Операции с понятиями (определение: явное и неявное)

Каждая классификация относительна, приблизительна, она в огрубленной форме раскрывает связи между классифицируемыми предметами. Существуют переходные формы, которые трудно отнести к той или иной определенной группе.

Обобщение и ограничение.

Обобщить понятие — значит перейти от понятия с меньшим объемом, но с большим содержанием к понятию с большим объемом, но с меньшим содержанием. Например, обобщая понятие «Министерство юстиции Российской Федерации», мы переходим к понятию «министерство юстиции». Продолжая операцию обобщения, можно последовательно образовывать понятия «министерство», «орган государственного управления». Каждое последующее понятие является родом по отношению к предыдущему.

Пределом обобщения являются категории. Категории в философии — это предельно общие, фундаментальные понятия, отражающие наиболее существенные, закономерные связи и отношения реальной действительности и познания. К ним относятся категории: материя и движение, пространство и время, сознание, отражение, истина, тождество и противоречие, содержание и форма, количество и качество, необходимость и случайность, причина и следствие и др.

Ограничить понятие — значит перейти от понятия с большим объемом, но с меньшим содержанием к понятию с меньшим объемом, но большим содержанием. Чтобы, например, ограничить понятие «юрист», мы переходим к понятию «следователь», которое в свою очередь можем ограничить, образовав понятие «следователь прокуратуры». Пределом ограничения понятия является единичное понятие (например, «следователь прокуратуры Иванов»).

В процессе обобщения и ограничения понятий следует отличать переходы от рода к виду, от отношений целого к части (и наоборот).   Так,   например,   неправильно   обобщать   понятие «центр города» до понятия «город» или ограничивать понятие «завод» до понятия «цех», так как в обоих случаях речь идет не об отношении рода и вида, а об отношении части и целого.

Операции с классами. Операции с классами — это такие логические действия, которые приводят нас к образованию нового класса.

Существуют следующие операции с классами: объединение, пересечение, вычитание, дополнение.

Объединение (или сумма) двух классов — это класс тех элементов. которые принадлежат хотя бы к одному из этих двух классов. Объединение обозначается: А + В или А U B. Объединение класса четных чисел с классом нечетных чисел дает класс целых чисел.

При выражении операции объединения классов пользуются, обычно союзом «или» в исключающем смысле. Например, говоря, что некто — член волейбольной или гимнастической секции, мы не исключаем того, что этот человек может быть одновременно членом обеих секций.

В языке существует и такое употребление союза «или», при котором этот союз понимается в строго разделительном смысле, например: «Данный глагол первого или второго спряжения» Соответствующая операция над классами называется симметрической разностью.

При объединении могут встретиться следующие 6 случаев (рис. 1 —6).

  

 

     Тождество                          Подчинение                    Пересечение                                         

                                                                 

  А + В = А = В                           А + В = А                      А + В

          Рис. 1                                    Рис. 2                          Рис. 3

 

 

 

           Соподчинение                    Противоположность              Противоречие 

                                   

                      

                  А + В                                  А + В                               А +В

                  Рис. 4                                  Рис. 5                               Рис. 6

 

Общей частью или пересечением двух классов называется класс тех элементов, которые содержаться в обоих данных множествах, т.е. это множество (класс) элементов, общих обоим множествам.

Пересечение обозначается А * В или А∩В; ø — пустое множество. При пересечении могут встретиться следующие 6 случаев (см. рис. 7 – 12, где результат пересечения заштрихован).

 

    Тождество                   Подчинение                              Пересечение

                                      

                                        

 

   А * В = А =В                       А * В = В                                       А * В

         Рис. 7                                 Рис. 8                                         Рис. 9

 

           Соподчинение                          Противоположность            Противоречи                                                         

                          

                А *В = ø                                           А *В = ø                             А *В = ø

                 Рис. 10                                        Рис. 11                               Рис. 12

 

Основные законы логики классов. Законы операций объединения и пересечения.

Законы идемпотентности.

А + А = А

А * А = А

В школьном курсе алгебры таких законов нет. В логике первый из этих законов означает следующее. Если мы к классу «дом» прибавим класс «дом», то получим класс «дом», т. е. домов не станет в два раза больше и объем понятия «дом» останется прежним.

Законы коммутативности. Эти законы существуют в алгебре, арифметике, теории множеств и логике классов.

А + В =В + А

А * В = В * А

Если мы к классу «растение» прибавим класс «животное», то получим класс «организм»; тот же самый класс получим, если мы к классу «животное» прибавим класс «растение».

Законы ассоциативности. Они существуют в арифметике, алгебре, теории множеств и логике классов.

(А + В) + С = А + (В + С)

  (А * В) * С = А * (В * С)

Законы дистрибутивности.

(А + В) * С = (А* С) + (В * С)

(А * В) + С = (А + С) * (В + С)

Законы поглощения. Этих законов нет в арифметике и в школьном курсе алгебры.

А + (А * В) = А

А * (А + В) = А

Доказательство этих законов осуществляется графическим методом (Рис. 13, 14).

                               

                       

                 Рис. 13                                                        Рис. 14

Промежуточный результат изображен горизонтальной штриховкой. В первом законе поглощения он равен A*В, а во втором — равен А+В, Ко-нечный результат изображен вертикальной штриховкой: он равен классу А.

Вычитание классов. Рассмотрим два множества (класса) А и В, из которых В может и не быть частью А. Разностью множеств (классов) А и В называется множество тех элементов класса А, которые не являются эле-ментами класса В. Разность обозначается А – В.

Могут встретиться следующие пять случаев (если класс А и В не пусты и не универсальны).

1-й случай (рис. 15). Класс А включает  в себя класс В. Тогда разностью  А — В будет заштрихованная  часть А, т. е. множество тех элементов, которые не суть В. Например, если  мы из множества звуков русского  языка (А) вычтем множество гласных  звуке (В), то получим множество  согласных звуков, изображенное  чертеже в виде заштрихованного  кольца.

                                          

                                    

                    Рис. 15                                                           Рис. 16

2-й случай (рис. 16). Разностью двух  перекрещивающихся классов будет  заштрихованная часть А. Например, разность множеств «рабочий» (А) и «рационализатор» (В) даст множество  рабочих, которые не являются  рационализаторами.

3-й Случай (рис. 17). Если класс  А полностью включен в класс  В и класс В полностью включен  в класс А, то эти классы (множества) равны (тождественны). Тогда разность  А — В даст пустой, или нулевой, класс, т. е. класс, в котором нет  ни одного элемента. Например, если  мы из класса «сосна» вычтем  класс «сосна», то разность А—В  будет равна пустому классу.

                                  

                              

              А – В = ø                                                    А – В = А

                Рис. 17                                                        Рис. 18

4-й случай (рис. 18). Класс А и  класс В не имеют общих элементов. Тогда разность А — В=А, так  как всякий элемент класса  А не является элементом класса  В. Например, разность класса «стол» (А) и класса «стул» (В) равна классу  «стол» (А).

В результате «вычитания» классов, соответствующих понятиям, находящимся в отношении противоположности [«низкий дом» (А), «высокий дом» (В)] или противоречия [«одушевленный предмет» (А), «неодушевленный предмет» (В)], разность А — В также равна А (рис. 19, 20).

                           

                              

             А – В = А                            А – В = А                           А – В = ø

            Рис. 19                                Рис. 20                               Рис. 21

 

5-й случай (рис. 21). Если объем  класса А меньше объема класса  В, то в результате вычитания  получим пустой класс, так как  нет элементов класса А, которые  не являлись бы элементами  класса В. Например, разность класса  «личное местоимение» (А) и «местоимение» (В) дает пустой класс.

Для операции вычитания классов справедливы следующие законы:

1. А – В ≤ А

2. А ≤ В ↔ А – В = ø

3. А = (А *В) + (А – В)

4. В * (А – В) = ø

5. В ≤ В – (А – В)

В интерпретации логических алгебр посредством классов запись А ≤ В обозначает включение класса А в класс В; А↔В обозначает эквивалентность классов (А тогда и только тогда, когда В).

 

Дополнением к классу А называется класс А', который, будучи сложенным с А, дает рассматриваемую область предметов (эту область обозначим 1), а в пересечении с классом А дает ø, т. е. Для которого А + А' = 1 и А' * А = ø. Откуда А' = 1 – А, поэтому операцию дополнения к классу А можно рассматривать как частный случай операции «вычитания» (из универсального класса). Если от класса целых чисел (1) отнять класс четных чисел (А), то мы получим класс нечетных чисел (т. е. А', поскольку всякое целое число четное или нечетное и нет таких четных чисел, которые были бы нечетными). Графически это можно изобразить так, что заштрихованная часть будет обозначать дополнение к  А т. е. А' (рис. 22).

                                               

   Рис. 22

 

Для операции дополнения кроме указанных выше установлены и следующие законы: 1’ =; (ø)' = 1; (А')'=А.

 

Технические средства

 

Мультимедийный проектор для демонстрации лекционного материала в форме презентации

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованной литературы

 

1. Ивлев, Ю.В. Логика: учеб. для студентов высш. учеб. заведений / Ю.В. Ивлев; МГУ. – 4-е изд., перераб. и доп. – М.: Проспект, 2009. – 296 с.: ил. Гриф МО РФ.

2. Светлов, В.А. Логика: учеб. пособие для студентов вузов и послевуз. системы образования / В.А. Светлов. – СПб.: Питер, 2011. – 318 с.: ил. – (Учебное пособие). Гриф УМО.

 

 Дополнительная литература

 

3. Гетманова, А.Д. Логика: учеб. для студентов вузов / А.Д. Гетманова. – 12-е изд., стер. – М.: Омега–Л, 2007. – 415 с. – (Университет. учеб.). Гриф УМО.

4. Ивин, А.А. Логика [Электронный ресурс]: учеб. для гуманитарных фак. / А.А. Ивин. – М.: ФАИР-пресс, 2002.

5. Демидов, И.В. Логика: учеб. / И.В. Демидов; под ред. Б.Н. Каверина. – 2-е изд. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2006. – 347 с.

6. Мануйлов, В.Т. Логика: учеб.-метод. пособие / В.Т. Мануйлов, В.В. Мороз; Курск. гос. ун-т. – 3-е изд. перераб. и доп. – Курск: Изд-во КГУ. Ч.1. – 2009. – 127  с. Ч.2. – 2009. – 127 с.

7. Равицкий, А.Д. Логика: учебно-метод. пособие / А.Д. Равицкий; РОСИ. – Курск: РОСИ, 2004. – 171 с.

8. Светлов, В.А. Современная логика: учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений / В.А. Светлов. – СПб.: Питер, 2006. – 399 с.: ил. – (Учеб. пособие).

9. Учебно-методический комплекс по дисциплине «Логика» (для очных отделений многопрофильных медицинских университетов) [Электронный ресурс] / Сост. О.Е. Бочаров; ГОУ ВПО «Курск. гос. мед. ун-т», каф. философии. – Курск, 2008. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM).