В в е д е  н и е

Данная курсовая работа является продолжением углубленного изучения высшей математики.В этой работе мы разберем ряд задач, связанных с приложениями двойных и тройных интегралов, разложим функцию в ряд Фурье по синуам, найдем наибольшее и наименьшее значение функции.Также в работе будут применены геометрический и семплекс методы для отаскания оптимального решения задачи;рассмотрим линейное функциональное пространство, операции в котором аналогичны операциям над векторами, только в данном случае они производятся над функциями. В работе кратко изложена теория (определения, теоремы, правила и формулы), благодаря чему, можно ответить на ряд вопросов: как найти поверхность тела вращения, как разложить функцию в тригонометрический ряд и т.п.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задание №1

Теоретическая часть:

Необходимое условие  наличия экстремумов:

 Если точка  (x₀;y₀) является точкой экстремума функции f(x,y), то частные производные функции, если существуют, то равны нулю:

Нахождение точек, в которых выполнено необходимое  условие наличия условного экстремума функции методом множителей Лагранжа:

  

1) Составляется  функция 3-х переменных

    F(x, y, ) =

2) Для функции  F находим точки, в которых выполнено необходимое условие наличия экстремума функции:

Практическая  часть

Найти наибольшее и наименьшее значения функции ƒ(x,y) = x² + y² – xy в замкнутой ограниченной области D: x² + y² ≤ 25, y ≥ x.

1. Рисуем область ограничения D                                            

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2) находим точки, в которых выполнено необходимое условие наличия экстремумов.

точка (0;0) области D

2. Находим на границе области наибольшее и наименьшее значения

Находим точки  пересечения линий: и

  y = x,

f = x² + x² – x² = x²

 
f(0) = 0

3. Находим точки, в которых выполнено необходимое  условие наличия условного экстремума функции с помощью формулы  Лагранжа.

  F(x,y, ) = x²+ y² – xy + (x²+y² – 25)             

              

5)                  x         y         

                     0         0           0

              - -      

             

                     

                

              -       

Ответ:

Задание №2

Фирма закупает удобрения двух видов. В единице массы удобрения вида Р содержатся 3 у.е вещества А, 2- вещества В и 1- вещества  С; в единице массы удобрения М содержится 1 у.е. вещества А, 1- вещества В и 1- вещества С. На один акр почвы необходимо внести не менее 9 у.е вещества А, 8 – вещества В и 6 – вещества С. Составить наиболее экономичный план закупки удобрений в расчете на 1 акр, если цены удобрений на единицу массы составляют: для удобрения вида Р-$3, а вида М- $2. Решить задачу двумя способами(геометрическим методом и симплексным методом).

                                           Геометрический метод

     Теоретическая часть:

     Применяется, как правило, для задач линейного  программирования, содержащих не более 2 переменных. Суть геометрического  метода сводится к следующему:

1. На плоскости, по осям которой отложены искомые переменные величины, строится система ограничений, указанная в задаче (то есть фактически решаем графически систему неравенств). Если она не имеет решения, то соответственно ЗЛП также не имеет решения. Если имеет, то обычно мы получаем некоторый многоугольник (он может быть не замкнут). Этот многоугольник представляет собой область допустимых решений ЗЛП.
2. Находим градиент целевой функции. Он представляет собой вектор, направленный в сторону наибольшего возрастания функции.

Также нужно отметить, что градиент имеет  в данном случае координаты, представляющие собой коэффициенты при соответствующих  переменных в целевой функции.

3. Строим так называемую линию уровня. Для этого приравниваем целевую функцию какой-либо константе. Очевидно, что мы получаем прямую, перпендикулярную градиенту.
4. Возможны два варианта:

а)Целевая  функция на максимум: перемещаем линию  уровня параллельно самой себе в  направлении градиента. Для простоты будем считать, что ЗЛП имеет  единственное оптимальное решение. Тогда последняя точка,  лежащая на границе области допустимых решений ЗЛП, через которую пройдет линия уровня и будет представлять собой оптимальное решение.

б)Целевая функция  на минимум: все аналогично пункту 1 за исключением того, что линию уровня нужно перемещать в сторону, противоположную градиенту. 
 
 

  
 
 

Практическая  часть

                                  

x₁ - единица массы удобрения вида Р

x₂ – единица массы удобрения вида М               

Целевая функция:

ƒ=3x₁+2x₂®min

Строим линию  уровня 3x₁+2x₂=18

Минимальное значение

достигается на пересечении

(2)и (3) ограничений.

Решаем систему, состоящую 

из (2) и (3)-ого  уравнения

   Получим  

Подставим в  целевую функцию

ƒ(2,4) = 3*2+2*4=14

Т.е., наиболее экономичный план закупки удобрений в расчете на 1 акр, в 320$ будет достигаться, при 20 ед. массы удобрения вида Р и 4 ед. массы удобрения вида М. 
 

                                         Симплекс- метод 

Теоретическая часть:

Симплекс-метод  в отличие от геометрического, является полностью аналитическим, что позволяет использовать его в задачах с практически любым конечным числом переменных. Для его использования все ограничения задачи должны представлять собой равенства. Ограничения задачи могут иметь вид: В случае ( ) вводятся дополнительные переменные u_i: ; в случае ( ) вводятся фиктивные переменные w_i: ; в случае ( ) одновременно вводятся дополнительные переменные u_i и фиктивные переменные w_i; .Целевая функция дополняется членами ,содержащими w_i c большим по модулю отрицательным коэффициентом .Симплекс-метод состоит в процедуре последовательных переходов от одного опорного решения к другому, причем на каждом шаге значение целевой функции должно увеличиваться. Процедура заканчивается тогда, когда переход к новым опорным решениям не приводит к увеличению целевой функции

Практическая  часть:

Умножаем целевую функцию на –1, чтобы решать задачу на максимум и приводим ее к каноническому виду.Для этого вводим дополнительные переменные u₁, u_2, u₃ и фиктивные переменные w₁, w₂, w₃.

-3x₁ – 2x₂

-3x₁ – 2x₂ + 0u₁+0u₂+0u₃-Mw₁-Mw₂-Mw₃

3x₁ + x₂ – u₁ + w₁ = 9

2x₁ + x₂ – u₂ + w₂ = 8

x₁ + x₂ = 6 

           x₁^-3     x₂^-2     u₁⁰   u₂⁰   u₃⁰   w₁^-M   w₂^-M   w₃^-M   b         Введем  x₁ в базис. Тогда разреша-  

w₁^-M   3         1        -1      0     0      1        0         0        9        ющий столбец 1-й.Найдем разре-

w₂^-M   2         1         0     -1     0      0        1         0       8        шающую строку: min(b_i\a_is) =

w₃^-M   1         1         0      0     -1     0        0         1        6         = min(9\3;8\2;6\1)=3 разрешаю-

                                                                                                   щая строка 1-я.Вводим в базис  x₁

     -6M+3  -3M+2  M     M    M    0        0         0       -23M     вместо w_3.

x₁^-3     1        1\3     -1\3    0     0     1\3      0         0        3         Введем x₂ в базис.Тогда разреша-

w₂^-M   0        1\3      2\3    -1    0    -2\3    1         0        2        ющий столбец 2-й.Найдем разре-

w₃^-M   0        2\3      1\3     0    -1   -1\3      0         1        3         шающую строку: min(b_i\a_is) =

                                                                                                   =min(3\1.5;2\1/3;3/2\3)=9/2 ра-         0     -M+1   -M+1  M   M  2M-1    0         0     -9-5M    реш.строка 3-я.x₂ вместо w₃ 

x₁^-3     1         0      -1\2      0     1\2          1\2        0      -1\2      3\2              u₁ в базис,разрешающ. 

w₂^-M   0         0       1\2      -1    1\2         -1\2        1      -1\2      1\2             столбец 3-й.Разреш.стр: