Логические функции и логические элементы

Нетрудно показать, что базисами являются также и другие наборы:

НЕ, И;  НЕ, ИЛИ;  И-НЕ  и  ИЛИ-НЕ.

Для построения логической схемы, реализующей функцию, заданную таблицей истинности, обычно удобнее аналитическая форма представления функции. В данном случае - это выражение (1.1). Схема, реализующая (1.1), показана на рис. 1.6. Она состоит из трех ярусов. В первом ярусе расположены инверторы. Очевидно, что максимальное число инверторов не превышает числа аргументов. Во втором ярусе расположены элементы И, реализующие входящие в формулу элементарные конъюнкции. Число входов каждого элемента равно числу аргументов реализуемой функции, а число элементов- числу элементарных конъюнкций в формуле. В третьем ярусе схемы стоит элемент ИЛИ, число входов которого равно числу дизъюнкций в формуле.

 

Рис.1.6.  Логическая схема, реализующая (1.1).

6. Минимизация функций

 

Запись функции в СДНФ не единственно возможная и, как правило, не самая короткая. Чем меньше элементов содержит аналитическое выражение, тем проще логическая схема.

Выражение (1.1) можно упростить, если добавить в него дважды abc (закон тавтологии), сгруппировать попарно  слагаемые (сочетательный закон) и исключить (закон склеивания) переменные, которые в группе меняют свои значения.

abc abc= (abc a c) (abc bc) (abc ab ) =

 = ac(b ) bc(a ) ac(c ) = ac bc ac  (1.2)

 

Рис. 1.7. Схема, реализующая (1.2).

1. в булевском базисе;   б) в базисе И-НЕ.

 

В инженерной практике для минимизации  наиболее часто применяют карты  Карнау (Карно).

Карты Карно – это графическое  представление таблиц истинности логических функций. Структура карт для функций двух, трех и четырех переменных показана ниже.

Таблица истинности (а) и структура  карты Карно (б) для функции двух переменных.

x1	x2	f(x1,x2)
0	0	f(0,0)
0	1	f(0,1)
1	0	f(1,0)
1	1	f(1,1)

	x2	0	1
x1
0		f(0,0)	f(0,1)
1		f(1,0)	f(1,1)

 

 

Таблица истинности (а) и cтруктура карты Карно (б) для функции трех переменных.

x1	x2	x3	f(x1,x2,x3)
0	0	0	f(0,0,0)
0	0	1	f(0,0,1)
0	1	0	f(0,1,0)
0	1	1	f(0,1,1)
1	0	0	f(1,0,0)
1	0	1	f(1,0,1)
1	1	0	f(1,1,0)
1	1	1	f(1,1,1)

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

	x2,x3	00	01	11	10
x1
0		f(0,0,0)	f(0,0,1)	f(0,1,1)	f(0,1,0)
1		f(1,0,0)	f(1,0,1)	f(1,1,1)	f(1,1,0)

 

 

 

 

 

 

Сократить работу по минимизации иногда можно за счет работы не с самой заданной функцией, а с ее инверсией. Если число единиц в таблице истинности превышает половину числа комбинаций аргументов, то СДНФ для инверсии функции будет содержать меньше конъюнкций, чем СДНФ прямой функции. При аппаратной реализации к выходу схемы, обрабатывающей инверсию заданной функции, нужно подключить инвертор.

Пример.

Построить схему, реализующую функцию, заданную таблицей:

 

a	b	c	Y		a	B	c	y
0	0	0	1	0	1	0	0	1	0
0	0	1	1	0	1	0	1	0	1
0	1	0	1	0	1	1	0	1	0
0	1	1	1	0	1	1	1	0	1

 

СДНФ требуемой функции: 

Для СДНФ будет значительно проще:  .

Последнее выражение более обозримо и легко минимизируется:

  = ac, откуда .

Для реализации необходим один двухвходовой элемент 2И–НЕ.

Рассмотрим  особенности  минимизации  недоопределенных  функций.

Недоопределенной называют функцию, значения которой при некоторых  комбинациях не определены или, как  говорят, безразличны. Например, при  двоично-десятичном кодировании десятичные цифры представляются четырьмя двоичными разрядами. Из 16  возможных  кодовых комбинаций используются лишь 10, остальные запрещены и никогда появиться не могут.

В таблице истинности не определенные значения функции отмечают прочерками.

Пример.

Построить схему, реализующую функцию Y, не определенную на наборах 000 и 111 и заданную таблицей.

Y	bc	00		01		11		10
	a
0			–		1		1		0
1			0		1		–		1

 

При двух прочерках возможны четыре способа доопределения. Каждый из них  дает работоспособную схему, но по аппаратурным затратам они будут разными. Самая простая схема получится, если доопределить функцию так, как показано на рис. 1.8,а.

 В этом случае схема строится  на двух ЛЭ: 2И и 2ИЛИ. (рис. 1.9.б)

 

Рис. 1.9.  Реализация недоопределенной функции.

 

2. Интегральные  логические элементы.

Современные логические элементы (ЛЭ) реализуются исключительно в виде интегральных микросхем. Наибольшее распространение получили микросхемы транзисторно-транзисторной логики (ТТЛ) и схемы на МОП (металл-окисел- полупроводник) – структурах.

7.  Характеристики ЛЭ.

 

ЛЭ характеризуются быстродействием, нагрузочной способностью (коэффициентом разветвления по выходу), коэффициентом объединения по входу (числом входов ЛЭ), помехоустойчивостью, потребляемой мощностью, напряжением питания и уровнем сигналов.

Быстродействие – один из важнейших параметров, характеризуюемый средним временем задержки распространения сигнала

(рис. 2.1.)

Для современных ЛЭ задержка распространения  составляет обычно единицы наносекунд.

 

Рис. 2.1. Задержка переключения.

 

Нагрузочная способность показывает, на сколько логических входов может быть одновременно нагружен выход данного ЛЭ без нарушения его работоспособности. Для большинства ЛЭ нагрузочная способность обычно не превышает 10 входов. Для специальных буферных ЛЭ она может достигать 30-40.

Коэффициент объединения  по входу определяет максимальное возможное число входов ЛЭ. Увеличение числа входов расширяет логические возможности схемы, однако при этом ухудшаются быстродействие и помехоустойчивость. У известных ЛЭ максимальное число входов – 8.

Помехоустойчивость характеризует способность ЛЭ правильно функционировать при наличии помех и определяется максимально допустимым напряжением  помехи.

Потребляемая мощность P_ср=0,5(P₀ + P₁), где P₀ и P₁ – соответственно потребляемые мощности при состоянии выхода «0» и «1». При этом считается, что в сложном устройстве половина ЛЭ находится в состоянии «0», а половина – в «1». Однако P_ср зависит от частоты переключений. Поэтому необходимо учитывать P_ср при максимально допустимой частоте следования переключения импульсов.

ЛЭ характеризуются еще значением напряжения питания и уровнем логических сигналов, соответствующих «0» и «1».

8. Серии ЛЭ.

 

 Серией микросхем называют  группу микросхем, выполненных  по одинаковой или близкой технологии, имеющих сходные технические характеристики и предназначенные для совместной работы в составе цифровой аппаратуры.

 Условное  обозначение логической микросхемы  состоит из следующих элементов  : 1) буквы, в большой степени  характеризующие стойкость микросхемы к воздействию окружающей среды и связанный с этим тип корпуса (отсутствие буквы рассматривается как своего рода «нулевая буква»); 2) трёх или четырёх цифр, обозначающих номер серии; 3) двух букв, характеризующих выполняемую функцию; 4) одной или двух цифр, обозначающих тип микросхемы внутри функциональной группы; 5) буквы, характеризующие возможные вариации значений некоторых параметров. Чаще всего этой буквы не бывает.

Пример : К555ЛА2 - микросхема серии К555, выполняющая  функцию И-НЕ, второго типа  (в серии К555 этот тип имеет 8 входов).

Микросхемы  заключены в стандартные корпуса, в основном с двумя типами выводов :

1. перпендикулярными плоскости корпуса, с шагом 2,5 мм, которые вставляются в отверстия монтажной платы и распаиваются на стороне платы, противоположной корпусу. Такие корпуса называют корпусами типа DIP (Dual In line Package - корпус с двумя рядами выводов). В корпуса DIP чаще всего заключаются микросхемы широкого применения, имеющие перед номером серии буквы К, КМ или КР ;
2. плоскими (планарными), которые накладываются на плату и распаиваются на той же её стороне, где находится и сам корпус; шаг выводов 1,25 мм. В таких корпусах обычно выпускаются серии специального применения без буквы перед номером.

Габариты микросхемы определяет не кристалл кремния, а выводы из корпуса. Поэтому если элементы простые, то в корпусе размещают несколько одинаковых элементов.

Простые ЛЭ обычно размещают  в корпусах DIP14 с 14 выводами, из которых один вывод - это питание и один вывод - общий провод всех логических входов, выходов и питания, кратко называемый общий или, менее строго - земля. Оставшиеся 12 выводов - логические.

Примеры состава корпусов : 6 х НЕ - шесть инверторов (Заняты все 12 выводов); 4 х 2И- четыре двухвходовых элемента И (заняты все выводы); 2 х 4И-НЕ - два четырёхвходовых элемента И-НЕ (не использованы два вывода). Более сложные логические узлы размещают в корпусах с 16, 24 и большим числом выводов.

В настоящее время наиболее распространены две технологии изготовления ЛЭ : ТТЛ  и КМОП.

Для технологии ТТЛ (транзисторно-транзисторной  логики) самыми удобными  для  изготовления  являются  элементы  И-НЕ.

Элементы ТТЛ, а тем более  их модификация с диодами Шоттки - ТТЛШ, имеют хорошее быстродействие, удовлетворительные электрические  и эксплуатационные характеристики. Большинство микропроцессорных больших интегральных схем (БИС) и БИС памяти согласованы по питанию и уровням сигналов с элементами ТТЛ. Серии ТТЛ и ТТЛШ - наиболее распространённые и популярные у разработчиков цифровых устройств.

Комплементарные (взаимно дополняющие) МОП (метал-окисел-полупроводник) - структуры, построенные на основе МОП-транзисторов с различным типом проводимости. Элементы КМОП исключительно экономны по потребляемой мощности, что является их основным достоинством. Они способны работать в широком диапазоне напряжений питания (3-15 В), имеют высокую помехоустойчивость. Недостатком их является пока ещё меньшее, чем у ТТЛ быстродействие. КМОП микросхемы нуждаются в более бережном обращении, чем другие микросхемы, т.к. из-за очень высокого входного сопротивления для них опасно статическое электричество.