Базисные коммутаторы

  Теорема 2.2. (Теорема Витта.)

  (2.3)

Здесь — функция Мёбиуса, определенная на множестве натуральных чисел следующим образом: ; для , где — различные простые числа, , если хоть один показатель степени

   Доказательство. Согласно теореме 2.1, число базисных произведений равно rⁿ. Это приводит к следующему формальному тождеству для степенных рядов от переменной :

Процесс расстановки скобок оставляет веса неизменными. Число слов W от образующих равно, очевидно,

Отсюда вытекает формальное тождество  для рядов от переменных

(2.4)

Воспользуемся несколько видоизмененным результатом Мейера-Вундерли, доказав его аналогично теореме 2.1, и выведем из него формулу Витта.

  Слово будем называть циклическим, если считать, что a₁ следует за a_n, а — записи одного и того же слова. Циклическое слово С длины п может быть получено в результате повторения подслова из d букв n/d раз, где d — некоторый делитель п. Тогда мы будем говорить, что С — циклические слова периода d. Каждому циклическому слову соответствует единственный наименьший период, который в свою очередь однозначно определяет некоторое циклическое слово длины d.

  Лемма  2.1. Между базисными коммутаторами веса n и циклическими словами длины и периода n имеет место взаимно однозначное соответствие. Оно осуществляется подходящей расстановкой скобок в циклическом слове.

  Доказательство. Пусть — циклическое слово длины п. Циклические слова веса п образуют семейство если они вида — базисные коммутаторы, и для любого , если , то причем или (1) , или (2) . Если имеет место случай (1), то слово принадлежит, по определению, также семейству если же налицо случай (2), то мы берем каждую циклическую подпоследовательность (если таковые существуют) вида и расставляем скобки следующим образом:

Получается  вполне определенное циклическое слово  из семейства . Обратно, удалив из какого-либо слова семейства все скобки, заключающие c_k, получаем определенное слово из семейства . Таки образом, установлено существование однозначного соответствия между словами семейства и семейства для произвольного k. Если же k достаточно велико, то коммутатор c_k имеет вес, больший n, и случай (2) невозможен. Следовательно, в итоге процесс расстановки скобок прекращается и получается циклическое слово, для которого имеет место случай (1). Это слово будет или базисным коммутатором веса n, или последовательностью тождественных базисных коммутаторов веса d. Расстановка скобок, при помощи которой осуществляется переход от семейства к семейству , охватывает один коммутатор и некоторое число коммутаторов . Следовательно, каждая такая расстановка скобок осуществляется только внутри одного периода и в точности повторяется во всех остальных процессах. При всем этом число периодов в слове остается неизменным. Следовательно, расстановка скобок во всех циклических словах длины (и периода) n дает все базисные коммутаторы веса n а в случае d|п дает все базисные коммутаторы веса d, повторенные раз каждый, так как все они являются членами семейства при достаточно большом k. Приведенные рассуждения доказывают утверждение леммы и даже несколько больше.

  Сколько существует циклических слов длины и периода n? Циклическое слово длины п и периода d, где d | n, дает точно d обыкновенных(т.е. нециклических) слов длины n:

  

Таким образом, , так как число циклических слов длины и периода d равно и каждому из обыкновенных слов соответствует вполне определенный период d. Из тождества

 . (2.7)

можно найти Mr(d), пользуясь формулой обращения Мёбиуса:

если

      (2.8)

то

      (2.9)

Отсюда 

или

      (2.10)

т. е. получим  формулу Витта.

Число обыкновенных слов W таких, что где равно. 

Это приводит к формуле

(2.11) 

Здесь d пробегает все делители числа . Применяя формулу обращения Мёбиуса, мы получаем вторую формулу Витта:

  (2.12)

Рассмотрим  свободное ассоциативное кольцо R с целочисленными коэффициентами и с r образующими . Элементы степени m образуют свободную абелеву группу с базисом, состоящим из произведений вида . В этом кольце R мы следующим образом определяем коммутатор [u,v]:

[u,v]=uv-vu    (2.13),

Формальные  свойства расстановки скобок для  коммутаторов кольца те же, что и  для коммутаторов групп. Мы покажем, что в действительности существует очень тесная связь между групповыми и кольцевыми коммутаторами, которая впервые была установлена Магнусом.

  Теорема 2.3. Базисные произведения степени m образуют аддитивный базис группы .

  Следствие 2.1. Базисные коммутаторы степени т линейно независимы.

  Доказательство. Так как, согласно теореме 2.1, число базисных произведений степени т равно т. е. числу базисных элементов группы , то достаточно показать, что любой элемент из может быть представлен как линейная комбинация базисных произведений с целыми коэффициентами. Так как семейство образует базис, состоящий из произведений , и так как для достаточно большого k семейство состоит из базисных произведений, то достаточно выразить элементы из в виде линейных комбинаций с целыми коэффициентами элементов из . Для этого нам понадобится одно тождество. Для упрощения записи введем обозначения:

если  число букв ν равно s.

   Необходимое нам тождество выглядит так:

        (11.2.14)

При s=1 оно сводится к uv = vu+[u,v]. Предположив выполнимость (2.14) для s, при помощи тождества

(2.15)

легко показать справедливость равенства (2.14) для s+1. Для этого нужно умножить (2.14) справа на v, применить соотношение (2.15) и собрать подобные члены.

  Если  элемент из содержит подпоследовательность вида , где коммутатор и больше коммутатора , который встречается здесь s раз, то мы применяем тождество (2.14), полагая u=u, v=. При этом получаются произведения или принадлежащие семейству или семейству с меньшим числом коммутаторов , или содержащие коммутаторы ближе к началу слова. В результате многократного применения тождества (2.14) произведение из представится в виде линейной комбинации с целыми коэффициентами элементов из Теорема доказана.

   Присоединим теперь к кольцу R единицу 1 и будем рассматривать целые рациональные числа как элементы степени нуль. Их совокупность обозначим через R₀. Образуем в R факторкольцо по двустороннему идеалу, порожденному всеми членами, степени которых не меньше п+1. Тогда

         (2.16)

В элементы вида образуют группу G, так как в силу равенства имеем

   (2.17)

Если  для j=m,….n, то мы говорим, что — старший член элемента . Старший член 1 равен 0.

  Лемма 11.2.2. Пусть — элементы группы G со старшими членами и степеней s и t соответственно. Старшими членами элементов и являются элементы —u_s и —v_t. Если s<t, то старший член элемента uv есть u_s. Если t<s, то старший член uv равен v_t. Если t=s и то старший член произведения равен . Если кольцевой коммутатор [u_s, v_t] не равен нулю, то он является старшим членом группового коммутатора (и, v ).

  Доказательство.

    Пусть . Тогда

Из этих соотношений сразу получаются утверждения  леммы о старших членах элементов u^-1,v^-1 и uv. Используя эти же соотношения, получаем

откуда (u,v)=1+[u_s v_t]+слагаемые более высокой степени. (2.18)

Лемма доказана!

  Пусть с₁,с₂, ... — последовательность базисных коммутаторов свободной группы F, порожденной элементами у₁, .. ., у_r и пусть d₁,d₂ ...—кольцевые коммутаторы в кольце R, получающиеся заменой у₁…y_r на х₁ ... х_r . Кроме того, пусть с_t — последний коммутатор веса п. Тогда существует соответствие между коммутаторами с_i и d_i в кольце , устанавливаемое следующей леммой.

Лемма 2.3. При соответствии определяющем отображение группы F на группу G, пусть . Тогда старший член элемента равен d_i(i=1,…,t).

Доказательство Так как то старший член элемента . Доказательство проведем методом полной индукции. Если , то, по предположению индукции, старший член элемента g_u равен d_u а элемента g_v равен d_v . Следовательно, по лемме 2.2 старший член коммутатора равен [d_u,d_v], если последний коммутатор не равен нулю. Будучй базисным коммутатором, он на самом деле не равен нулю, как; это показывает следствие из теоремы 2.3. Итак, старший член коммутатора равен , что и требовалось доказать.