Неравенства с одной переменной и способы их решения

ОТВЕТ. x Є (– 3, 3)

ПРИМЕР. Решите неравенство .

Выражения под знаком модуля обращаются в ноль при х1 = 2, х2 = 2 и х3 = . Для определения знаков подмодульных выражений решим неравенства 5 – х ≥ 0 х ≤ 5;

x – 2 ≥ 0 x ≥ 2; 7 – 2x ≥ 0 x ≤ .

 

Составим схему

             

                     

                    I               II            III

 + +     +             –

 

                 –  +   +             + 

                   +                 +              –             –

 

 

 

 

   ////////////////º                 º\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

                          2               3,5            5

Решим неравенство, раскрывая модуль на каждом из полученных интервалов.

 

I. ;  II. ;

 

 

III. . Неравенству удовлетворяют значения 3,5< x ≤ 5;

 

IV. Неравенству удовлетворяют значения х > 5.

 

ОТВЕТ. х Є (– ∞;2) (3,5; + ∞)

 

 

2. Неравенство вида  равносильно системе

ПРИМЕР. Решите неравенство

Из уравнения 5х + 6 = 0 находим критическую точку х = . Разобьем числовую ось на промежутки и . На первом из них =  – 5х – 6 и неравенство становится равносильным неравенству х² +  5х + 6 = (х + 3)(х + 2) > 0 для х Є

 

(– ∞, – 3) .

На втором интервале  = 5х + 6, х² – 5х – 6 = (х + 1)(х – 6) > 0 для х Є (– ∞, – 1) (6, + ∞). Объединяя эти решения, получим решение данного неравенства в виде

 

3. Неравенство вида равносильно совокупности неравенств .

 

ПРИМЕР. Решите неравенство 3 + х² > 7.

Данное неравенство можно переписать в виде 3 > 7 – x² и, следовательно, оно равносильно совокупности неравенств и

и х² – 3х – 4 > 0. Поскольку х² + 3х – 10 = (х – 5)(х – 2), х² – 3х – 4 = (х + 1)(х – 4), то множество решений неравенств совокупности, а следовательно, и исходного неравенства, есть х Є    

 

4. Неравенство вида  решается при помощи разбиения ОДЗ на промежутки, каждый из которых является промежутком знакопостоянства как функции , так и функции g(x), на которых решается неравенство без знака модуля. Объединение найденных решений дает множество всех решений исходного неравенства указанного вида целесообразно решать, перейдя к равносильному неравенству .

Например, неравенство  равносильно неравенству (х – 1)² > x² т.е.

ПРИМЕР. Решите неравенство

Точки х = 1 и х = 2 делят числовую ось (ОДЗ неравенства) на три промежутка: х < 1,           1 ≤x ≤2, x > 2. Решим данное неравенство на каждом из этих промежутков.

Если х < 1, то х – 1 < 0 и 2 – х ≥ 0. Неравенство принимает вид 1 – х + 2 – х > 3 + х, то есть х < 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства являются все отрицательные числа. Если 1 ≤ х ≤ 2, то х – 1 ≥ 0 и 2 – х ≥ 0. Имеем

 

Полученная система неравенств решений не имеет. Следовательно, на отрезке [1, 2] исходное неравенство решений  не имеет.

Если  х > 2, то х – 1 > 0 и 2 – х < 0. Имеем

.

Объединяя найденные решения на всех частях ОДЗ, получаем решение неравенства в виде .

Показательные неравенства

 

Решение простейших показательных  неравенств основано на свойствах монотонности степени:

 

 

Простейшие показательные неравенства решаются методом приведения обеих частей неравенства к одному основанию.

Пример. Решите неравенство

Приводя обе части неравенства  к одному основанию, получаем  , так как 0 < 0,04 < 1                          5х – х² – 8 > – 2 (2, 3).

 

Равносильные преобразования показательных неравенств

 

В области допустимых значений функции  , h(x) и g(x) справедливо:

 

1)  2)

 

 

 

3)                          4)

Логарифмические неравенства

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма, называются логарифмическими.

Решение простейших логарифмических неравенств основано на свойстве монотонности логарифмической функции. Существует два метода решения логарифмических неравенств 1)метод перехода к решению равносильных совокупностей неравенств; 2)метод разбиения ОДЗ данного неравенства на промежутки, на которых решаются соответствующие равносильные неравенства.

При решении логарифмических неравенств следует избегать преобразований, которые  могут привести к потере решений  или появлению посторонних корней. Тем самым предпочтительным оказывается первый из указанных методов.

ПРИМЕР. Решите неравенство log (2 + x) < 1

Данное неравенство равносильно  неравенству log (2 + x) < log х², которое равносильно

совокупности двух систем:

 

Применение неравенств.

 

Неравенства и системы неравенств широко используются как в теоретических  исследованиях, так и при решении  важных практических задач.

Неравенства применяют при исследовании элементарных функций и решении задач на максимум и минимум (преимущественно геометрического и физического смысла). Часто то или иное неравенство служит важным вспомогательным средством, основной леммой, позволяющей доказать или опровергнуть существование каких то объектов (скажем, решений уравнения), оценить их количество, провести квалификацию – это является геометрическим смыслом. Во многих разделах математики, особенно в математическом анализе, неравенства встречаются значительно чаще чем равенства. Скажем решение каких то практически важных уравнений лишь по счастливой случайности удается найти точно – в виде числа или формулы, а для приближенного решения всегда требуется указать оценку погрешности т.е. доказать некоторые неравенства. С помощью неравенства задаются основные числовые множества, формулируются определения предела непрерывной монотонной функции, последовательности целого ряда других важных понятий. Неравенства – это не только вспомогательный инструмент. В каждой области математики – алгебре теории чисел, в геометрии и топологии в теории вероятности и теории функций, математической физике и теории дифференциальных уравнений, теории информации и дискретной математики – можно указать результаты, формулируемые в виде неравенств. Как опытному шахматисту помогает знание основных дебютов, так и математику полезно знать некоторые часто встречающиеся классические тождественные неравенства.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список используемой литературы

 

1. Энциклопедический словарь юного математика 1985г.

 

2. Алгебра и начало анализа: Учебник для 10 – 11 классов средней школы/ Колмогоров А.Н, Абрамов А.М. 1992г.

 

3. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начала анализа 1990г.

 

4. Уравнения и неравенства/ Вавилов  В.В., Мельников И.И. 1987г

 

5. Учебное пособие для учащихся старших классов и абитуриентов вузов Рыбалко А.Ф., Рыбалко Н.М. 2000г.