Численное моделирование процессов тепломассопереноса в испаряющемся слое жидкости

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ  ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

 ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «ВГУ»)

 

Факультет прикладной математики, информатики и механики

Кафедра вычислительной математики и прикладных

информационных технологий

 

 

Численное моделирование процессов тепломассопереноса в испаряющемся слое жидкости.

 

 

Дипломная работа

по направлению 010501 Прикладная математика

и информатика

 

 

 

 

 

Допущена к  защите в ГАК

Зав. кафедрой   ___________   д. т. н., проф.  Леденёва Т. М. ___.____.201__г.

Руководитель  ___________ к. ф.-м. н., доц. Шабунина З.А. ___.____.201__г.

Студент   ________________                          Григорова И. О.___.____.201__г.

 

 

 

 

 

Воронеж 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………………3

1.   ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ…………………………………………………5

1.1.  Описание физического процесса ……...……………………………….5

      1.2.  Математическая постановка……………………………………………6

       1.3.  Приведение задачи к безразмерному виду……………………………..9

2. РАЗРАБОТКА  АЛГОРИТМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ…………..12

     2.1. Построение системы решения уравнений. Метод сеток……………12

   2.1.1. Разностные соотношения для уравнения теплопроводности...13

    2.1.2. Разностные соотношения для уравнения диффузии…………..15

    2.1.3. Метод прогонки………………………...………………………..16

    2.1.4. Аппроксимация уравнения движения границы………………..18

    2.1.5. Метод Эйлера…………………………………………………….18

2.2. Алгоритм решения задачи…………………………………………….21

3.  Программная реализация предложенного решения задачи……….23

    3.1. Разработка программы………………………………………………23

3.2. Тестирование программы…………………………………………...25

3.3. Численный анализ задачи……………………………………………27

 Заключение……………………………………………………………………..34

Список используемых источников…..………………………………………35

Приложение……………………………………………………………………..36

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность  задачи

Изучение процессов  переноса тепла в системах тел  с подвижными внутренними или  внешними границами является актуальным для ряда отраслей современной техники  и  имеют большое практическое значение для энергетической, металлургической, строительной и других отраслей промышленности, позволяет улучшить многие технологические процессы и разработать новые методы производства материалов и изделий Эти процессы отличаются большим разнообразием и сложностью. Их исследование тесно связанно с развитием гидромеханики, теплофизики, термодинамики, химической кинетики, молекулярной физики дисперсных систем.

К физико-химическим процессам, протекание которых сопровождается перемещением границ фаз, относятся, например, растворение, химическое взаимодействие, изменение кристаллической модификации, механическая обработка и т.д. Задачи теплопроводности для систем с подвижными границами фаз принято называть задачами Стефана [1].

К необходимости решения задачи Стефана часто приходят при теоретическом моделировании процессов тепломассопереноса, сопровождающихся изменением агрегатного состояния среды, в первую очередь ее плавлением или затвердеванием. Особенность данной задачи состоит в переменных размерах области, в которой исследуется температурное поле, за счет наличия подвижной границы раздела фаз, изучение поведения которой с течением времени и составляет основную цель решения. Физические свойства среды, находящейся в разных фазах (плотность, теплопроводность, теплоемкость и т.д.) будут различными. Поэтому задача Стефана характеризуется существенной геометрической и физической нелинейностью, что крайне затрудняет ее решение. Во всяком случае, общих аналитических методов ее решения при произвольной форме области и любом характере изменения температуры на ее границах до сих пор не найдено [2].

При решении задач  теплообмена в телах с подвижными границами наряду с температурной  функцией обычно приходится находить функцию, характеризующую положение  границ фазовых переходов. Указанная пара функций определяется системой нелинейных дифференциальных уравнений. При рассмотрении этой системы точные методы обычно наталкиваются на непреодолимые трудности. Поэтому при решении практических задач Стефана используются численные методы [1].

В данной работе рассматривается задача с подвижной границей, описывающая поведение испаряющегося слоя двухкомпонентной жидкости. При решении задачи необходимо находить функции концентрации и температуры, связанные нелинейной зависимостью на границе. При этом следует определить положение границы слоя, изменение которого происходит с течением времени в результате испарения растворителя из раствора под действием постоянного теплового потока.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.   ПОСТАНОВКА  ЗАДАЧИ

Рассматривается горизонтальный слой двухкомпонентного раствора толщиной δ₀ с массовой концентрацией k₀ и температурой T₀, состоящий из растворителя и наполнителя, внешняя граница которого является поверхностью фазового перехода.

На свободную поверхность  слоя действует постоянный тепловой поток Q.

Сама свободная поверхность  поддерживается при температуре  фазового перехода T_δ. В процессе нагревания раствора происходит испарение растворителя. Это ведет к изменению концентрации растворителя и толщины слоя раствора

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

1.2.  МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА

 

Будем считать, что нагреваемая  поверхность является плоскостью.

Математически процесс испарения  из плоского слоя можно описать следующим  образом [1]:

                                                                                            (1)

                                                                                            (2)

                                                             (3)

 

Уравнение в частных производных  с постоянными коэффициентами (1) является уравнением теплопроводности. В поставленной задаче уравнение (1) описывает процесс изменения  температуры раствора.

Уравнение в частных производных (2) описывает процесс диффузии. При диффузионных процессах возможен обмен частицами между веществами, находящимися в различных агрегатных состояниях, т.е. возможны явления адсорбции и десорбции, растворение и кристаллизация, сушка и т.п. В поставленной задаче уравнение (2) задает изменение концентрации растворителя в растворе в результате его испарения из слоя смеси, что влечет за собой диффузионный процесс.

Уравнение (3) задает скорость смещения границы слоя смеси. Скорость перемещения  границы означает скорость изменения  толщины слоя, которое происходит в результате испарения растворителя и, следовательно, уменьшения его массы оставшейся в растворе. Данное уравнение выводится с помощью закона сохранения энергии следующим образом [1]: положение границы слоя устанавливается в соответствии с условием, что температура на ней равна температуре фазового превращения Т, которая предполагается заданной в функции координат и времени. Скорость перемещения W(P) граничной точки P в направлении нормали n к граничной поверхности подлежит определению в соответствии с условиями для внутренних границ фазовых превращений:

или для внешних границ:

.

Здесь , , – пределы функций λ, , , когда при неизменном времени τ точка (x, y, z, τ)<T; , , – пределы тех же функций, когда при неизменном времени τ точка (x, y, z, τ)>T; q – теплота фазового перехода, λ – коэффициент теплопроводности, ρ – плотность. Таким образом, уравнение (3) задает изменение толщины слоя смеси.

Т(x, t) – поле температуры смеси;

K(x, t) – поле концентрации растворителя;

t – переменная времени, x – пространственная переменная.

Начальные условия:

                                              (4)

Краевые условия:

                  (5)

где  – значения температуры и концентрации на границе слоя.

Температура равна температуре фазового перехода.

Для нахождения единственного  решения задачи (1) – (3) необходимо семь условий. Уравнения (4) – (5) дают только шесть из них. Для их определения в [3] предложено использовать следующее уравнение, определяющее диффузионный поток:

            (6)

 

Физические параметры  и их размерность, приняты в данной работе:

а – коэффициент температуропроводности, м²/с;

D_i – коэффициент диффузий, м²/с;

ρ – плотность, кг/м³;

l – удельная теплота парообразования, м²/c²;

q – поверхностная плотность теплового потока, кг/с³;

w – коэффициент теплопроводности, (кг∙м)/(К∙с³);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.3.  ПРИВЕДЕНИЕ ЗАДАЧИ К БЕЗРАЗМЕРНОМУ ВИДУ.

В математическое описание процессов конвективного теплообмена входит большое число размерных величин: независимые переменные (координаты и время), зависимые переменные (температура, скорость испарения, давление), а также параметры (физические свойства раствора). Это может привести к тому, что найденное решение потеряет физический смысл. Поэтому необходимо в математической модели учитывать реальные размерности констант. Для этого используется обезразмеривание величин. Этот метод позволяет создавать сугубо математические модели решения задачи, то есть все входящие величины являются лишь численными значениями физических констант, но сохраняют при этом физический смысл [4].

Проведем обезразмеривание для рассматриваемой модели. Обозначим  безразмерную величину знаком «*».

Выберем в качестве безразмерных величин

где – некоторое время, сопоставимое со временем проведения эксперимента.

Подставим безразмерные величины в исходную систему уравнений (1) –(3), получим:

.

Теперь видим, что в  качестве удобно взять .

С учетом этого произведем замену:

Получаем:

                                                                                       (7)

                                                                                       (8)

                                                                        (9)

 

Начальные условия:

                                       (10)

Граничные условия:

(11)

Уравнение, определяющее диффузионный поток имеет вид:

 

                     (12)

Разностное уравнение  для диффузионного потока имеет  вид:

                       (13)

Дальнейшее решение  будет проводиться для преобразованной таким образом задачи. Индекс «*» опускаем при последующих использованиях в тексте работы преобразованных уравнений, а также начальных и граничных условий.

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. РАЗРАБОТКА АЛГОРИТМА ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ

 

2.1. ПОСТРОЕНИЕ СИСТЕМЫ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Решение простейших задач  для уравнений с частными производными  в ряде случаев может быть проведено аналитическими методами. Это относится в основном к некоторым уравнениям первого порядка, а также к уравнениям второго порядка с постоянными коэффициентами. Однако в подавляющем  большинстве случаев, при решении научно-технических задач, получаемые уравнения не могут быть решены аналитически. Для их решения используют приближенные, в частности, численные методы. Реализация численных методов требует выполнения огромного количества элементарных операций, что под силу только современным компьютерам, обладающим большим объемом памяти и высокой скоростью вычислений.

Наиболее распространенными  и универсальными среди численных  методов являются разностные (сеточные) методы [5]. Как и в случае решения обыкновенных дифференциальных уравнений в их основе лежит идея дискретизации задачи и замене частных производных, которые входят в уравнения, их приближенными разностными отношениями. При этом исходное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, называемой разностной схемой. Решая эту систему можно найти в узлах сетки значения сеточной функции, которые приближенно считаются равными значениям искомой функции. Существенное достоинство метода сеток – повторяемость одинаковых математических операций при его использовании, что создает благоприятные условия для применения вычислительной техники.