Формула Пуассона

где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр).

В единицах системы СГС:

В области пространства, где нет непарной плотности заряда, имеем:

и уравнение  для потенциала превращается в уравнение Лапласа:

                           5.2. Потенциал точечного заряда

Потенциал, источником которого служит точечный заряд,

- то есть кулоновский  потенциал - есть по сути (а  строго говоря при q = 1) функция Грина

для уравнения  Пуассона,

то есть решение  уравнения

где δ(x) - обозначение дельта-функции Дирака, а произведение трех дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а

В связи с  этим ясно, что решение уравнения  Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как

• Здесь мы имеем в виду наиболее простой  случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье Функция Грина.
• Физический смысл последней формулы - применение принципа суперпозиции (что возможно поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов ρdV.

     5.3.  Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда

Если мы имеем объёмную сферически симметричную плотность гауссового распределения заряда ρ(r):

где Q — общий заряд, тогда решение Φ (r) уравнения Пуассона:

даётся:

где erf(x) — функция ошибок. Это решение может быть проверено напрямую вычислением . Заметьте, что для r, много больших, чем σ, erf(x) приближается к единице, и потенциал Φ (r) приближается к потенциалу точечного заряда , как и можно было ожидать. 

                                        6. Заключение 

      В заключение хочется отметить то, что  формула Пуассона является достаточно распространенным и важным распределением, имеющим применение как в теории вероятностей и ее приложениях, так и в математической статистике.

      Многие  задачи практики сводятся в конечном счете к распределению Пуассона. Его особое свойство, заключающееся в равенстве математического ожидания и дисперсии, часто применяют на практике для решения вопроса, распределена случайная величина по закону Пуассона или нет.

      Также важен тот факт, что закон Пуассона позволяет находить вероятности события в повторных независимых испытаниях при большом количестве повторов опыта и малой единичной вероятности.

                                        7. Литература 

1. Вентцель  Е.С. Теория вероятностей. - М, "Высшая школа" 1998
2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М, "Высшая школа" 1998
3. Сборник задач по математике для втузов. Под ред. Ефимова А.В. - М, Наука 1990