Двойные, тройные интегралы, ряд Фурье, наибольшое и наименьшее значение функции.

x₂^-2     0         1       1\2       0    -3\2        -1\2        0       3\2       9\2           min(b_i\a_is)=0.5\0.5=1

                                                                                                                     разреш.стр.2-я.Вводим

           0        0    M  - 0     -13.5 -   в базис u₁ вместо w_2.

x₁^-3     1        0         0        -1     1         0    1       -1        2

u₁⁰      0        0         1        -2     1        -1    2      -1         1

x₂^-2     0        1         0         1     -2        0    -1       2        4

           0        0         0         1     1         M  M-1   M-1   -14          

Оптимальое решение  x₁ =2 ; x₂ = 4; f_min= 14 

Ответ:  2 единицы удобрения  вида Р

               4 единицы удобрения вида М 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание №3 

Разложить в ряд Фурье по синусам функцию 

Теоретическая часть:

Определение. Функциональный ряд вида   

называется  тригонометрическим рядом или рядом Фурье. Постоянные числа a₀, a_n, и b_n (n=1,2,…) называются коэффициентами тригонометрического ряда или коэффициентами Фурье.

Если  дана периодическая  функция  f(x) с периодом 2π, то целью применения ряда Фурье является отыскание тригонометрического ряда, сходящегося к данной функции. Таким образом, мы отыскиваем функцию, являющуюся суммой ряда в интервале (-π, π): .

При этом коэффициенты Фурье  находят по формулам:

,   ,  

    Ряды  Фурье для четных и нечетных функций

    Из  определения четной и нечетной функции  следует, что если - четная функция, то , т.к. . Если - нечетная функция, то .

    Если  в ряд Фурье разлагается функция  , то произведение есть функция нечетная, а - четная; Следовательно, ряд Фурье нечетной функции содержит «только синусы». Если же в ряд Фурье разлагается четная функция, то произведение есть функция нечетная, а - четная и, следовательно, ряд Фурье содержит «только косинусы».

    Ряд Фурье для функции  с периодом

    Если  f(x) периодическая функция с периодом 2l, отличным от 2 , то при разложении ее в ряд Фурье получим:

    Коэффициенты принимают вид:

  
 

Практическая  часть:

   Разложим  исходную функцию f (x) в ряд Фурье по синусам на отрезке [0, 3].

   

   

   

    ;

  Ответ:

а) Нарисовать график функции ƒ(x) на отрезке [0;3]

Теоретическая часть :

Определение. Функция f(x) называется кусочно монотонной на отрезке ,  если этот отрезок можно разбить конечным числом точек на  интервалы так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.

Практическая  часть:

 
 

б) Написать, к чему сходится этот ряд Фурье в точках отрезка [0,3]. 

Теоретическая часть:

   Определение. Функция f (x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a, b], если: функция непрерывна на сегменте [a, b] или же имеет на нем конечное число точек разрыва 1 рода; функция кусочно-монотонна на сегменте [a, b].

   Теорема Дирихле: Пусть периодическая функция f (x) с периодом 2π удовлетворяет на любом сегменте условиям Дирихле. В таком случае ряд Фурье, соответствующий этой функции, сходится во всех точках числовой оси. При этом в каждой точке непрерывности функции f (x) сумма ряда S (x) равна значению функции в этой точке. В каждой точке x₀ разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому предельных значений функции при x→x₀ слева и справа, т.е.:

     S(x) = 0,5[f(x₀ + 0)+f(x₀ - 0)] 

Практическая  часть:

Ряд сходится к , т.к S(0)=S(3)=  

c) Нарисовать график суммы ряда наотрезке  

Практическая  часть:

d) Пользуясь равенством Парсеваля найти сумму: .

Теоретическая часть:

     Для функции f(x), такой, что f²(x)ÎL(-p;p), справедливо равенство Парсеваля:

     

Практическая  часть:

                                                                                                                         Ответ : 0.75

Задание №4

Найти линейную комбинацию функций , дающую наилучшее приближение по норме функции на отрезке [-1,1].

Теоретическая часть:

     Бесконечная система функций  φ₁(x), φ₂(x), …, φ_n(x) называется ортогональной на отрезке [a, b], если при любых n ≠ k выполняется равенство

       при этом предполагается, что 

     Пусть функция  f(x), определенная на отрезке [a, b], такова, что:

     

     При этом:

     

     Коэффициенты  c_n, вычисленные по данной формуле называются коэффициентами Фурье функция f(x) по системе ортогональных функций. А ряд из первой формулы называют рядом Фурье по системе функций.

Практическая  часть:

Ортогонализируем  систему исходных функций

 

 

 

Ответ :  

Задание №5

Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

                                                                                                                                                                               

 Теоретическая часть:

Пусть в пространстве задана некоторая  область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Пусть в области V и на ее границе определена некоторая непрерывная функция f(x, y ,z), где x, y ,z - прямоугольные координаты точки области. Для ясности в случае, если f(x, y ,z) 0, мы можем считать эту функцию плотностью распределения некоторого вещества в области V.

Разобьем  область V произвольным образом на области , обозначая символом не только самую область, но и её объём. В пределах каждой частичной области выберем произвольную точку и обозначим через значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида (1) и будем неограниченно увеличивать число малых областей так, чтобы наибольший диаметр стремился к нулю. Если функция f(x, y ,z) непрерывна, то при этом будет существовать предел интегральных сумм вида (1). Этот предел, не зависящий ни от способа разбиения области V, ни от выбора точек , обозначается символом   (2) и называется тройным интегралом.

Если  подынтегральная функция f(x, y ,z)=1, то тройной интеграл по области V выражает объем области V:    

    Цилиндрические  координаты:

Пусть  

Здесь – угол между положительным направлением оси 0X и лучом , ( -       проекция точки М на плоскость X0Y), ; r – радиус-вектор точки ,   

Тогда интеграл вычисляется по формуле 

Сферические координаты

В сферических  координатах положение точки  Р в пространстве определяется тремя  числами θ, r, φ, где r – расстояние точки от начала координат, так называемый радиус-вектор точки, φ – угол между радиус-вектором и осью ОZ, θ – угол между проекцией радиус-вектора на плоскость ОXY и осью ОX, отсчитываемый от этой оси в положительном направлении ( т.е. против часовой стрелки). Для любой точки пространства имеем 0 < r < +∞,  0 < φ < π, 0 < θ < 2π. 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Из рисунка  легко устанавливаются выражения  декартовых координат через сферические:

     I(якобиан преобразования) = r²sinθ.

      Тогда в сферических  координатах объем тела вычисляется по формуле: 

Практическая  часть:

В данном задании объем тела проще найти  с помощью двойного интеграла. Получаем:

                                                                               
 

Ответ:  
 
 
 
 

Задание № 6 

Найти массу тела, ограниченного поверхностями: 2z = x² +y² , x² + y² + z² = 3,(z.> 0), если его плотность распределения массы в каждой точке численно равна сумме квадратов координат этой точки.

 

Теоретическая часть:

      Для вычисления массы тела применяем приложение тройного интеграла. В данном случае удобно применить переход к цилиндрическим координатам. 

Практическая  часть:

Уравнение верхней части поверхности z = ,

Уравнение нижней части поверхности z =

Плотность распределения массы в каждой точке равна x² + y² + z²

Перейдем  к цилиндрическим координатам

x² + y² + z² 

 

 

Находим массу тела:

Ответ: