Экономико-математические методы и модели в логистике

Министерство образования  и науки Российской Федерации 

Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

НАЦИОНАЛЬНЫЙ МИНЕРАЛЬНО-СЫРЬЕВОЙ УНИВЕРСИТЕТ «ГОРНЫЙ»

 

 

 

Кафедра информатики и компьютерных технологий

Курсовая работа по дисциплине

 

«Экономико-математические методы и модели в логистике»

 

 

 

 

 

 

Факультет:   заочный

Специальность:  080506.65

Группа:    ЛГСз-09-02

Студентка  4-го курса:  Молева О.А.

Проверил:  Петухова Н.М.   /___________/

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012 г.

 

ВВЕДЕНИЕ

В соответствии с учебным  планом по дисциплине «Экономикоматематические методы и модели в логистике» студенты должны выполнить курсовую работу. Курсовая работа состоит в выполнении двух задач.

Первая из них - транспортная задача, связанная с оптимизацией издержек при перевозках. По условию  дается классическая транспортная задача линейной оптимизации закрытого  типа. Студентам предлагается построить  математическую модель задачи, убедиться, что она является сбалансированной, и решить, используя для отыскания допустимого решения или метод северо-западного угла, или метод наименьшей стоимости, а для получения оптимального решения метод потенциалов. В дальнейшем ручной расчет модели будет использоваться в качестве контрольного примера. Следующий этап - построение на основании математической модели электронной модели Excel и выполнение расчета модели, используя надстройку «Поиск решения». Сравнить результаты расчетов, полученные при ручном счете и средствами Excel. Предлагается сравнить наилучший и наихудший план перевозок, используя поиск решения. Учитывая, что на практике редко встречаются задачи закрытого типа, студентам предлагается рассмотреть варианты, когда имеется излишек запасов или дефицит запасов, сбалансировать транспортную задачу и выполнить расчет уже сбалансированной модели средствами Excel. То есть акцент делается на возможности многократного использования компьютерной модели при небольших ее корректировках для быстрого выполнения расчетов модели и анализа.

Вторая задача - задача выбора оптимального плана перевозки груза  от одного поставщика к нескольким потребителям. Такого типа задачи легко решаются методами теории графов. В данном случае задача сводится к задаче определения кратчайшего пути на графе. Для ее решения предлагается использовать метод Дейкстры. После выполнения расчета модели «вручную», студентам предлагается решить задачу, используя математический пакет Maple.

Целью выполнения курсовой работы является развитие у студентов  навыков построения математических моделей типовых задач, нахождение оптимального решения путем использования  математических методов, реализация расчетов моделей на компьютере, анализ модели. Защита курсовой работы должна выявить степень понимания используемых математических метод, умение строить математические модели выполнять их расчет.

 

 

 

 

ЗАДАЧА 1

УСЛОВИЕ ЗАДАЧИ (Вариант 11)

Производственная компания может закупить сырье для четырех  своих заводов у трех поставщиков. Стоимость перевозки сырья в расчете на одну машину в таблице:

Табл. 1. Цены перевозок

	Завод 1	Завод 2	Завод 3	Завод 4
Поставщик 1	1600	1400	1100	1250
Поставщик 2	1300	1350	1500	1200
Поставщик 3	1000	1250	900	1400

 

Поставщики  готовы отгружать следующее количество сырья:

Табл. 2. Запасы продукции

	Поставщик 1	Поставщик 2	Поставщик 3
Мах отгрузка, маш./нед.	50	55	60

 

Недельные потребности  заводов составляют:

Табл. 3. Заказы клиентов

	Завод 1	Завод 2	Завод 3	Завод 4
Потребность, маш./нед.	50	30	45	40

 

Составить план снабжения заводов на неделю, исходя из минимума издержек.

Задания:

1. Составьте транспортную таблицу.
2. Постройте математическую модель задачи.
3. Выполните расчет модели, используя для получения допустимого решения метод северо-западного угла или наименьшей стоимости, а для получения оптимального решения метод потенциалов.
4. Выполните расчет модели в Excel, используя надстройку Поиск решения. Проверьте, совпадают ли ответы, полученные при ручном расчете модели и расчете модели, выполненном в Excel.
5. Найдите разницу между наилучшим и наихудшим планом перевозок.

Ответьте на вопросы, подтверждая  ответы расчетами, выполненными с помощью  надстройки Поиск решения:

а) Возможны ли альтернативные решения?

б) После составления плана перевозок выяснилось, что, возможно, Поставщик 4 сможет отгружать на 5 машин сырья больше, чем планировал. Каким будет тогда план перевозок?

с) Выяснилось, что Поставщик 4 не сможет отгружать продукции больше, чем планировал, к тому же Поставщик 1 сможет поставлять на 10 машин сырья меньше, чем собирался. Каким будет тогда план перевозок? Какой завод недополучит продукцию?

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

 На основании исходных  таблиц составим транспортную  таблицу (табл. 4).

Табл. 4

Max отгрузка маш/нед.		Недельные потребности завода
		Завод 1	Завод 2	Завод 3	Завод 4
		50	30	45	40
		Стоимости перевозки ед груза
Поставщик 1	50	1600	1400	1100	1250
Поставщик 2	55	1300	1350	1500	1200
Поставщик 3	60	1000	1250	900	1400

 

Для наглядности и простоты вычислений «вручную», стоимости перевозок, представленные в залитых цветом клетках таблицы, уменьшим в 100 раз, таким образом, они будут иметь  единицу измерения, равную 100 у.е. (табл. 4-а).

Табл. 4-а

Max отгрузка маш/нед.		Недельные потребности завода
		Завод 1	Завод 2	Завод 3	Завод 4
		50	30	45	40
		Стоимости перевозки ед груза
Поставщик 1	70	11	12,5	10,5	9,5
Поставщик 2	65	11,5	8,5	13,5	10
Поставщик 3	75	10	6,5	8,5	11,5

 

Пусть Xij - количество продукции, отправляемой со склада i к клиенту j, i

= L,т , j =1,n, а Cij- стоимость перевозки единицы продукции. Отрицательные значения xij и Cij не имеют смысла, поэтому xij ≥ 0 и cij ≥ 0.

Тогда общая стоимость  перевозки равна

   (1)

 

В силу ограничений на возможность  поставок продукции поставщикамии и потребности на него заводами, должны выполняться следующие условия (ограничения):

- на количество продукции, которую надо вывезти от каждого поставщика:

 

                                                            (2)

 

- на количество продукции,  которую надо доставить клиентам:

 

                                                                    (3)

 

 

Суммарное количество продукции  у поставщиков: (4)

 

 

Суммарное количество продукции, заказанное клиентами:   (5)

 

 

Так как имеет место  равенство:

 

транспортная задача является закрытой (с балансом).

Задача формулируется  следующим образом: определить такие  неотрицательные значения переменных , i=1,m, j=1,n, которые удовлетворяют ограничениям (2) и обращают в минимум целевую функцию (1).

 

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

Решение транспортной задачи состоит из двух этапов:

1. Определение допустимого решения (базисного решения).
2. Определение оптимального решения путем последовательного улучшения допустимого решения методом потенциалов.

Определение допустимого решения методом  наименьшей стоимости

На основе транспортной таблицы (табл. 4) построим вспомогательную таблицу (табл. 5), в верхнем правом углу каждой клетки которой будем записывать стоимости перевозки. Введем в таблицу  вспомогательную строку и столбец для записи остатков.

Определим клетку таблицы (табл. 5), которой соответствует наименьшая стоимость перевозки. Такая клетка одна: =9, поэтому, выбрав её, запишем:

=min()=min(60,45)=45

Рассуждаем так: в S₃ имеется 60 единиц товара, в К₃ требуется 45. Организуем перевозку из S₃ в К₃, т.е. запишем в клетку значение х₃₃ = 45 (табл. 6). В S₂ осталось 60-45 = 15 ед. товара, спрос К₃ полностью удовлетворен. Остатки по строке и столбцу запишем в соответствующие клетки столбца и строки остатков: в S2 - 35, а в К₂ — О.Так как в столбце К₂ остаток равен нулю, этот столбец закрывается и далее не рассматривается (табл. 6).

Табл. 5

Остатки	Ki
	Поставщики	Заводы
Si		К1=50	К2 =30	К3 = 45	К4 = 40
	S1= 50	16	14	11	12,5
	S2 = 55	13	13,5	15	12
	S3 = 60	10	12,5	9	14

 

Табл. 6

Остатки	Ki			0
	Поставщик	Завод
Si		К1=50	К2 =30	К3 = 45	К4 = 40
	S1= 50	16	14	11	12,5
	S2 = 55	13	13,5	15	12
15	S3 = 60	10	12,5	9 45	14

 

В табл. 6 ищем клетку, в которой  записана наименьшая стоимость перевозки (за исключением клеток закрытого столбца К₂). Это клетка С₁₁. В нее запишем значение Х₁₁ = min (15, 50) = 15. Определим остатки для строки S₃ и столбца К₁. Остаток по строке S3 равен 15-15 = 0, остаток по столбцу К₁ 50-15 = 35

Запишем их в соответствующие  клетки (табл. 7). Третья строка и третий столбец становятся закрытыми и  их клетки в дальнейших поисках не участвуют.

Табл. 7

Остатки	Ki	35		0
	Склады	Магазины
Si		К1=50	К2 =30	К3 = 45	К4 = 40
	S1= 50	16	14	11	12,5
	S2 = 55	13	13,5	15	12
0	S3 = 60	10 15	12,5	9 45	14