Формула Пуассона

                                                                                            
 

                                                                      
 
 
 

                             
 
 
 
 

                      Реферат по основам математической

                                    обработки информации.

                                 Тема: Формула Пуассона. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                               Содержание:

            1. Введение.                                                                                                 3

            2. Распределение  Пуассона                                                                       5

                 2.1. Определение закона Пуассона                                                       5

                2.2.Основные характеристики распределения Пуассона                   5

                 2.3.Дополнительные характеристики распределения Пуассона       7

            3. Формула Пуассона                                                                                  13   

            4. Свойства распределения Пуассона                                                       14   

            5. Уравнение Пуассона                                                                               15 

                 5.1. Электростатика                                                                                15  

                 5.2. Потенциал точечного заряда                                                          16   

                 5.3.  Потенциал гауссовой объёмной плотности заряда                     17       

           6.  Заключение                                                                                              17     

7. Литература                                                                                                19           
 
 
 

  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                   1.  Введение 

      Подчиняются ли каким-либо законам явления, носящие  случайный характер? Да, но эти законы отличаются от привычных нам физических законов. Значения СВ невозможно предугадать даже при известных условиях эксперимента, мы можем лишь указать вероятности того, что СВ примет то или иное значение. Зато зная распределение вероятностей СВ, мы можем делать выводы о событиях, в которых участвуют эти случайные величины. Правда, эти выводы будут также носить вероятностный характер.

      Пусть некоторая СВ является дискретной, т.е. может принимать лишь фиксированные  значения Xi. В этом случае ряд значений вероятностей P(Xi) для всех (i=1…n) допустимых значений этой величины называют её законом  распределения.  

      Закон распределения СВ - это отношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и вероятностями, с которыми принимаются эти значения. Закон распределения полностью характеризует СВ.

      При построении математической модели для  проверки статистической гипотезы необходимо ввести математическое предположение о законе распределения СВ (параметрический путь построения модели).

      Непараметрический подход к описанию математической модели (СВ не имеет параметрического закона распределения) менее точен, но имеет  более широкую область применения.

      Точно также, как и для вероятности  случайного события, для закона распределения  СВ есть только два пути его отыскания. Либо мы строим схему случайного события и находим аналитическое выражение (формулу) вычисления вероятности (возможно, кто–то уже сделал или сделает это за нас!), либо придется использовать эксперимент и по частотам наблюдений делать какие–то предположения (выдвигать гипотезы) о законе распределения.

      Конечно же, для каждого из "классических" распределений  уже давно эта работа проделана ¬– широко известными и очень часто используемыми в прикладной статистике являются биномиальное и полиномиальное распределения, геометрическое и гипергеометрическое, распределение Паскаля  и Пуассона и многие другие.

      Для почти всех классических распределений немедленно строились и публиковались специальные статистические таблицы, уточняемые по мере увеличения точности расчетов. Без использования многих томов этих таблиц, без обучения правилам пользования ими последние два столетия практическое использование статистики было невозможно.

      Сегодня положение изменилось – нет нужды  хранить данные расчетов по формулам (как бы последние не были сложны!), время на использование закона распределения  для практики сведено к минутам, а то и секундам.  Уже сейчас существует достаточное количество разнообразных пакетов прикладных компьютерных программ для этих целей.

      Среди всех вероятностных распределений  есть такие, которые используются на практике особенно часто. Эти распределения детально изучены и свойства их хорошо известны. Многие из этих распределений  лежат в основе целых областей знаний – таких, как теория массового обслуживания, теория надежности, контроль качества, теория игр и т.п

      Среди них нельзя не обратить внимание на труды Пуассона (1781-1840), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.

      Именно  этому закону распределения и  посвящена данная курсовая работа. Речь пойдет непосредственно о законе, о его математических характеристиках, особых свойствах, связи с биномиальным распределением. Несколько слов будет сказано по поводу практического применения и приведено несколько примеров из практики.

      Цель  нашего реферата – выяснить сущность теорем распределения Пуассона.

      Задача  – изучить и проанализировать литературу по теме реферата. 

                             
 
 

                           2. Распределение  Пуассона 

                     2.1. Определение закона Пуассона 

      Во  многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по своеобразному закону, который носит название закона Пуассона.

      Рассмотрим прерывную случайную величину Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2, … , m, … ; причем последовательность этих значений теоретически не ограничена. Говорят, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой:

      

      где а - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

      Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, выглядит следующим образом: 

 

     2.2. Основные характеристики распределения Пуассона 

      Для начала убедимся, что последовательность вероятностей, может представлять собой  ряд распределения, т.е. что сумма  всех вероятностей Рm равна единице.

      

      Используем  разложение функции ех в ряд Маклорена:

      

      Известно, что этот ряд сходится при любом  значении х, поэтому, взяв х=а, получим

      

      следовательно

      

      Определим основные характеристики - математическое ожидание и дисперсию - случайной  величины Х, распределенной по закону Пуассона. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. По определению, когда дискретная случайная величина принимает счетное множество значений:

      

      Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:

      

      Таким образом, параметр а представляет собой  не что иное, как математическое ожидание случайной величины Х.

      Дисперсией  случайной величины Х называют математической ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

      

      Однако, удобнее ее вычислять по формуле:

      

      Поэтому найдем сначала второй начальный  момент величины Х:

      

      По  ранее доказанному

      

      кроме того,

      

      следовательно,

      

      Далее можно найти дисперсию случайной величины Х:

      

      2.3. Дополнительные характеристики распределения              

                                              Пуассона

        I. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Хk:

      αk=M(Xk).

      В частности, начальный момент первого  порядка равен математическому ожиданию:

      α1=M(X)=a.

      II. Центральным моментом порядка  k случайной величины Х называют  математическое ожидание величины [X-M(X)]k:

      μk=M[X-M(X)]k.

      В частности, центральный момент 1-ого порядка равен 0:

      μ1=М[X-M(X)]=0,

      центральный момент 2-ого порядка равен дисперсии:

      μ2=M[X-M(X)]2=a.

      III. Для случайной величины Х, распределенной  по закону Пуассона, найдем вероятность  того, что она примет значение  не меньшее заданного k. Эту  вероятность обозначим Rk: