Формальные методы построения математических моделей

Долгое время в  науке господствовал первый подход. Его главное преимущество—наглядность: данные каждой серии легко поддаются  интерпретации. 

Один из важных результатов  теории планирования эксперимента заключается  в том, что второй подход—значительно эффективнее первого. При том же объеме эксперимента и той же точности опытов получается большая точность результатов. 

Геометрическим образом  совокупности независимых переменных х и зависимой переменной у  является пространство n+1 измерения, где n—число независимых переменных; (n+1)-е  измерение относится к у. В  этом пространстве зависимости у  от всех х соответствует  n-мерная поверхность, которую обычно называют поверхностью отклика (результат опыта  рассматривается как отклик системы  на опыт—заданную совокупность независимых  переменных, или входов). 

План эксперимента указывает расположение опытных  точек в n-мерном пространстве независимых  переменных (факторном пространстве), или иными словами, условия всех опытов, которые следует провести. Чаще всего план эксперимента задается в виде матрицы планирования —  прямоугольной таблицы, каждая строка которой отвечает условиям определенного  опыта, а каждый столбец—значениям какой-то из независимых переменных в разных опытах.  

Полным факторным  экспериментом называется система  опытов, содержащая все возможные  неповторяющиеся комбинации уровней  варьирования факторов. 

 Матрица планирования. Для удобства вычислений коэффициентов  регрессии все факторы в ходе  полного факторного эксперимента  варьируют на двух уровнях:  нижнем -1 и верхнем +1, соответствующих  значениям кодированных переменных X1,X2,……Xn . 

Таким образом, полным факторным экспериментом называется система опытов, содержащая все возможные  неповторяющиеся комбинации уровней  варьирования факторов. 

В таблице приведены  условия опытов полного трехфакторного эксперимента. Эти опыты соответствуют  в факторном пространстве вершинам куба с центром в начале координат. 

 

Номер 

опыта 

  

Факторы 

Функция 

отклика 

  

  

X1 

X2 

X3 

1 

-1 

-1 

-1 

y1 

2 

+1 

-1 

-1 

у2 

3 

-1 

+1 

-1 

у3 

4 

+1 

+1 

-1 

у4 

5 

-1 

-1 

+1 

у5 

6 

+1 

-1 

+1 

у6 

7 

-1 

+1 

+1 

v7 

8 

+1 

+1 

+1 

у8 
 

  

Каждый фактор принимает  лишь два значения — варьируется  на двух уровнях, верхнем и нижнем. Поэтому общее число экспериментов N=2 n 

Пример. В четырех  опытах исследуется влияние 3 факторов :температуры T,К, давления р, МПа, и времени t, с, на выход продукта. 

 Здесь в любом  из опытов температура—либо 1000 К  (нижний уровень), либо 1200 К (верхний  уровень); аналогично варьируются  р и t.Выбор центра плана и интервалов варьирования.: 

 

  

Температура 

Давление 

Время 

Основной уровень 

1000 

750 

50 

Интервал варьирования 

100 

250 

10 

Верхний уровень 

1200 

1000 

60 

Нижний уровень 

1100 

500 

40 
 

  

  

  

  

Матрицу планирования эксперимента для этого случая может  иметь вид: 

 

№№ 

T 

P 

t 

1 

1000 

500 

40 

2 

1200 

500 

40 

3 

1000 

1000 

40 

4 

1200 

1000 

40 

5 

1000 

500 

60 

6 

1200 

500 

60 

7 

1000 

1000 

60 

8 

1200 

1000 

60 
 

  

  

Из таблицы видны  основные принципы построения матриц планирования полного факторного эксперимента: 

Матрица планирования ПФЭ обладает следующими свойствами: 
 
 

где          j- номер опыта; i—номер фактора,(l¹m) Свойство, выраженное последним 

 уравнением, называется  ортогональностью матрицы.  

Оно позволяет вычислять  коэффициенты регрессии по простым  формулам независимо друг от друга  

Расширенная матрица—это  матрица, дополненная столбцами, учитывающими взаимодействия факторов. На практике, как правило, ограничиваются парными  взаимодействиями. 

Расчет коэффициентов  регрессии. Коэффициенты регрессии  рассчитываются методом наименьших квадратов. Основное условие метода формулируется следующим образом: коэффициенты регрессии определяются на основании минимизации суммы  квадратов отклонений между экспериментальными уэ, и рассчитанными по уравнению регрессии yр значениями функции отклика:  
 
 

После определения  коэффициентов регрессии определяем значимость этих коэффициентов. Все  коэффициенты подразделяются на значимые и незначимые. Для определения значимости коэффициентов регрессии сравнивается погрешность вычисления  коэффициента с погрешностью экспериментальных данных -  . Вычисляется доверительный интервал:       

. 

Здесь tT - табличное значение критерия Стьюдента, которое находится по числу степеней свободы и доверительной вероятности. Тогда значимость оценивают, сравнивая абсолютные значения коэффициента и доверительного интервала: 

. 

Если это условие  выполнено, то  i -  коэффициент  признаётся значимым. 

Незначимые коэффициенты отбрасываются из уравнения регрессии, после чего записывается окончательный  вид уравнения регрессии. Это  уравнение проверяется на адекватность. Для этого вычисляется  оценка дисперсии адекватности : 

  

Здесь B- число значимых коэффициентов регрессии. 

Вычисляют расчётное  значение критерия Фишера:          

По таблице находят  табличное значение критерия Фишера. Оно зависит от доверительной  вероятности P, числа степеней свободы  fад= N-B  и f= N*(k-1). На основании этого делается вывод об адекватности или неадекватности уравнения регрессии. Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:  Fр FT. 

Чем меньше B, тем  больше  N-B—в этом одна из главных  целей, достигаемых при исключении незначимых членов. 

Если уравнение  неадекватно, переходят к более  сложной модели (например, повышают степень многочлена), для чего обычно требуется постановка добавочных опытов. Иногда можно обойтись без дополнительного  эксперимента, если соответствующим  образом преобразовать переменные у или х . 

Интерпретация уравнений  регрессии — важнейший этап моделирования  процессов при использовании  планирования эксперимента. Интерпретация  включает анализ прежде всего влияния отдельных факторов и их взаимодействий, а затем—особенностей поведения функции отклика в различных частях изученной области факторного пространства. 

Влияние факторов проще  всего анализировать по уравнению 1-й степени. Здесь вначале оценивается  знак коэффициента регрессии, показывающий, в какую сторону—увеличения или уменьшения — влияет на отклик данный фактор. 

Планированный эксперимент  позволяет также сопоставить  влияние отдельных факторов. В  обычных уравнениях регрессии значение одного коэффициента трудно сопоставлять со значением другого. Факторы (а  соответственно, и коэффициенты регрессии) суть величины размерные, и нельзя сказать, что например, больше: 1 м или 0,001 кг. В планированном эксперименте факторы приведены к безразмерному кодированному виду; в этом виде каждый из них варьируется в одинаковых пределах, от —1 до +1. Поэтому большее, чем  bq, по абсолютной величине значение  bp означает, что в заданных пределах варьирования изменение р-го фактора сильнее повлияет на отклик, чем изменение q-го фактора. 

В том случае, когда  b1,b2 и b12 имеют одинаковый знак , обычно говорят о синергиз-ме влияния факторов X1 и X2: каждый из них при их совместном увеличении влияет сильнее, чем если они увеличиваются порознь. 

Если знаки коэффициентов  b1 и b2 одинаковы, а  b12 имеет противоположный  знак, то каждый фактор в отдельности  влияет сильнее, чем при одновременном  воздействии второго. 

Подбор состава  катализатора. Изучено влияние компонентов А и В на активность катализатора. Получено уравнение регрессии, в котором X1—количество А в композиции; .X2—количество В (обе величины—в кодированных единицах); у—относительная активность катализатора. Оказалось, что коэффициент b2 незначим; уравнение имеет вид: 

y=58,6+ 19,8*X1 + 10,4*X1*X2. 

Уравнение можно  интерпретировать так. Вещество А — активный компонент катализатора. Добавление его в смесь резко увеличивает активность. Вещество В — промотор. Само по себе, отдельно от А, оно активностью не обладает. Но его добавление существенно повышает общую активность. 

 Пример. Испытание  лекарств.   Синтезированы два  лекарственных препарата против  гриппа. Их влияние  изучено  на подопытных животных. Факторы  X1 и  X2—дозы первого и второго  лекарств 'при совместном их применении; при этом уровень—1 для того  и другого лекарства означает, что данный препарат в данном  опыте не дается. Отклик — среднее  число дней от начала лечения  до выздоровления.    

 Уравнение регрессии  имеет вид: у = 6,4 — 2,1*X1 —  1,8*X2 + 4,2*X1*X2 

Ясно, что лекарства  плохо совместимы, их совместное применение нецелесообразно. Если использование  первого лекарства привело к  выздоровлению (в среднем) за 1,9 дня, второго—за 2,5 дня, то при одновременной  даче обоих лекарств выздоровление  наступило через 6,7 дня. 

Если адекватно  уравнение, полученное по данным факторного эксперимента на 2-х уровнях (безразлично, линейное или содержащее взаимодействия), то наибольшее и наименьшее в изученной  области значения отклика, предсказываемые  уравнением, лежат в каких-либо из точек полного факторного эксперимента. В тех случаях, когда экспериментатора интересует максимум или минимум отклика (максимум выхода или прочности, минимум загрязнений или затрат, и т. п.), соответствующая точка окажется наилучшей для данной области.. 

Когда объект описывается  уравнением 2-й степени, то чаще всего  нас интересует либо положение экстремума, либо общий характер зависимости, или  же уравнение регрессии нужно  нам лишь как фрагмент, который  будет включен в более сложную  математическую модель.