел на спирали много неясного.

Математик Б.А. Кордемский в своей статье приводит интереснейшую формулу для нахождения простых чисел. С ее помощью можно получить всего семь простых чисел, но чисел довольно любопытных. Вот они: 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33 333 331. И все эти «красивые» числа можно получить при помощи формулы, если вместо n подставить последо­вательно числа 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

В 40-х годах 19 века Бертран высказал очень интересную гипотезу о простых числах, которую принято называть «постулатом Бертрана». Постулат Берт­рана утверждает, что между любыми двумя натуральными числами n и 2 n (n больше 1) находится, по крайней мере, хоть одно простое число.

Доказать это положение он не смог. Впервые эту ги­потезу Бертрана подтвердил великий русский математик Пафнутий Львович Чебышев (1821—1894).

П. Л. Чебышев заинтересовался теорией чисел. В своих работах он доказал постулат Бертрана.

Проблема   Гольдбаха. В своем письме от 7 июня 1742 г. член Петербургской

                                                                                                                                                    7стр.

академии наук Христиан Гольдбах сообщил своему другу Леонарду Эйлеру, что рискует высказать следующее предположение: «Любое число, большее трех, представляет собой сумму трех про­стых чисел». Эйлер ответил, что считает, безусловно, верным это предположение и со своей стороны добавил, что считает верным также и предположение о том, что любое четное число можно представить в виде суммы двух простых чисел. Очевидно, что предположение Эйлера вытекает из гипотезы Гольдбаха, так как если четное целое можно представить в виде суммы трех простых, скажем р1 + р2 + р3, то одно из чисел р1 р2, р3 должно равняться 2 — единственному четному простому — и поэтому возможность представления четного целого в виде суммы трех простых означает воз­можность представления предыдущего четного в виде суммы двух простых. Но ни Гольдбах, ни Эйлер не смогли доказать это предположение.

Полностью проблема Гольдбаха не решена и до сих пор…

Не решена еще и проблема так называемых «близнецов». Если присмотреться к последовательности простых чисел 2, 3, 5, 7… 13, 19, 23, ... то можно заметить среди них пары чисел, которые отличаются друг от друга на 2. В начале последовательности простых чисел «близ­нецы» встречаются довольно часто, а затем все реже и реже. Наибольшей известной парой «близнецов» является 10 999 949 и 10 999 951. На вопрос о том, есть ли последняя пара «близнецов» или число их бесконечно,  ответ до  сих  пор неизвестен.