Автор: Пользователь скрыл имя, 20 Октября 2014 в 13:37, реферат
При проведении любых рассуждений, в т.ч. математических, мы придерживаемся определенных логических правил, хотя иногда и не задумываемся об их существовании.
Логика как наука сформировалась в трудах Аристотеля. Он сформулировал три закона логики:
1) А является А – закон тождественности. Некоторая вещь всегда равна самой себе, суждение означает само себя.
2) А не является не А – закон противоречия. Вещь не может одновременно обладать и не обладать некоторым свойством; никакое суждение не является одновременно истинным и ложным.
3) Имеет место либо А, либо не А – закон исключенного третьего. Вещь либо обладает, либо не обладает некоторым свойством, любое суждение либо истинно, либо ложно.
Алгебра логики занимается законами построения правильных, истинных рассуждений. На основе этих законов можно определить, является ли предложение истинным или ложным.
СДНФ:
СКНФ:
5. Рассмотрим высказывательные форму «Река впадает в Черное море». Она содержит одну переменную и может быть представлена в виде «Река х впадает в Черное море».
В зависимости от значений переменной Х предложение является либо истинным, либо ложным, т.е. задается отображение множества рек на двух элементное множество . Обозначим это отображение , тогда:
Таким образом, имеем функцию, все значения которой принадлежат множеству .
Предикаты:
3.1 Определение: Функция, все значения которой принадлежат множеству , называется предикатом.
Буквы , обозначающие предикаты, называют предикатными символами.
Предикаты могут задаваться:
Пример:
. Эта формула означает, что «Река а впадает в Черное море».
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
Областью определения предикатов может быть любое множество.
Если предикат при каком-либо наборе входящих переменных теряет смысл, то принято считать, что этому набору соответствует значение Л.
Если предикат содержит одну переменную, то его называют одноместным, две переменные - двуместным, n переменных - n-местным предикатом.
Для перевода текстов на язык предикатов и определения их истинности необходимо ввести логические операции над предикаторами и кванторы.
Над предикатами выполняются так же операции: отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции.
3.1 Определение: Подмножество множества М, на котором задан предикат Р, состоящий из тех и только тех элементов М, которым соответствует значение И предиката Р, называется множеством истинности предиката Р.
Множество истинности обозначается .
3.2 Определение: Отрицанием предиката Р называется предикат, ложный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в истинный, и истинный при тех наборах значений переменных, которые обращают Р в ложный предикат.
Обозначается отрицание .
Пример:
- быть студентом АБиК.
- не быть студентом АБиК.
Если , то множество , где М - множество, на котором заданы предикаты Р и Q .
3.3 Определение: конъюнкцией предикатов и называется предикат истинный при тех и только тех значениях переменных, входящих в него, которые обращают оба предиката и в истинные.
Пример:
- быть футболистом
- быть студентом
: быть футболистом и быть студентом.
3.4 Определение: дизъюнкцией предикатов и называется предикат ложный при тех наборах входящих в него переменных, которые обращают оба предиката в ложные
Пример:
- быть четным натуральным числом
- быть нечетным натуральным числом
: быть натуральным числом.
3.5 Определение: Импликацией предикатов называется предикат, ложный при тех и только тех наборах входящих в него переменных, которые обращают в истинный предикат, а - в ложный.
Обозначается:
Пример:
- быть простым числом на множестве N
- быть нечетным числом
- ложен при и истинным при других натуральных числах.
3.6 Определение: Эквиваленцией предикатов и называется предикат, который становится истинным, если оба предиката и истинны, или оба ложны.
Обозначается:
Пример:
- «выигрывать», т.е. х выигрывает у
- лучше знать шахматную историю, х знает лучше у
обозначает, что х выигрывает у у в шахматы тогда и только тогда, когда он лучше знает теорию.
3.7 Определение: Предикат следует из предиката если импликация истинна при любых входящих в нее значениях переменных. Обозначаются следования: .
- быть студентом
- ходить в институт
Для превращения предиката в высказывание существуют 2 пути:
; х - студент
Иванов
Иванов - студент.
$ - существует, имеется.
Запись " , где обладает свойством Р означает, что всякий предмет х обладает свойством Р.
Или по другому, «все х обладают свойством Р».
Запись $ означает, что существует предмет х, обладающий свойством Р.
\
Литература
Информация о работе Высказывания и логические операции над ними