Дифференциальные уравнения Лагранжа и Клеро

1.Введение

 С точки  зрения формально-математической  задача решения (интегрирования) дифференциальных уравнений есть задача, обратная дифференцированию. Задача дифференциального исчисления состоит в том, чтобы по заданной функции найти её производную. Простейшая обратная задача уже встречается в интегральном исчислении: дана функция f(x), найти её примитивную (неопределённый интеграл). Если искомую примитивную функцию обозначить через у, то указанная задача может быть записана в форме уравнения:

(1)

или  

 (2)

Равносильные  между собой уравнения (1) и (2) являются простейшими дифференциальными уравнениями. Из интегрального исчисления известно, что наиболее общая функция у, удовлетворяющая уравнению (1), или, что то же, уравнению (2), имеет вид:

 (3)

В решении (3) символ неопределённого интеграла обозначает какую-нибудь примитивную, а С есть произвольное постоянное. Итак, оказывается, что искомая функция y определяется из уравнения (1) или (2) неоднозначно. Наше дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых получится, если произвольному постоянному С придать определённое числовое значение. Решение (3) уравнения (1), содержащее произвольное постоянное, называется общим решением; каждое решение, которое получается из общего, если дать постоянному С определённое числовое значение, называется частным решением.

В уравнение (1) входила только первая производная от искомой функции. Это - дифференциальное уравнение первого порядка. Самое общее дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид: 

 (4) 

Где F- заданная непрерывная функция трёх своих аргументов; в частности, она может не зависеть от x или от y (или от обоих этих аргументов), но непременно должен содержать . Если уравнение(4) определяет ,как неявную функцию двух остальных аргументов (в дальнейшем мы всегда будем предполагать это условие выполненным), то его можно представить в виде, разрешённом- относительно

 (5)

Здесь f—непрерывная заданная функция от х, у. В дифференциальном уравнении (4) или (5) х является независимым переменным, у—искомой функцией. Итак, дифференциальное уравнение первого порядка есть соотношение, связывающее искомую функцию, независимое переменное и первую производную от искомой функции.

Решением дифференциального уравнения (4) или (5) называется всякая функция , которая, будучи подставлена в уравнение (4) или (5), обратит его в тождество. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

2.Общий метод введения параметра 

1.Пусть дано неразрешённое уравнение:

 (1)

Если мы будем  рассматривать х, у, р как декартовы координаты в пространстве, то уравнение (1) определит некоторую поверхность. Известно, что координаты точек поверхности могут быть выражены как функции двух параметров и, v; пусть нам известно такое параметрическое представление поверхности (1):

 (5)

Система уравнений  (5) эквивалентна уравнению (1). Теперь вспомним,

что уравнение (1) дифференциальное и что или

Подставляя в  это последнее равенство выражения  р, dy, dx, взятые из уравнений (5), получаем: 

 

Это - дифференциальное уравнение первого порядка между u и  v.Принимая а за независимую переменную,  a v за искомую функцию, можем написать его в виде: 

 

Мы получили уравнение первого порядка, но уже  разрешённое относительно производной; если мы  найдём его общее решение в виде: 

то два первых уравнения (5) дадут:

 

т. е. общее решение  уравнения (1), выраженное в параметрической  форме (u-параметр, C-произвольное постоянное). Это преобразование (5) обыкновенно применяется в случае, если уравнение (1) легко разрешается относительно х или у; тогда в представлении (5) за параметры естественно взять у и p или х и p.

Рассмотрим сначала  уравнение:

 (6) 

Соотношение dy=pdx, если принять за параметры хи р, даст нам:

или 

(7) 

Мы получили уравнение между х и р, разрешённое относительно пусть его общее решение будет:

(8)

Внося это выражение в формулу (6), получим общее решение искомого уравнения: 

Примечание 1. Уравнение (7) можно получить также из уравнения (6), если дифференцировать обе его части по х, причём р рассматривается как функция х, и  заменяется   через   р. Таким образом, мы имеем здесь новый способ сведения уравнения (6) к более простому уравнению (7) при помощи дифференцирования.

Примечание 2. Получив общий интеграл уравнения (7), мы должны помнить, что р в выражении (8) есть вспомогательная переменная; исключив его из (7) и (6), мы получаем общее решение уравнения (6) без дальнейших интеграции. Было бы ошибочным рассматривать равенство (8) как дифференциальное уравнение, полагая в нём , ибо при интеграции этого уравнения вошло бы в решение второе произвольное постоянное, и мы вместо данного уравнения (6) нашли бы решение уравнения второго порядка:

которое получается из уравнения (7), если считать в нём 

2. Рассмотрим теперь уравнение:

(9)

Можно воспользоваться соотношением , вводя в него в качестве новых вспомогательных переменных у и р; можно также получить уравнение, разрешённое относительно производной от  искомой функции дифференцируя обе части уравнения (9) по y и принимая во внимание, что

 или при этом  мы находим:

 

Мы получили дифференциальное уравнение между у и р; найдя его общее решение и внеся это выражение на мест р в данное уравнение (9), получим его общий интеграл: . Впрочем, уравнение (9) переходит в уравнение вида (6), если поменять роль переменных х и у. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

3.Уравнение Лагранжа 

 Изложенные  преобразования приводят уравнение, не разрешённое относительно производной, к новому уравнению, которое является разрешённым относительно производной; но это новое уравнение, вообще говоря, не интегрируется в квадратурах. Сейчас мы рассмотрим тип уравнений, не разрешённых относительно производных, в применении к которым метод дифференцирования всегда приводит к уравнению, интегрируемому в квадратурах. Это—уравнение Лагранжа. Так называется уравнение, линейное относительно х и у, т. е. уравнение вида: 

А(р)у + В(р)х = С(р), 

  где коэффициенты А, В, С—данные дифференцируемые функции производной Разрешая это уравнение относительно y (мы предполагаем, что приводим его к виду:

(10)

Применяя  к уравнению (10) метод дифференцирования (так как это — уравнение вида (6)), приходим к уравнению

(10`)

Если в этом уравнении рассматривать x  как искомую функцию, а p - как независимое переменное, то получаем линейное уравнение: 

(10``)

Оно, как известно, интегрируется в квадратурах; решение  имеет вид: 

где, например . Внося найденное выражение х в данное уравнение, получим выражение вида:

Таким образом, два переменных выражены в функции параметра р; если исключить этот параметр, получим общий интеграл уравнения Лагранжа в форме Ф(х, у, С) = 0.

Примечание Приведение к виду (10") невозможно, если Допустим теперь, что для некоторого значения р = С₀ мы имеем

. Тогда уравнение (10'), очевидно, допускает решение р = С₀; подставляя в уравнение; (10) это значение p, получаем

  Легко проверить, что это есть решение уравнения (10); можно также убедиться в том, что оно не содержится в формуле общего решения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4.Уравнение Клеро 

Уравнение Клеро  является частным случаем уравнения Лагранжа; оно имеет вид:

(11)

где - данная (дифференцируемая) функция. Дифференцируем обе части по x; получаем: 

Исследуем на этот раз оба множителя левой части последнего уравнения; первый множитель даёт дифференциальное уравнение:

откуда p=C, и общее решение уравнения (11) есть

(12).

Итак, общее решение  уравнения Клеро получается заменой в уравнении (11) p на произвольное постоянное С. Решение (12) геометрически представляет семейство прямых от одного параметра. Приравняем теперь нулю второй множитель . Это равенство определяет р как функцию от х; ; если подставить это значение р в уравнение (11), то получим: 

(13) 

Можно также подставить значение: 

в уравнении (11) и получить ту же кривую в параметрической форме:, (13`).

Легко проверить, что кривая (13) или (13') является интегральной кривой уравнения (11); в самом деле, пользуясь, например параметрическим представлением (13'), находим:

откуда .  Вставляя значения x, у, у' в уравнение (11), получаем тождество:

Решение (13) или (13') не содержит произвольного постоянного; оно не получается из общего решения (12) ни при каком посте значении С. В самом деле, правая часть уравнения (12) при любом постоянном С есть линейная функция от х; допустим, что (а и b -постоянные); дифференцируя, находим: 

 
 

Но по определению  функции имеем: , и предыдущее равенство обращается в следующее:

что противоречит уравнению, определяющему  Посмотрим, каково геометрическое значение решения (13). Оно получилось путём исключения р из двух уравнений:

или, заменяя  р через С (от этого результат не изменится), - исключением С из двух уравнений: