Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

причём второе получается из первого дифференцированием по С из дифференциальной геометрии известно, что этот процесс даёт огибающую семейства прямых (12), представляющего общее решение. Мы скажем, что эта огибающая, т. е. решение (13), есть с решение уравнения Клеро (11).

Итак, общее решение уравнения Клеро представляет семейство, прямых, особое решение — огибающую.

Примечание 1.  Чтобы доказать, что особое решение удовлетворяет уравнению Клеро, нам пришлось допустить, что функция два раза дифференцируема.  Более сложное доказательство к тому же заключению в предположении, что дифференцируема один раз.

Примечание 2. Рассуждение, приводящее к особому решению, неприменимо, если , т. е. если

(a и b постоянные); в этом случае уравнение имеет вид:

откуда

Вместо особого  решения мы имеем особую точку , x=-a, y=b, через которую проходят все интегральные прямые: y=b+C(x+a) . 

Примечание 3. Всякое семейство прямых, зависящее от одного параметра (кроме семейства параллельных прямых), при исключении параметра приводит к уравнению Клеро. В самом деле, пусть дано семейство: 

Так как  (иначе было бы k — const, и мы имели бы

семейство параллельных прямых), то уравнение k(t) = C (где С- новый параметр) можно разрешить относительно t, t = f(C). Уравнение семейства примет вид:

т. е. вид общего решения (12) уравнения Клеро.

К уравнению  Клеро приводят геометрические задачи, в которых требуется   определить  кривую по   какому-нибудь свойству её касательной. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

5.Заключение 

В данной курсовой работе мы рассмотрели дифференциальные уравнения, а в частности дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро и методы их решения.

Решили, если дифференциальное уравнение является уравнением Лагранжа (1)  или Клеро (2), то их решение выглядит так: 

  (1),

(2). 

Дифференциальные уравнения рассмотренные в данной работе применяются в различных  областях, таких как: биология, экономика, физика, математика, электротехника и др. 

6.Приложение

Пример1. . Это - уравнение первой степени относительно х; разрешаем его: Дифференцируем обе части по у, считая р функцией у и заменяя через р.  

Получаем:

 

Преобразуем: 

Деля обе части  на общий множитель  , мы получаем уравнение с разделяющимися переменными ;интегрируя находим: Внося это выражение в данное уравнение, получаем:  

откуда, выделяя  частное решение ,у = 0, находим:

Или вводя новое постоянное , . 
 

Пример2. Дифференцируем по  х, считая р и у функциями х и заменяя через р; имеем:

Разрешая относительно ; находим решение этого уравнения есть . Вставляя это выражение в данное уравнение, находим:

Итак, мы выразим  x и y в функции параметра p и произвольного постоянного C, т.е.  получили общее решение в параметрической форме . Кроме  этого общего решения, имеется ещё решение y=0. 

Пример 3. Найти кривую, касательные к которой образуют 
вместе с прямоугольными осями координат треугольник постоянной 
площади, разной 2. Пишем уравнение искомой касательной в отрезках:

по условию  ab=4 т.е. и мы имеем семейство прямых . Найдём дифференциальное уравнение этого семейства; дифференцируем по х и исключаем а: 

или 
 

 

Это-уравнение Клеро; его общее решение есть  ,но нас интересует особое решение , которое  даёт искомую кривую . Находим его, дифференцируя последнее равенств по C и исключая C:

откуда , или, окончательно xy=1- равносторонняя гипербола. 
 
 
 
 
 

 

7.Список использованной литературы

1.В.И.Арнольд. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». М.: Наука, 1966.

2.В.В.Степанов «Курс дифференциальных уравнений» Москва 1959

3. Н.М.Матвеев «Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений»,Высшая школа,1967