Доказательство неравенства Шапиро при n>=7

Доказательство неравенства Шапиро при n≥7.

А.В. Буянов

Научный руководитель - С.С. Каянович, канд. физ.-мат. наук, доцент.

В докладе речь пойдет о неравенстве

  (1),

Где – положительные числа. На предыдущей студенческой конференции оно было доказано для n=6 [1]. Тогда же было отмечено, что это неравенство в случае четных n справедливо для n=12 и всех меньших n и оно несправедливо для n=14 и всех больших n. При нечетных n ситуация такова: оно выполняется для n=23 и всех меньших n и не выполняется для n=25 и всех больших n. При этом приближении четного n к 12, а нечетных к 23, доказательства неравенства (1) становились все более сложными и громоздкими.

В такой ситуации были естественны попытки использовать некоторые «хорошие» свойства рассматриваемого множества чисел . Одним из таких свойств является свойство монотонности.

В 1963 году неравенство было доказано для любого натурального n в случае монотонной последовательности чисел. Но вскоре выяснилось, что для возрастающей последовательности это доказательство было неверным [2].

В связи со сказанным полезно рассмотреть пример. Пусть числа будут следующими: , т.е. они образуют возрастающую последовательность [3]

Для указанной последовательности

Если обратить внимание на правую часть неравенства (1), то будет понятно, что неравенство не может быть доказано методом математической индукции.

Теперь «развернем» нашу последовательность, сделав ее убывающей, где .

Для этой убывающей последовательности  

Это наводит на мысль попытаться доказать неравенство (1) для произвольной убывающей последовательности методом математической индукции. Итак, пусть есть множество чисел, для которых справедливы неравенства

Для разности получаем

Рассмотрим первую и четвертую дроби из этого равенства. Их разность может только уменьшаться при уменьшении , поэтому можем взять . Теперь рассмотрим третью и пятую дроби из этого же неравенства. Их разность уменьшается при уменьшении , поэтому можем взять . Тогда получаем

Рассмотрим вторую скобку числителя. Последнее выражение  уменьшается при увеличении . Поэтому можем взять . Тогда получаем

После этого неравенство (1) легко доказывается методом математической индукции.

Библиографический список

1. Федоркевич А.А., Рыжиков Е.О., Каянович С.С. История одного неравенства – материал 53-ей студенческой научно-практической конференции «Современные технологии в науке, технике, образовании» - Минск, 6-13 мая 2013г. – МГВРК, 2013 – стр.46-48.
2. Diananda P.H. Inequalities for some cyclic sums// J.London Math. Soc. 1963. Vol. 38. P.60-62.
3. Задачи Санкт-Петербургской олимпиады для школьников по математике. Сост. Берлов С.Л. и др.// Санкт-Петербург. 2011. 158 стр.