Дирихле принципі

Қазақстан Республикасының  Білім және ғылым министрлігі

Ы. Алтынсарин атындағы дарынды  балаларға арналған қазақ гимназия-интернаты

 

 

 

 

 

Дирихле принципі

 

Секция: Математика

 

Орындаған: Ы. Алтынсарин атындағы дарынды балаларға арналған қазақ

гимназия-интернатының

7а сынып оқушысы 

Узканова Диана

 

Ғылыми жетекшісі: Ы.Алтынсарин атындағы

дарынды балаларға арналған қазақ гимназия-интернатының

математика пән мұғалімі

Ханапия Бахытгул

 

Павлодар қ.

2011-2012

Мазмұны

 

І.  Кіріспе ...................................................................................................3-4

 

ІІ. Негізгі бөлім:

1 Дирихле принипінің тұжырымдамалар..............................................  5-8         

2. Ұзындықпен аудандағы Дирихле принципі.................................. .....8-12

    

3. Талдау жүргізген  есептер ................................................................... 12-16

ІІІ. Қорытынды............................................................................................17

 

ІҮ. Пайдаланған әдебиеттер тізімі.............................................................18

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                

 

 

 

 

 

Аннотация.

     Тақырыбы. «Дирихле принципі» 

     Зерттеу  мақсаты. Дирихле принципі әр түрлі жолдармен дәлелдеуге болатынын көрсету. Мектеп математика курсының мазмұнында қарастырылмайды, көбінесе олимпиада есептерін шығруда «кері жору» әдісін қолданып есептер шығару, оқушылардың логикалық ой – қабілеттерін арттыру.

     Тақырыптың өзектілігі.  Зерттеу жұмысында  Дирихле принципі            зерттеп, басқа жолдармен дәлелдеу. Дирихле принципі математика саласының  дамуына қажет болғандықтан, бұл теореманы тереңірек ұғып, түсіну. Сонымен қоса оқушылардың математика пәніне қызығушылығын арттыру.

     Гипотеза. Егер Дирихле принципі  дәлелдеу процесінде және оқу-материалдарын игеру барысында зерттеу әдістерін жетілдіріп, деректерді тиімді әрі жүйелі пайдалансақ, онда оқушылардың зерттеу құзіреттілігі және коммуникативтік, ақпараттық құзіреттілігі өз мәнінде дамып, сонымен қоса оқушылардың математикаға деген қызығушылығы артады деген ойдамын.

    Зерттеу кезеңдері. Мен өзімнің ғылыми жұмысымды 3 кезеңге бөлдім.

І кезең: тақырыпты таңдау.

ІІ кезең: тақырыпқа байланысты тарихи, математикалық шығармаларды  жинап оны топтау.

ІІІ кезең: табылған ақпаратты  талдау және өңдеу.

ІV кезең: жұмысты жазып, қорғау.

    Зерттеу  құралдары. Зерттеу құралдары: математикалық кітаптар, бұқаралық ақпарат,интернет желісі.

    Зерттеу әдісі:Анализ, синтез, жобалау әдісі

Қорытынды: Сонымен қорытындылай келе, Дирихле принципі көп жағдайда өте қажет. Мысалы:Логикалық  есептерді  шығаруда,  теоремаларды дәлелдегенде. Сондықтан бұл теореманың қыр – сырын толығырақ әрі тереңірек білу қызығушылық тудырады.

 

                                                

Кіріспе

Еліміздің тәуелсіздігі бүгінгі  күні қоғамымыздағы интеллектуалдық  еңбек үлесінің өсуі нәтижесінде  өмірге ертең араласатын жеткіншектердің  білім деңгейіне, әр адамның қабілеті мен шығармашылық әлеуметінің дамуына, оның кәсіптік икемділігіне қойылатын  талаптар да күннен күнге арта түсуде. Елбасы Н.А. Назарбаев Еуразия ұлттық университетінде оқыған лекциясында: «Білімді, сауатты адамдар – бұл  ХХІ ғасырда адамзат дамуының негізгі қозғаушы күші» - деп атаған [1].

Қазіргі заманғы білім  берудің перспективалық міндеті  – ол сындарлы ойлай білетін және ақпараттар ағынында бағдар ала білуге қабілетті адамдарды даярлау.  Орта білім белсенді, білімді және табыстарға бағдарланған тұлғаларды  тәрбиелеуге жауап береді. Оқушылар «ешқашан бастауды тоқтатпа, ешқашан  тоқтауды бастама» деген ақиқаттан  адаспауы тиіс [2].

Математикалық ұғымдар, аксиомалар мен анықтамалар және қорытындылар (теоремалар және салдарлар) нақтылы  өмірде бар болатын әртүрлі заттардың, онда болып жатқан құбылыстар мен  өтіп жатқан процестердің өздеріне тән  жалпы қасиеттерінің біздің санамызда  бейнеленуі болып табылады. Академик А.Н. Колмогоров: «Математик әрқашан  реалды құбылыстардың әртүрлі модельдерімен  жұмыс жасайды. Оны, математик ретінде, қабылданған модель аясында қорытындылар орынды ма деген сұрақ ғана ойландырады. Егер де ол реалдылық пен оның математикалық  моделінің арасындағы диалектикалық  байланысты түсіндіру міндетінен бас  тартса, бұл әсте жақсы емес» - деп  көрсеткен болатын [3].

 «Айтушылардың сөзіне  қарағанда ғылымның бұл саласын  жоғары тұрғыдан     зерттеп,  қиқы-шойқы жерлерін түзеп, шалағай  ережелерді ширатып, ақыл парасатына  жүгіндіріп,үлкен ғылымға айналдырушы  Пифагор болған» [4].

 

   Менің осы  тақырыпты таңдаған себебім, менің  ойымша   Дирихле принципі   әлемдік  құпиялардан  да  қызықтырақ  Дирихле принципі математика саласына үлес қосады және оның дамуына қажет.                                                                                                                       

       Бұл  жобаның мақсаты зерттеу жұмысында Дирихле принципін зерттеп, әр түрлі есептердің шешу жолдарын  дәлелдеу. Мектеп математика курсының мазмұнында қарастырылмайды, көбінесе олимпиада есептерін шығруда «кері жору» әдісін қолданып есептер шығару. Дирихле    принципі  математика  саласының  дамуына қажет болғандықтан, бұл теореманы тереңірек ұғып, түсіну. Оқушылардың математика пәніне қызығушылығын арттыру, логикалық ой – қабілеттерін арттыру.

Дирихле принципін қолданып ұзындықты, ауданды табу, сандар теориясында  және диофанттық жақындау теориясында  сызықтық теңсіздіктер жүйесін  талдауда қолданылады.

Көптеген есептердің шешімінде  «қарсы жору» әдісі қолданылады. Осы жұмыста қарастырылған түрі –Дирихле принципі. Бұл қарапайым  принципті бірінші болып неміс  математигі Петер Густав Дирихле (1805-1859) жылы тұжырымдаған.Әдетте Дирихле принципін  «қояндар мен үйшіктер»немесе «жәшіктер  мен заттар»» мысалға алынады. Егерде біз нақты бір есепті шешпекші болсақ, онда қайысы «қоян» және қайысысы «үйшік» екенін талаумыз керек.Ол есепті дәлелдеудің ең қиын сатысы болып  табылады.

——————————————————————————————————

 

[1] - Назарбаев Н.Ә. Инновациялар мен оқу-білімді жетілдіру арқылы  білім экономикасына // Егенмен Қазақстан, 27 мамыр, 2006, №2б                                                                                                                             [2] - Егемен Қазақстан, жалпыұлттық республикалық газет. №336 (25733), 14 қазан, 2009 жыл,2б

[3] - Колмогоров А.Н. Современная  математика и математика в  современной школе // Математика  в школе. – 1971. - №6. – С. 2-3.                                                                                                                                                                                    

[4] – Математика мен  математиктер жайлы әңгімелер.  М.Ө. Исқақов, С.Н. Назаров. Екінші  кітап,  «Мектеп» , 1970, 315 бет.     

                                         

                             

Дирихле принципінің  тұжырымдамалары

Дирихле принципінің ең кең  тараған тұжырымдамасы: Егер қояндар  үйшіктере қояндар саны үйшіктер санынан көп болатындай отырғызыласа, кем дегенде бір қоян артық  қалады. Жалпы түрі: Егер m қоян n үйшікке отырғызылса, онда кем дегенде бір үйшікте кемінде бір қоян болады, ал кемінде бір үйшік санынан аспайтындай қоян отырады. Жекеше түрі: Егер үйшіктер қояндарға қарағанда көбірек болса, онда кемдегенде бір үйшік бос болады.

Қарапайым мысал қарастырайық. Егер бір үйшікке бір қояннан  артық қояндарды орналастыруға  рұқсат етілмесе, онда 10 қоянды 9 үйшікке  бір бірден орналастыруға мүмкін емес екендігі айқын.

Тұжырымдама:1

 Кез келген натурал  сан үшін n+1 қоянды n үйшіктерге n+1   немесе оданда көп қояндар бар болса, онда ішінде екі қояны бар кемінде бір үйшік табылады деуге болады. [5]

1-мысал: Сыныпта 30  оқушы бар. Арман диктантта 12 қате жіберді, ал қалғаны оқушылардікі одан аз. Жоқ дегенде үш оқушының жіберген қателернің саны бірдей екенін дәлелдеу керек.

Есептің тұжырымын кері жору арқылы дәлелдейміз. Бірдей қате жіберген оқушы табылмайды деп алайық. Сода ең көп дегенде екі баланың  қателері бірдей болуы мүмкін дейік. Сонда қателер саны 0,1,2,...,11 болса, оқушылар саны ең көп дегенде, Мараттың өзін қосқанда 25 оқушы шығады. Яғни, есеп шартындағы  30 оқушы жиналмайды. Қайшылық негізінде есептің шартындағы  тұжырымның дұрыс екендігін аламыз.

2-мысал: Қылқан  жапырақты орманда 800000  шыршада өседі. Әрбір шыршада саны  500000–нан  артық болмайтын инелері өсіп тұр. Инелерінің саны  бірдей  болатын ең  болмағанда  екі шырша бар болатынын дәлелдеу  керек.

Талдау. Кері  жоримыз. Бұл  орманда инелерінің  саны бірдей болатын  екі  шырша табылмасын  дейік. Онда  инесі  біреу  ғана  болатын  шырша біреуден  артық  болмайды (1  ағаш  немесе  ондай  шырша  жоқ);  дәл  осылай  екі  инесі  бар ағаш  саны  да  біреуден артық  болмайды және т.с.с.  сол  сияқты  499999  инесі  бар  ағаш  та  біреуден  артық  емес.  Сонда  1-ден  500000-ға  дейін  инелері  бар  болатын  ағаш  саны  500000-нан  артық  емес болып  шығады. Ал  барлығы  800000  шыршаның  әрқайсысында 500000-нан  артық  инелері  болмаса,  онда  ең  болмағанда екі шыршаның  инелер  саны  бірдей  болады.

Ескерту. Есептің шешуі  нақты сандардан  тәуелді  емес: 800000 (шыршалардың  саны )  және  500000 ( ең  көп инелер  саны). Мұндағы  маңызды  нәрсе  800 000  саны  500000-нан қатал түрде артық екендігі. Дәлелдемеде бір де  инесі жоқ шырша жағдайы қарастырылмады. Дәлелдеуді  бір де инесі жоқ шырша бар болатын жағдай  үшін  де  жүргізуге болады.

Жоғарыда келтірілген  қояндар мен үйшіктер туралы айтылған тұжырымды математикалық тілмен былайша түсіндіруге болады: n+1   элементі бар Р жиыны мен n элементі бар жиынының арасындағы кез келген бейнелеу үшін, бейнелері бірдей Р жиынының кез келген екі элементі табылады.

Тұжырымдама :2

 жәшікте заты орналастырсын дейік. Егер заттардың саны жәшіктердің санынан артық болса , онда ішінде екі заты бар ең болмағанда бір жәшік табылады.[5]

Ескерту. Ең болмағанда екі  зат қай жәшікте екендігі неше зат бар екендігі, мұндай жәшіктің нешеу екендігі маңызы жоқ ақпаратттар. Ең негізгісі-ішінде екіден кем болмайтын (екі немесе одан көп) заты бар, ең болмағанда бір жәшіктің болатындығы. Әдетте бұл  принцип «қояндар мен үйшіктер принципі»  деген аттармен кездеседі.

2-мысалға оралайық. Бұл  есепті Дирихле принципін пайдаланып  шығарамыз. Ол үшін 1,2,..., 500000 сандармен  нөмірленген қорап бар деп  есептейік. 800000 шыршаны осы қорапта  ойша былай орналастырайық: нөмірі қорапқа инесі бар шыршаны орналастырамыз. Шыршалар, яғни «заттар» қораптардан көп болғандықтан екіден кем емес «зат», демек, екіден кем емес шырша салынған ең болмағанда бір қорап табылады. Бірдей қорапта инелерінің саны бірдей ең болмағанда екі шыршалар табылады.

3-мысал: Алты бүтін сандардың ішінен айырмасы беске бөлінетін екі сан табылатынын дәлелдеу керек.

Шешуі: 0,1,2,3,4 цифрларымен  нөмірленген 5 қорапты қарасырамыз. Сандарды 5-ке бөлгендегі  қалған  қалдық  саны  бойынша  кез  келген  бүтін алты санды осы  қораптарға орналастырамыз. Яғни 5-ке бөлгендегі қалған қалдықтары бірдей сандарды бір  қорапқа «салайық». Сандар «заттар» қораптардан көп болғандықтан,  Дирихле қағидасы бойынша, біреуден артық «зат салынған» бір қорап  табылады.Демек, бір қорапта орналасқан ең болғанда екі сан табылады. Бұдан 5-ке бөлгендегі қалған қалдықтары өзара  тең болатын екі сан  бар  болатыны шығады.Онда олардың айырмасы 5-ке бөлінеді. Яғни  бүтін сандар жиынын 5 топқа бөлеміз. Бірінші топқа ...-14,-9,-4,16-,6,11,16,21,26..., 5-ке бөлгендегі қалдығы 1 болады, басқа сандар ...-13,-8,-3,2,7,12,17,22,27,..., қалдығы 2, үшінші топтағы сандарды 5-ке бөлгенде қалдығы 3-ке,  төртінші топтағы сандарды 5-ке бөлгенде қалдығы 4-ке тен, ал  бесінші топта 5-ке қалдықсыз  бөлінетін сандар бар.

 Есеп:4  Кез келген  натурал сандар үшін n-ге бөлінетін, 0 және 5 цифрларынан тұратын натурал сан бар боатындығын дәлелдеу керек.

 Шешу: а₂=50, a₂=5050,…, сандарын қарастырамыз және осы «заттарды»  0,1,2,3...,n-1 сандарымен нөмірленген «қорапта» орналастырамыз. _{S-қорапқа n-ге бөлгендегі қалдық S-ке тең болаттын  ак санын саламыз. Егер нөмірі О-қорапта бір «зат» ( яғни бір сан) болса, онда есеп шешіледі. Олай болмаса, онда  n-1  қорапта  n  зат орналастырар еді  Дирихле принципі бойынша  бір қорапқа түсетін екі «зат» (сан) бар. Демек  n-ге бөлгенде бірдей қалдық беретін екі сан табылады. Олардың айырмасы n-ге бөлінеді. Сол сияқты 0 және 5 цифрларынан тұратын сандардың айырмасы да 0 және 5 цифрларынан тұратындығын байқау  мүмкін.[6]}

Ұзындықпен аудандағы  Дирихле принципі

Түзу сызықты ұзын жолдың бойында бірдей интервалдармен көлденең арықшалар қазылған,  әрбір көршілес екі арықшаның центрлерінің арақашықтығы метрге тең (1-сурет).

Арықшалар қанша жіңішке  болып жасалғанмен де қадамның ұзындығы  1 метр, жолмен жүріп келе жатқан адам ерте ме,  кеш пе арықшалардың бірін басатын болады.  Бұл ұйғарымның  дәлелдеуі Дирихле принципі  деген атпен белгілі, әзіл  түрінде былайша айтуға  болатын қағидадан шығады:  Егер  әр  үйшік бір қояннан    ғана   қамауға рұқсат етілсе, бес үйшікке жеті қоянды ораластыру мүмкін емес.

1-сурет

Шынында да, біз жолды  шеңбер доғасының ұзындығы метрге тең барабанға «оралған» деп есептейік (2-сурет). Сонда барлық арақашықтық барабанда бірінің үстініе бірі түседі, ал адамның әр қадамы шеңберде ұзындығы 1 м доғамен кескінделеді. Біртіндеп шеңбер бойындағы адамның бірінші, екінші, үшінші қадамдардан соңғы ізін белгілейік. Шеңбердегі арықша кескінде белгіленген доғаның ішіне, ол доғаның ұзындығы  һ қаншалық аз болса да, осы іздердің бірі түсетінін дәлелдеуіміз керек.