Министерство  образования и науки Российской Федерации

«САРАТОВСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ Н.Г. ЧЕРНЫШЕВСКОГО»

Кафедра электроники колебаний и волн 
 
 

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ  ЛАПЛАСА 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА 

студентки 2 курса факультета нелинейных процессов 

Емельяновой Светланы Андреевны 
 

Научный руководитель:

профессор, д.ф.-м.н. _____________________________________ А. А. Короновский 

Зав. кафедрой электроники,

колебаний и  волн,

профессор, д.ф.-м.н. ___________________________________Трубецков Д.И.  
 

Саратов, 2011 г.

Содержание:

   Введение

 Постановка  задачи                                                                         

 Схема численного решения   

 Решение тестовой  задачи                                                               

 Решение поставленной  задачи

 Заключение. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Введение.

Многие процессы в физике описываются уравнениями  решения которых не всегда можно получить аналитически. Для их решения необходимо прибегать к численным методам, позволяющим получить решения на заданной области с определенной точностью. В данной работе необходимо найти решения уравнения Лапласа, как частный случай уравнения Пуассона с отсутствующими источниками внутри области и значениями на границе. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Постановка задачи

Решить методом  сеток уравнение Лапласа для  двумерного случая

          

 

внутри области  , задаваемой кривыми:

       
 
 

при следующих граничных  условиях:

           
 
 

Рис. Область решения задачи

Выберем в качестве системы координат – декартову  систему. В такой системе уравнение  Лапласа имеет наиболее простой  вид, и приближенная конечно-разностная схема в таком случае широко известна. При этом кривые, определяющие область  решения задачи, не сложны для анализа. Поэтому введение другой ортогональной  системы криволинейных координат  задачу не упростит.

Схема численного моделирования

Как уже было сказано  выше, задачи, описываемые уравнением Лапласа в областях сложной формы, редко удается решить классическими  методами. Основным способом решения  таких задач являются численные  методы. Среди них чаще всего выделяют метод конечных разностей, благодаря  его универсальности и наличию  хорошо разработанной теории. Для  его применения в области изменения  переменных вводят некоторую сетку. Производные, входящие в уравнение, заменяют разностями значений функции в узлах сетки. Получающиеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой. И решая полученную алгебраическую систему, находят приближенное решение задачи.

Пусть в некоторой  области  необходимо найти функцию , которая удовлетворяет уравнению Лапласа и принимает на границе области заданные значения

          

 

Такая задача известна под названием задачи Дирихле  для уравнения Лапласа.

Рассмотрим представление уравнения  Лапласа в конечно-разностном виде. В общем случае граница области  может быть криволинейной, но для изложения основных положений метода конечных разностей удобнее выбрать в качестве области прямоугольник со сторонами и (рис. 2), а при решении задачи с криволинейной границей подобрать оптимальный метод аппроксимации граничных условий. В введем прямоугольную сетку, образованную пересечением и отрезков: длина отрезка по оси равна , а по оси - . Таким образом, заданная область покрывается прямоугольной сеткой с узлами:

,

,

В связи с этим метод конечных разностей для  плоских областей иначе называется методом сеток. На рис. 2 координаты и равны нулю.

Значение функции  в узлах сетки обозначим  , а значения функции на границе - , где индексы - есть номера точек разбиения отрезков и соответственно. Тогда граничные условия для прямоугольной сеточной области можно записать в виде:

          

 

Во всех узлах  сеточной области производные первого  порядка можно аппроксимировать разностными отношениями второго  порядка точности по формулам:

,

,

где и - погрешности аппроксимации производных.

Также приближённые выражения можно написать и для  производных второго порядка  и тогда уравнение Лапласа  в конечно-разностном представлении  имеет вид:

          

, 

где , .

Из соотношения  легко найти значение функции:

          

 \* MERGEFORMAT (.)

В простейшем случае – при одинаковых шагах разбиения  вдоль осей и , получим:

          

 \* MERGEFORMAT (.)

Соотношение показывает, что значение функции в узле определяется, как среднее арифметическое значений этой же функции в четырех соседних с ним узлах (рис. 3).

Решение тестовой задачи.

Для определения  точности и погрешности численного решения уравнения Лапласа воспользуемся  тестовой задачей. Тестовая задача –  задача нахождения решение уравнения  Лапласа в той же области, но условия  на границе модифицированы таким  образом, чтобы тестовая задача имела  аналитическое решение. Таким образом, в результате численного решения  тестовой задачи и его сравнения  с аналитическим решением в тех  же точках, можно оценить погрешность  метода конечных разностей путем  построения графиков зависимостей точностей  полученного решения от таких  параметров численной схемы, как  шаг разбиения и число итераций.

= 

Общее решение  уравнения Лапласа на двумерном  пространстве называется аналитической  функцией (условия Коши — Римана являются необходимыми и достаточными для того, чтобы функция была аналитической). В рассматриваемой задаче эта функция .

Для начала проанализируем графики зависимостей построенные при шаге , где -число итераций. При погрешность , а при и при дальнейшем увеличении числа итераций будет уменьшаться до величины величину(Для шага ). Дальнейшее уменьшение шага не приводит к увеличению точности.

 
 
 
 
 
 

Зависимость погрешности от количества итераций.

Как видно, уменьшение количества итераций в меньшую  сторону при заданном шаге сетки, ведет к росту погрешности. Так  же получается, что уменьшение шага сетки при постоянном количестве итераций, ведет к росту погрешностей. Это объясняется тем, что возрастет  количество внутренних точек требующих  обсчета. Однако только при мелком шаге разбиения можно получить требуемый  результат.

Решение поставленной задачи.

Полученные решения  так же были обработаны для построения линий уровня, позволяющих лучше оценить характер и параметры функции. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Заключение.

В результате выполнения работы была численно найдена функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа  на заданной области D при определенных граничных условиях. Для нахождения оптимальных параметров расчетов и  для контроля корректности алгоритма  было проведено сравнение численного и аналитических решений. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что для обеспечения высокой точности метод требует большого числа итераций при большом числе точек разбиения. В этом случае он даёт небольшую погрешность. На современных вычислительных машинах этот подход можно считать приемлемым для задач, не требующих решения в реальном времени.