Базисные коммутаторы

  Теорема 2.4. (Теорема о базисе.) Если F — свободная группа со свободными образующими y₁,…,y_n и если в некоторой последовательности базисных коммутаторов c₁,c₂, … , c_n— все базисные коммутаторы весов 1,2,…n то произвольный элемент f группы F однозначно представим в виде

 (11.2.19);

Базисные  коммутаторы веса n образуют базис свободной абелевой группы F_n/F_n+1. 

   Доказательство. Сначала докажем второе утверждение. Пусть c_s, … , c_t — базисные коммутаторы веса п. Согласно лемме 2.3, при отображении, определенном соответствиям

(2.20)

группы F на кольцо R, старшие члены коммутаторов c_s, … , c_t, будут соответствующими кольцевыми коммутаторами d_s,…,d_t являющимися кольцевыми базисными коммутаторами степени п. В силу следствия из теоремы 2.3 коммутаторы d_s,…,d_t линейно независимы, а по лемме 2.2 старший член произведения равен . Он не равен нулю, если только не все числа e_s…e_t  равны нулю. Следовательно,

коммутаторы c_s…c_t являются независимыми элементами фактор-группы F_n/F_n+1 и, следовательно, образуют базис, так как мы уже знаем из равенства (1.4), что любой элемент факторгруппы F_n/F_n+1 можно представить как произведение c_s…c_t. Существование по меньшей мере одного представления для элемента f в виде (2.19) установлено соотношением (1.4). Покажем единственность этого представления. Действительно, если бы имело место равенство

      (11.2.21)

где и если бы вес c_j. был равен k, то это привело бы к зависимости между базисными коммутаторами веса k по модулю F_k+1. Но этого не может быть, следовательно, представление (2.19) однозначно. Теорема доказана. 
Литература:

1.  
 

2.  

3.  
 

4.М.Холл - Теория  групп/ издательство иностранной  литуратуры/Москва,-1962