Естествознание и гуманитарные науки. В чем их различие?

Литература

1.     Башляр, Г. Научное призвание и душа человек.

2.                 Селиванов, В.В. Кризис методологии в гуманитарных науках.

3.     Риккерт, Г. Науки о природе и науки о культуре

4.  Каган, М.С. Перспективы развития гуманитарных наук в XXI  веке

Федеральное  агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Российский государственный профессионально-педагогический университет»

Институт электроэнергетики и информатики

Кафедра общей физики

КОНТРОЛЬНАЯ  РАБОТА

ПО  ДИСЦИПЛИНЕ

«КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ»

70.              Уравнение Э. Шредингера – основное уравнение квантовой механики. Волновая функция. В чем её физический смысл? Интерпретация квадрата волновой функции. Статистическое описание состояния микрообъекта. Значение уравнения Э. Шредингера для современной науки.

Выполнил: Студент гр. ЗДК-213

                                                   Хакова Гульназ Разифовна

                                                            Шифр зачетной книжки ______

                                                   Проверил              преподаватель

кафедры общей физики

___________________________

Екатеринбург 2012

70.Уравнение Э. Шредингера – основное уравнение квантовой механики.

Основное уравнение нерелятивистской квантовой механики сформулировано в 1926 г. Э. Шредингером. Уравнение Шредингера, как и все основные уравнения физики (например, уравнения Ньютона в классической механике и уравнения Максвелла для электромагнитного поля), не выводится, а постулируется. Правильность этого уравнения подтверждается согласием с опытом получаемых с его помощью результатов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид

где ћ=h/(2 π), m—масса частицы, Ʌ—оператор Лапласа  i — мнимая единица, U (х, у, z, t) — потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором она движется, Y(х, у, z, t) — искомая волновая функция частицы.

Уравнение (217.1) справедливо для любой частицы (со спином, равным 0), движущейся с малой (по сравнению со скоростью света) скоростью, т. е. со скоростью v<<с. Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию: 1) волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной производные  должны быть непрерывны; 3) функция |ѱ|2 должна быть интегрируема; это условие в простейших случаях сводится к условию нормировки вероятностей (216.3).

Чтобы прийти к уравнению Шредингера, рассмотрим свободно движущуюся частицу, которой, согласно идее де Бройля, сопоставляется плоская волна. Для простоты рассмотрим одномер­ный случай. Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид    , или в комплексной записи . Следовательно, плоская волна де Бройля имеет вид   (217.2)

(учтено, что Ѡ = E/ћ, k=p/ћ). В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус, но поскольку физический смысл имеет только |ѱ|2, то это (см. (217.2)) несущественно. Тогда

откуда    (217.3)

Используя взаимосвязь между энергией Е и импульсом р (E=p2/(2m)) и подставляя выражения (217.3), получим дифференциальное уравнение

которое совпадает с уравнением (217.1) для случая U=0 (мы рассматривали свободную частицу). Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энергией U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий. Проводя аналогичные рассуждения и используя взаимосвязь между Е и р (для данного случая p2/(2m)=E–U), прядем к дифференциальному уравнению, совпадающему с (217.1).

Приведенные рассуждения не должны восприниматься как вывод уравнения Шредингера. Они лишь поясняют, как можно прийти к этому уравнению. Доказательством правильности уравнения Шредингера является согласие с опытом тех выводов, к кото­рым оно приводит.

Уравнение (217.1) является общим уравнением Шредингера. Его также называют уравнением Шредингера, зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость ѱ от времени, иными словами, найти уравнение Шредингера для стационарных состояний — состояний с фиксированными значениями энергии. Это возможно, если силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т. е. функция U=U(x, у, z) не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии. В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выражается множителем , так что (217.4)

где Е — полная энергия частицы, постоянная в случае стационарного поля. Подставляя (217.4) в (217.1), получим

откуда после деления на общий множитель и соответствующих преобразований придем к уравнению, определяющему функцию ѱ: (217.5)

Уравнение (217.5) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний. В это уравнение в качестве параметра входит полная энергия Е частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Таким образом, реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями y. Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра Е, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения же, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения Е могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном, или сплошном, спектре, во втором — о дискретном спектре.

Волновая функция.В чем ее физический смысл?

Из содержания предыдущих двух параграфов следует, что с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, поэтому состояние частицы в квантовой механике описывают волновой функцией, которая зависит от координат и времени ѱ(x,y,z,t). Конкретный вид ѱ-функции определяется состоянием частицы, характером действующих на нее сил. Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, т.е. не завися­щим от времени, то ѱ-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой  – от координат:

             (3.1)

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния. ѱ-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Чтобы пояснить это, мысленно выделим достаточно малый объем , в пределах которого значения ѱ-функции будем считать одинаковыми. Тогда вероятность нахождения dW частицы в данном объ­еме пропорциональна ему и зависит от квадрата модуля ѱ-функции (квадрата модуля амплитуды волн де Бройля):  (3.2)

Отсюда следует физический смысл волновой функции:   (3.3)

Квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероят­ности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z.

Интегрируя выражение (3.2) по объему, определяем вероятность нахождения частицы в этом объеме в условиях стационарного поля:   (3.4)

Если известно, что частица находится в пределах объема V, то интеграл выражения (3.4), взятый по объему V, должен быть равен единице:     (3.5)

– условие нормировки y-функции.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой со­стояния микрочастиц, она должна быть конечной, однозначной, непрерывной, так как вероятность не может быть больше единицы, не может быть неоднозначной величиной и не может изменяться скачками. Таким образом, состояние микрочастицы полностью определяется волновой функцией. Частица может быть обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля.

Интерпретация квадрата волновой функции.

Представление об электроне в виде группы волн находится в явном противоречии с экспериментами по столкновению электронов с атомами, в которых электрон ведет себя как единая стабильная частица. В экспериментах по дифракции пучка электронов на кристаллах проявляются волновые свойства электронов, причем аналогия с дифракцией электромагнитных волн, рассматриваемых как поток фотонов, приводит к статистическому предположению: интенсивность волны в данной точке пространства пропорциональна плотности частиц. Оказывается, однако, что дифракционная картина не зависит от интенсивности пучка частиц: она возникает и при очень малой интенсивности и даже при пропускании одиночных электронов один за другим. При регистрации дифракционной картины каждый электрон, прошедший периодическую структуру (например, монокристалл), оставляет на фотопластинке небольшое пятно, проявляя тем самым корпускулярные свойства. При достаточно большем числе прошедших последовательно электронов распределение пятен на пластинке образует дифракционную картину, совпадающую с получаемой при пропускании пучка электронов.

Детальный анализ процессов рассеяния электронов на атомах на основе уравнения Шрёдингера привел Борна (M. Born) к вероятностной интерпретации волновой функции частицы (1926 г.): квадрат модуля есть плотность вероятности обнаружить частицу в точке r пространства  в момент времени t . Таким образом, квантовая механика (даже для одной частицы) является вероятностной теорией, в которой принцип причинности отличается от соответствующего лапласовского принципа причинности в классической механике. В своей статье 1926 г. Борн так сформулировал основную особенность квантовой теории: «Движение частицы следует вероятностным законам, сама же вероятность распространяется в соответствии с законом причинности».

Указанная вероятностная интерпретация волновой функции – один из основных постулатов квантовой теории, который подтвержден всей совокупностью проведенных экспериментов.

Покажем, что из УШ вытекает закон сохранения вероятности. Запишем уравнения для ѱ  и комплексно сопряженной к ней функции :

Умножив первое уравнение на , а второе на ѱ, вычтем одно из другого. Получим 

Введем плотность ρ и поток вероятности i :   

В результате находим уравнение непрерывности (ср. с электродинамикой, ч. 1 курса):

Проинтегрировав его по объему  V , ограниченному замкнутой поверхностью S, получим интегральный закон сохранения вероятности:

Удалив S в бесконечность, в предположении, что

Получим    или   

Для физически реализуемых состояний всегда можно выбрать такую нормировку волновой функции, что 

Это соотношение означает, что вероятность обнаружить частицу во всем пространстве равна единице, как и должно быть.

Замечание. Плотность  ρ и поток вероятности i  инвариантны относительно преобразования фазы волновой функции: 

Функции  ѱ и отвечают одному и тому же состоянию.

Спектральный анализ - метод исследования химического состава вещества по его спектру излучения или поглощения. Спектроскоп, спектрограф - оптические приборы для исследования спектров излучения и поглощения.

Статистическое описание состояния микрообъекта.

Описание состояния микрообъекта с помощью волновой функции имеет статистический, т. е. вероятностный характер: квадрат абсолютного значения (модуля) В. ф. указывает значение вероятностей тех величин, от которых зависит В. ф. Например, если задана зависимость В. ф. частицы от координат х, у, z и времени t, то квадрат модуля этой В. ф. определяет вероятность обнаружить частицу в момент t в точке с координатами х, у, z. Поскольку вероятность состояния определяется квадратом В. ф., её называют также амплитудой вероятности.

В. ф. одновременно отражает и наличие волновых свойств у микрообъектов. Так, для свободной частицы с заданным импульсом р и энергией E, которой сопоставляется волна де Бройля с частотой v = E/h и длиной волны λ = h/p (где h — постоянная Планка), В. ф. должна быть периодична в пространстве и времени с соответствующей величиной λ и периодом Т = 1/v.

Для В. ф. справедлив суперпозиций принцип: если система может находиться в различных состояниях с В. ф. ψ1, ψ2.., то возможно и состояние с В. ф., равной сумме (и вообще любой линейной комбинации) этих В. ф. Сложение В. ф. (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (квадратов В. ф.) принципиально отличает квантовую теорию от любой классической статистической теории (в которой справедлива теорема сложения вероятностей).