Формальные методы построения математических моделей

Формальные методы построения математических моделей. 

Впервые методы планирования эксперимента были разработаны Р. Фишером  в начале 20-х годов применительно  к сельскому хозяйству. С начала 50-х годов начинается интенсивное  применение планирования эксперимента в химии и химической технологии. 

В СССР работы по планированию эксперимента начаты в 1960 году под руководством В. В. Налимова, и в настоящее время это — один из методов научного исследования. 

Методы планирования эксперимента используются при исследовании различных объектов: доменных печей, листопрокатных станов, электролизных  ванн, металлорежущих станков, радиоэлектронных устройств и др.  

Выбор факторов и  переменных состояния объекта исследования 

  

Объект химической технологии можно представить схемой, изображенной на рис. . По традиции входные управляемые переменные обозначим : x1, x2, ..., хn и согласно принятой терминологии назовем их факторами.; выходные—у1, у2, ..., уm . Они называются  переменными состояния, функцией отклика. 

Выбор переменных состояния. Различают экономические и технологические  переменные состояния. В качестве экономических используют производительность, себестоимость и другие показатели. Технологическими переменными служат качество продукта, выход целевого продукта, надежность получаемых изделий и др. Объект исследования может иметь несколько переменных состояния, которые следует сократить до минимума. Опыт показывает, что в большинстве случаев удается ограничиться одной переменной состояния, и тогда вектор У превращается в скаляр у.  

Если переменных состояния несколько, то эксперимент  проводится по каждой из них, а затем  решается компромиссная задача. 

При выборе переменной состояния необходимо учитывать  следующие требования: 

1) переменная состояния  должна иметь количественную  характеристику, т. е. измеряться; 

2) переменная состояния  должна однозначно измерять эффективность  объекта исследования; это требование  эквивалентно корректной постановке  задачи; 

3) переменная состояния  должна быть статистически эффективной,  т. е. обладать возможно меньшей дисперсией при проведении опытов; это позволяет хорошо различать опыты. 

Правильный выбор  переменной состояния объекта исследования повышает шансы экспериментатора на успех. 

Выбор факторов. При  выборе факторов нужно выполнять  следующие требования: 

1) фактор должен  быть регулируемым, т. е. с помощью  определенного регулирующего устройства  фактор можно изменять от значения x1 до значения x2. Например, расход  вещества может быть изменен  от 30 л/ч до 40 л/ч или количество  вещества А в 100 г смеси — от 10 г до 20 г (системотехники называют это операционной определенностью). 

2) точность измерения  и управления факторов должна  быть известна и достаточно  высока (хотя бы на порядок  выше точности измерения выходной  переменной); очевидно, что низкая  точность измерения факторов  уменьшает возможности воспроизведения  эксперимента. 

К факторам и переменным состояния одновременно также предъявляется  ряд требований: 

1) факторы и переменные  состояния должны иметь области  определения, заданные технологическими  или принципиальными ограничениями  (пример технологического ограничения  — максимальная производительность  компрессора, подающего газ в  реактор; 

пример принципиального  ограничения — температура кристаллизации жидкого продукта, образующегося  в результате реакции);  

области определения  факторов должны быть таковы, чтобы  при различных их комбинациях  переменные состояния не выходили свои ограничения; 

2) между факторами  и переменными состояниями должно  существовать однозначное соответствие; оно позволит в основном эксперименте  построить математическую модель  объекта исследования и решить  поставленную задачу эксперимента. 

  

Планирование эксперимента 

Пассивный и активный эксперимент. Метод наименьших квадратов  позволяет получить описание объекта  по любым данным, лишь бы матрица  системы нормальных уравнений была  невырожденной. Поэтому с появлением ЭВМ возникла идея — получать математические описания технологических процессов, пользуясь в качестве исходных данных результатами нормальной эксплуатации процесса. 

В реальных условиях технологический процесс все  время испытывает случайные колебания  режима. Сегодня значения контролируемых факторов—несколько иные, чем вчера, а завтра будут еще немного другими. Нельзя ли каждое изменение режима рассматривать как эксперимент, и, обработав совокупность таких «экспериментов» методом наименьших квадратов, получить описание процесса, а затем использовать это описание для управления и оптимизации? Такой подход получил название пассивного экспе­римента. 

Достоинство пассивного эксперимента—отсутствие затрат на опыты: данные получаются «сами собой». Но надежды, возлагавшиеся на этот метод, в большинстве случаев не оправдались. 

Анализ неудач пассивного эксперимента  выявил несколько  их причин.  

·        Во-первых, в нормальных условиях колебания  режима малы, опытные точки находятся  близко одна к другой. Хорошо известно, что чем ближе опытные точки, тем сильнее влияют на описание случайные  ошибки. Действительно, различия в получаемых значениях отклика при этом малы, и эти малые различия плохо  выделяются на фоне шума—случайных ошибок. Поэтому значения коэффициентов регрессии оцениваются со значительными ошибками. 

·        Во-вторых, в пассивном эксперименте факторы сильно коррелированны. Это делает крайне ненадежным анализ влияния отдельных факторов—всегда может оказаться, что влияет не данный фактор, а другой, с ним коррелированный. 

·        В-третьих, сами значения факторов в  производственных условиях часто измеряются с заметными ошибками; поэтому  применение метода наименьших квадратов  в его обычном варианте становится некорректным. 

В связи с этим в теории эксперимента любой эксперимент, при планировании которого не учтено влияние плана эксперимента на статистические свойства получаемых оценок, часто  называют пассивным. Ему противопоставляют  активный эксперимент, в основе которого лежит планирование эксперимент  а. 

Планы экстремального эксперимента. Химики-технологи наиболее широко пользуются планами так называемого экстремального эксперимента, разработанными для определения оптимальных условий протекания процессов в объектах исследования. Оптимум определяется по математической модели объекта исследования, которую ищут в виде полиномиального уравнения: 

  
 
 

  

  

  

если объект характеризуется  одной переменной состояния. Логику появления полинома как математической модели объекта исследования можно  объяснить следующим образом. Исследователь  полагает, что математическую модель объекта принципиально можно  представить дифференциальными  уравнениями. В общем виде искомое  решение можно пред­ставить функцией: 

y= F (X,b),                              

где у—переменная состояния объекта исследования; Х—матрица факторов; b — матрица коэффициентов. 

Коэффициенты b полинома можно интерпретировать как коэффициенты ряда Тейлора, в который «удается»  разложить решение  в окрестностях некоторой точки . 

Пользуясь статистическими  методами и учитывая конечность экспериментальных  данных, можно получить оценки  коэффициентов  регрессии b- b в уравнении (1). 

Уравнение (1)называют уравнением регрессии и широко используют для получения математической модели объекта исследования.  

Обработка экспериментальных  данных. 

Прежде чем приступить к планированию эксперимента, необходимо убедиться в том, что опыты  воспроизводимы, Для этой цели проводят N серий  из k параллельных опытов в  рассматриваемой области изменения  влияющих факторов. 

            Результаты  опытов заносятся  в таблицу:

Номер 

серии 

опытов 

  

Результаты параллельных опытов 

  

yj,средн. 

  

sj2 

1 

Y11 

Y12 

……….. 

Y1k 

Y1средн 

s12 

2 

Y21 

Y22 

……….. 

Y2k 

Y2средн 

s22 

3 

Y31 

Y32 

……….. 

Y3k 

Y3средн 

s32 

  

  

  

  

  

  

  

j 

Yj1 

Yj2 

……….. 

Yjk 

Yjсредн 

sj2 

  

  

  

  

  

  

  

N 

YN1 

YN2 

  

YNk 

YNсредн. 

SN2 
 

  

  

  

  

1)      Определяется  среднее арифметическое значение  функции отклика для любой  серии опытов j (j=1(1)N): 
 
 

 Оценивается дисперсия  для каждой серии параллельных  опытов: 
 
 

            Определяется расчётное значение  критерия Кохрена:        ;  

                                            

4)  По специальным  таблицам определяют  табличное   значение Кохрена - GT. Они зависят от  доверительной вероятности P(как правило P=0.95),от N и от f=k-1. 

Если выполняется  условие :  Gp GT , то опыты считаются воспроизводимым 

Определяется  погрешность  эксперимента. Оценка дисперсии воспроизводимости рассчитывается по формуле: ,с ней связано число степеней свободы N*(k-1) 

  

Полный факторный  эксперимент. 

  

В последовательности реализации планов можно выделить следующие  этапы: 

1) оценка априорной  информации и отсеивание факторов, несущественных для конкретного  объекта исследования; 

2) получение математической  модели объекта в виде линейной  функции отклика; 

3) поиск оптимальной  области объекта по линейной  функции отклика; 

4) получение математической  модели объекта исследования области оптимума в виде нелинейной функции отклика; 

5) поиск оптимальной  координаты факторного пространства  в области оптимума. 

Экстремальный эксперимент  заканчивается определением оптимальной  координаты, соответствующей оптимальным  условиям протекания процессов объекта  исследования. 

В подавляющем большинстве  процессы химической технологии являются сложными; на процесс влияет не один, а ряд факторов. 

Возможны два подхода  к исследованию таких многофакторных систем. Первый можно описать формулой: «Изменяй факторы по одному». Исследование системы разбивается на серии, в  пределах каждой из которых изменяется (варьируется) лишь один фактор, а остальные  неизменны. В следующей серии  изменяется второй фактор и т. д. Идея другого подхода— построить план эксперимента, предусматривающий изменение всех влияющих факторов, с тем, чтобы этот план обеспечивал максимум точности, минимум корреляции и другие хорошие статистические свойства. Такой эксперимент называют многофакторным.