Интуиционистская логика

 

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный государственный Университет физической культуры, спорта и здоровья имени П. Ф. Лесгафта, Санкт-Петербург

 

 

 

Реферат на тему:

 

Интуиционистская логика

 

                                                Профиль подготовки:

                                 Спортивно – оздоровительный туризм

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил студент:

1 курса 

Факультета НОВС

Магистратуры

Смагин Александр

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург, 2014

 

Содержание:

Введение

1. Критика классической математики………………………………………...7

2.Интуиционистская логика…………………………………………………...9

3.Объекты исследования………………………………………………………14

4.Рецепция принципов и  методов интуиционизма в других  направлениях математики…………………………………………………………………………16

5.Историческая справка……………………………………………………….18

Литература

 

Введение

Интуиция (позднелат. intuitio — «созерцание», от глагола intueor — пристально смотрю) — непосредственное постижение истины без логического анализа, основанное на воображении, эмпатии и предшествующем опыте, «чутьё», проницательность.

Ло́гика (др.-греч. λογική — «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения» от λόγος — «речь», «рассуждение», «мысль») — раздел философии, нормативная[неизвестный термин][1] наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых с помощью логического языка. Поскольку это знание получено разумом, логика также определяется как наука о формах и законах правильного мышления. Поскольку мышление оформляется в языке в виде рассуждения, частными случаями которого являются доказательство и опровержение, логика иногда определяется как наука о способах рассуждения или наука о способах доказательств и опровержений. Логика, как наука, изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания.

Одна из главных задач логики — определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления, чтобы глубже разобраться в нюансах изучаемого предмета мысли и его соотношениях с другими аспектами рассматриваемого явления.

Интуиционизм — совокупность философских и математических взглядов, рассматривающих математические суждения с позиций интуитивной убедительности. Различаются две трактовки интуиционизма: интуитивная убедительность, которая не связана с вопросом существования объектов, и наглядная умственная убедительность

В интуициониостской математике отвергается подход теории множеств и ряд рассуждений классической логики. Абстракция потенциальной осуществимости, которая используется в интуиционистской математике, лучше соотносится с действительностью, чем абстракция актуальной бесконечности.

Можно сказать, что интуиционизм — система философских и математических идей и методов, связанных с пониманием математики как совокупности «интуитивно убедительных» умственных построений. С точки зрения интуиционизма, основным критерием истинности математического суждения является интуитивная убедительность возможности проведения мысленного эксперимента, связываемого с этим суждением. Поэтому в интуиционистской математике отвергается теоретико-множественный подход к определению математических понятий, а также некоторые способы рассуждения, принятые в классической логике.

Интуиционистская математика является достаточно разработанным направлением, которое достигло многих существенных результатов, в том числе и в таких областях, как теория меры, функциональный анализ, топология, теория дифференциальных уравнений.

Источник математики, считал Брауэр, — фундаментальная математическая интуиция. Не все обычные логические принципы приемлемы для нее. Так, в частности, обстоит дело с законом исключенного третьего, говорящим, что либо само утверждение, либо его отрицание истинно. Этот закон исторически возник в рассуждениях о конечных множествах объектов. Но затем он был необоснованно распространен также на бесконечные множества. Когда множество является конечным, мы можем решить, все ли входящие в него объекты обладают некоторым свойством, проверив один за другим все эти объекты. Но для бесконечных множеств такая проверка невозможна.

Допустим, что мы, рассматривая конечный набор чисел, доказали, что не все они четны. Отсюда по закону исключенного третьего следует, что по крайней мере одно из них нечетно. При этом утверждение о существовании такого числа можно подтвердить, предъявив это число. Но если бы рассматриваемое множество чисел было бесконечным, заключение о существовании среди них хотя бы одного нечетного числа оказалось бы непроверяемым. Тем самым осталось бы неясным, что означает в этом случае само слово «существование».

По выражению немецкого математика Г. Вейля, доказательства существования, опирающиеся на закон исключенного третьего, извещают мир о том, что сокровище существует, не указывая при этом местонахождение и не давая возможности воспользоваться им.

Таким образом, по убеждению интуиционистов, закон исключенного третьего не является универсальным, одинаково применимым в рассуждениях о любых объектах. Как не без иронии говорит Вейль, он «может быть верным для всемогущего и всезнающего существа, как бы обозревающего единым взглядом бесконечную последовательность натуральных чисел, но не для человеческой логики».

Выдвигая на первый план математическую интуицию, интуиционисты не придавали большого значения систематизации логических правил. Только в 1930 г. ученик Брауэра А. Рейтинг опубликовал работу с изложением особой интуиционистской логики. В этой логике не действует закон исключенного третьего, несомненный для классической логики. Отбрасывается также ряд других законов, позволяющих доказывать существование объектов, которые нельзя построить или вычислить. В число отвергаемых попадают, в частности, закон снятия двойного отрицания («Если неверно, что не-А, то А») и закон приведения к абсурду, дающий право утверждать, что математический объект существует, если предположение о его несуществовании приводит к противоречию.

В дальнейшем идеи, касающиеся ограниченной приложимости закона исключенного третьего и близких ему способов математического доказательства, были развиты российскими математиками А.Н. Колмогоровым, В.А. Гливенко, А.А. Марковым и другими. В результате переосмысления основных предпосылок интуиционистской логики возникла конструктивная логика, также считающая неправомерным перенос ряда логических принципов, применимых в рассуждениях о конечных множествах, на область бесконечных множеств.

 

 

1. Критика классической  математики

Отдельные черты интуиционизма можно проследить ещё в античной математике, а позднее в высказываниях таких учёных, как Гаусс, Кронекер, Пуанкаре, Лебег, Э.Борель. Однако в своём современном виде интуиционизм возник как результат критического пересмотра основ классической математики, проведённого начиная с 1907 года Л. Э. Я. Брауэром.

В основе критики Л. Э. Я. Брауэра лежит вопрос о природе математических объектов и суждений о них. Так, естественно представить, что произвольное натуральное число может быть построено в виде последовательного ряда однородных предметов, например, ряда точек. Столь же естественно представить, что, построив некоторое натуральное число, можно построить затем и следующее, добавив к уже построенному ещё одну точку. Поэтому природа натуральных чисел является интуитивно ясной. Однако наряду с такими объектами в классической математике рассматриваются и объекты с интуитивно неясной природой, например, «множество всех натуральных чисел» и «множество, неизмеримое по Лебегу». С ними не связывается никакого способа их мысленного построения, и потому их действительное существование представляется сомнительным.

Одним из источников возникновения такого рода «монстров» в классической математике являются теоремы чистого существования, в которых наличие искомого объекта утверждается лишь на основе формального опровержения гипотезы о его невозможности. Иначе говоря, фундамент таких теорем составляет представление об абсолютной непогрешимости законов классической логики.

Это представление также стало одной из мишеней критики Брауэра. С его точки зрения, законы классической логики возникли в результате рассмотрения конечных совокупностей, при работе с которыми доказательство чистого существования заведомо может быть дополнено эффективным способом построения искомого объекта — полным перебором. При переходе же к рассмотрению бесконечных совокупностей эти законы становятся недостоверными, поскольку полного перебора таких совокупностей мы провести уже не можем.

В качестве простейшего примера рассмотрим следующую теорему чистого существования:

«для любого вещественного числа x найдётся натуральное число n, равное 1 в случае x = 0, и равное 2 в случае  »

Признать такое число n действительно существующим мы могли бы лишь в том случае, если бы умели сравнивать произвольное вещественное число x с нулём, чего, однако, мы делать не умеем. Действительно, число x на деле задаётся некоторой бесконечной последовательностью рациональных чисел  . Эффективным способом сравнения числа x с нулём был бы лишь такой, который позволял бы производить это сравнение на основе просмотра некоторого конечного (пусть и очень большого) набора чисел xk. Однако такое рассмотрение не позволяет надёжно установить верность равенства x = 0.

Аналогичные трудности возникают при попытках прояснения статуса существования многих других объектов классического анализа, например, точек экстремума непрерывной функции на отрезке, нулей знакопеременных непрерывных функций на отрезке и т. д. Никакого способа эффективного построения указанных объектов в нашем распоряжении не имеется.

Такая критика классической математики не связана непосредственно с антиномиями теории множеств. Появление антиномий можно рассматривать как дополнительный довод в пользу неудовлетворительности теоретико-множественного подхода, но критика относится и к таким разделам математики, где антиномий не возникает.(4)

 

2. Интуиционистская  логика

Интуиционистская логика, форма логики предикатов, отражающая взгляд интуиционизма на характер логических законов, считающихся, с его точки зрения, допустимыми в применении к доказательствам суждений из тех частей дедуктивных наук (особенно математики), которые существенно связаны с понятием математической бесконечности.

В соответствии с концепцией интуиционизма, в И. л. нет исключенного третьего принципа и закона снятия двойного отрицания. В качестве И. л. обычно рассматривается формальная логическая система, построенная нидерландским математиком А. Гейтингом в 1930 (охватывает логику предикатов; ещё ранее — на основании соображений, отличных от интуиционистских, — систему И. л. в применении к логике высказываний, составляющей часть логики предикатов, построил советский учёный В. И. Гливенко). Интуиционистская логика Гейтинга отличается тем, что выразимые в ней содержательные рассуждения являются приемлемыми с точки зрения интуиционизма нидерландского математика Л. Э. Я. Брауэра.

С развитием конструктивных направлений в математике и логике И. л. нашла в них применение и поэтому стала часто называться конструктивной логикой (хотя в И. л. и нет некоторых принципов, признаваемых многими представителями этих направлений, например принципа конструктивного подбора, выдвинутого конструктивным направлением, возглавляемым советским математиком А. А. Марковым).

В интуиционистской математике суждение считается истинным, только если его можно доказать. То есть истинность утверждения «Существует объект x, для которого верно суждение A(x)» доказывается построением такого объекта, а истинность утверждения «A или B» доказывается либо доказательством истинности утверждения A, либо доказательством истинности утверждения B. Отсюда, в частности, следует, что утверждение «A или не A» может быть не истинным, а закон исключённого третьего неприемлем. Истинным математическим суждением является ряд выполненных построений эффективного характера с использованием интуиционистской логики. Эффективность не обязательно связана с наличием алгоритма и может зависеть от физических и исторических факторов, фактического решения проблем.

Основными объектами исследования интуиционистской математики являются конструктивные объекты: натуральные и рациональные числа, конечные множества конструктивных объектов со списком элементов, свободно становящиеся последовательности (последовательности выбора, каждый член которых может быть эффективно доступен), интуиционистские виды (свойства, которыми могут обладать объекты исследования). Свободно становящиеся последовательности различают в зависимости от степени информации, известной исследователю. Если закон формирования последовательности известен полностью, то её называют заданной законом, если известен только начальный отрезок — беззаконной. Виды строятся в иерархию, когда элементы вида определяются независимо от самого вида, что позволяет избегать антиномий. Виды редко являются объектами исследования, большинство результатов интуиционистской математики можно получить без их использования.