Интуиционистская логика

Интуиционистская логика — одна из наиболее важных ветвей неклассической логики, имеющая своей филос. предпосылкой программу интуиционизма. Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 голландский математик и логик А. Рейтинг — ученик создателя интуиционизма Л.Э.Я. Брауэра — дал аксиоматическую формулировку И.л., подчеркнув, что «интуиционизм развивается независимо от формализации, которая может идти только по следам математической конструкции». В И.л. не действует закон исключенного третьего, а также ряд др. законов классической логики, позволяющих доказывать существование объектов, которые невозможно реализовать или вычислить. В числе таких законов — закон (снятия) двойного отрицания и закон приведения к абсурду.

Отбрасывание закона исключенного третьего не означает принятия отрицания этого закона; напротив, И.л. утверждает, что отрицание отрицания этого закона (его двойное отрицание) является верным. Отбрасывание не должно пониматься так же, как введение какого-то третьего истинностного значения, промежуточного между истиной и ложью.

В классической логике центральную роль играет понятие истины. На его основе определяются логические связки, позволяющие строить сложные высказывания. В И.л. смысл связок задается путем указания тех необходимых и достаточных условий, при которых может утверждаться сложное высказывание.

Если р и q — некоторые высказывания, то их конъюнкцию (р и q) можно утверждать, только если можно утверждать как p, так и q. Дизъюнкцию (р или q) можно утверждать тогда и только тогда, когда можно утверждать хотя бы одно из высказываний р и q. Математическое высказывание р можно утверждать только после проведения некоторого математического построения с определенными свойствами; соответственно отрицание р можно утверждать, если и только если имеется построение, приводящее к противоречию предположение о том, что построение р выполнено. Понятие противоречия здесь принимается в качестве неопределяемого, практически противоречие всегда можно привести к форме 1 = 2. Импликацию (если р, то q) можно утверждать, только если имеется такое построение, которое, будучи объединено с построением р, автоматически дает построение q.

Интуиционистское понимание логических связок таково, что из доказательства истинности высказывания всегда можно извлечь способ построения объектов, существование которых утверждается.

И.л. является единственной из неклассических логик, в рамках которой производилась достаточно последовательная и глубокая разработка многих разделов математики. Эта логика позволяет тонко и точно исследовать трудный и важный вопрос о характере существования объектов, исследуемых в математике.

Идеи, касающиеся ограниченной приложимости законов исключенного третьего, снятия двойного отрицания, редукции к абсурду и связанных с ними способов математического доказательства, разрабатывались русский математиками А.Н. Колмогоровым, В.И. Гливенко, А.А. Марковым, Н.А. Шаниным и др. В результате критического переосмысления основных принципов И.л. возникла конструктивная логика, также считающая неправильным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.(5)

Для более ясной формулировки интуиционизма последователь Л. Э. Я. Брауэра А. Гейтинг создал интуиционистскую логику.

При построении интуиционистской математики обычные логические связки, употребляемые для формулировки математических суждений, истолковываются способом, отличным от классического. Любое суждение считается осмысленным, только если оно выражает возможность некоторого умственного построения, и считается истинным, только если исследователю удалось выполнить соответствующее построение. Так, утверждение, начинающееся с квантора существования, означает наличие способа мысленного построения искомого объекта. Дизъюнкция   суждений A и B означает возможность непосредственно указать среди этих суждений верное. С этой точки зрения, суждение вида   может и не быть истинным, если проблема A не решена к настоящему времени. Отсюда видно, что закон исключённого третьего неприемлем в интуиционистской математике в качестве логического принципа.

Соотношение теоретико-множественной, интуиционистской и конструктивной математик с точки зрения допускаемых логических средств и абстракций может быть охарактеризовано следующей таблицей:

1. Отказ от абстракции актуальной бесконечности провозглашался как один из принципов интуиционизма, в то же время, А.А. Марковым впоследствии было показано, что использование принятого в интуиционизме аппарата построений на деле означает привлечение абстракции актуальной бесконечности.
2. Эффективность в интуиционизме понимается достаточно широко, она не обязательно связана с наличием алгоритма в точном понимании этого термина и может носить, например, характер исторического наступления события, зависеть от фактического решения проблем, от физических факторов.

 

3. Объекты исследования

Объектами исследования интуиционистской математики являются прежде всего конструктивные объекты, такие, как натуральные числа, рациональные числа, списки конструктивных объектов. Кроме того, характерной чертой интуиционизма, отличающей его от конструктивной математики, является рассмотрение свободно становящихся последовательностей математических объектов (то есть неограниченно продолжающихся и не управляемых никаким заранее определённым законом процессов выбора таких объектов). Рассмотрение свободно становящихся последовательностей связано с привлечением абстракции актуальной бесконечности (отказ от которой в интуиционизме, таким образом, не является абсолютным).

Примечателен тот факт, что, несмотря на общепринятую в философии математики точку зрения, интуиционист А. Гейтинг вместе с другими последователями школы Л. Э. Я. Брауэра признает объективность математических истин, их включенность в структуру действительности, но, говорит он, описание того, каким именно образом математические истины включены в реальность, математики дать не в состоянии. Таким образом, можно вполне определенно утверждать наличие реалистических установок в интуиционистском понимании природы математического знания в целом.

Требование интуитивной ясности используемых понятий и проводимых конструкций приводит к тому, что некоторые разделы традиционной математики приобретают в интуиционизме весьма необычный вид. Числовой континуум трактуется не как совокупность отдельных точек, а как «среда становления», поток измельчающихся рациональных интервалов. Каждое отдельное интуиционистское вещественное число определяется как свободно становящаяся последовательность неограниченно уменьшающихся вложенных друг в друга рациональных интервалов. В рассуждениях об интуиционистском числовом континууме (и вообще, в интуиционистской теории потоков) применяется ряд тесно связанных с представлением о свободном становлении логических принципов, основным из которых является бар-индукция. Это позволяет, в частности, утверждать, что всякая интуиционистская вещественная функция, определённая на отрезке, равномерно непрерывна.

 

3. Рецепция принципов и методов интуиционизма в других направлениях математики

Сторонники интуиционизма не связывают свои воззрения с какими бы то ни было логическими системами. Так, один из виднейших интуиционистов А. Гейтинг утверждал, что «логика — не та почва, на которой мы стоим», и что формализовать можно лишь завершённую часть интуиционистской математики (развивающиеся же её части могут потребовать существенного пересмотра используемых логических средств). В конце жизни он даже высказывал сожаление, что его известность связана в значительной степени с предложенной им системой логических правил, допустимых с точки зрения интуиционизма уже ввиду их формы. Дело в том, что в исследовании этой системы (получившей известность под неточным названием «интуиционистского исчисления высказываний») приняли значительное участие и математики, не разделявщие взглядов интуиционизма, и пытавшиеся сводить всё его содержание к набору логических правил Гейтинга. В настоящее время мнение о возможности такого сведения является одним из основных математических предрассудков, касающихся интуиционизма.

Тем не менее, исследования интуиционистского исчисления высказываний и основанных на нём формальных теорий представляют и самостоятельный интерес. В частности, была открыта топологическая интерпретация этого исчисления (А. Тарский) и его интерпретация в виде исчисления задач (А. Н. Колмогоров). Была доказана независимость логических связок и невозможность представления интуиционистской логики высказываний в виде конечнозначной логики (К. Гёдель). А. Гейтинг описал интуиционистское арифметическое исчисление, которое получается, если классическое арифметическое исчисление рассматривать на базе интуиционистского исчисления предикатов.

Для исчисления предикатов и арифметического исчисления Колмогоров и Гёдель предложили погружающую операцию классического исчисления в негативный фрагмент соответствующего интуиционистского исчисления (позволяющую, в частности, сводить вопрос о непротиворечивости классического исчисления к аналогичному вопросу для соответствующего ему интуиционистского). Были установлены свойства интуиционистской дизъюнкции и существования, состоящие в том, что если выводимо предложение  , то для некоторого терма t выводимо A(t), и если выводимо предложение  , то выводимо одно из предложений A и B.

В 1945 году С. К. Клини предложил новый вариант интуиционистского понимания арифметических суждений, основанный на развитой в 1930-е годы теории алгоритмов и получивший известность под именем рекурсивной реализуемости. Дальнейшая разработка этого понимания и связанных с ним идей в научной школе А. А. Маркова привела к возникновению современной конструктивной математики.

В трактовке теории множеств не делается различие между абстрактными объектами и объектами, существование которых можно подтвердить построением. В классической математике на бесконечные множества экстраполировали свойства и законы конечных совокупностей. При этом не существует способа эффективного построения объектов, что находит своё отражение в так называемых «теоремах чистого существования». Отсутствие возможности построения не имеет связи с антиномиями теории множеств и относится ко всем разделам математики. Значительное влияние друг на друга оказали концепции формализма и интуиционизма. Содержательные критерии метаматематики, необходимые для обоснования непротиворечивости формальных теорий, обычно уточняются в рамках интуиционизма. В то же время, ряд результатов интуиционистской логики был получен с помощью формализации метода.

В широкой трактовке конструктивное направление математики можно рассматривать как часть интуиционистской математики.

Историческая справка

Критика теории множеств привела к возникновению двух течений: интуиционизма Лёйтзена Эгберта Яна Брауэра и формализма Давида Гильберта. В 1904 году Л. Э. Я. Брауэр подверг развёрнутой критике ряд концепций классической математики. Его внимание привлёк статус существования: можно ли потенциально построить такие объекты исследования как неизмеримое множество действительных чисел, нигде не дифференцируемая функция? Можно ли полагать, что в окружающем мире существуют бесконечные множества объектов?

Интуиционистская математика в идеалистической трактовке Бауэра — это убедительность мысленных построений, не связанная вопросом существования объектов. Другая трактовка — это «наглядная умственная убедительность простейших конструктивных процессов реальной действительности». Бауэр возражал против формализации интуиционизма.

Аренд Гейтинг сформулировал интуиционистское исчисление предикатов и интуиционистское арифметическое исчисление, Альфредом Тарским была открыта топологическая интерпретация, а Андреем Николаевичем Колмогоровым — интерпретация в виде исчисления задач. Понимание в форме рекурсивной реализуемости было предложено Стивеном Коулом Клини и поддержано научной школой Андрея Андреевича Маркова. К 70-м годам XX века было завершено построение теории свободно становящихся последовательностей.(6)

 

Литература

1. Гейтинг, А. Интуиционизм/А.Гейтинг// Интуиционизм — М.: Мир, 1965.
2. Вейль, Г.О. О философии математики/ Г.О. Вейль// О философии математики — М.-Л.: ГТТИ, 1934.

3. Клини, С.И. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций /С.И. Клини, Р. Е. Весли//Основания интуиционистской математики. Пер. с англ. — М., Наука, 1978. —С. 272.

4. Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия 1969—1978

5.  Ивина, А.А. Философия: Энциклопедический словарь/А.А. Ивина. // Философия: Энциклопедический словарь — М.: Гардарики, 2004. – С.12-20.

6. Виноградов, И. М. Интуиционизм / И. М. Виноградов //Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977. — Т. 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Интуиционизм — совокупность философских и математических взглядов, рассматривающих математические суждения с позиций интуитивной убедительности. Различаются две трактовки интуиционизма: интуитивная убедительность, которая не связана с вопросом существования объектов, и наглядная умственная убедительность.

В интуициониостской математике отвергается подход теории множеств и ряд рассуждений классической логики. Абстракция потенциальной осуществимости, которая используется в интуиционистской математике, лучше соотносится с действительностью, чем абстракция актуальной бесконечности.

Интуиционистская логика

В интуиционистской математике суждение считается истинным, только если его можно доказать. То есть истинность утверждения «Существует объект x, для которого верно суждение A(x)» доказывается построением такого объекта, а истинность утверждения «A или B» доказывается либо доказательством истинности утверждения A, либо доказательством истинности утверждения B. Отсюда, в частности, следует, что утверждение «A или не A» может быть не истинным, а закон исключённого третьего неприемлем. Истинным математическим суждением является ряд выполненных построений эффективного характера с использованием интуиционистской логики. Эффективность не обязательно связана с наличием алгоритма и может зависеть от физических и исторических факторов, фактического решения проблем.