M(a1) + M(a2) + ... + M(an) ³ 6n = 6V(G ),

      что противоречит (2).

      Перенумеруем  вершины так, что в вершине a = an сходится не более пяти ребер.

      Если  в вершине a сходятся не более четырех  ребер, то рассмотрим граф G \ a, который  получается из G устранением вершины a и всех оканчивающихся в ней ребер. Граф G \ a допускает правильную 5-раскраску по предположению индукции. А так как ребра соединяют вершину a не более чем с четырьмя вершинами этого меньшего графа, то для правильной раскраски a остается по крайней мере один цвет (из пяти).

      Пусть теперь в a сходится ровно пять ребер. Рассмотрим граф H É G, состоящий из тех пяти вершин, куда приходят ребра, выходящие из a и соединяющих их (в G) ребер. В графе H обязательно найдутся две вершины, не соединенные ребром. Действительно в противном случае в пятиугольнике H будет C₅²= 10 ребер (это нетрудно посчитать и непосредственно). Однако в силу (1)

      | R(H ) | £ 3| V(H ) | – 6 = 3 " 5 – 6 = 9,

      и мы приходим к противоречию.

      Пусть b и g суть те вершины H, которые не соединены  между собой. Не соединены они  и в G \ a. Рассмотрим граф G ', который  получается из G \ a при помощи деформации, которая отождествляет (совмещает) b и g. Граф G ' – это плоский граф, так как при отождествлении вершин в этой ситуации не может возникнуть петли. Но для G ' справедливо предположение  индукции, и существует некоторая  его правильная 5-раскраска j. Разъединим в этом раскрашенном графе вершины b и g. Тогда правильную 5-раскраску  получает и граф G \ a, причем такую, что j(b) = j(g). Иными словами, b и g раскрашены одинаково и, следовательно, раскраска  пяти соседних с a вершин графа H использует не более четырех цветов.

      Используем  оставшийся цвет для раскраски вершины a и получим правильную 5-раскраску G!

      Проблема  четырех красок кажется на первый взгляд изолированной задачей, мало связанной с другими разделами  математики и практическими задачами. На самом деле это не так. Известно более 20 ее переформулировок, которые  связывают эту проблему с задачами алгебры, статистической механики и  задачами планирования. И это тоже характерно для математики: решение  задачи, изучаемой из чистого любопытства, оказывается полезным в описании реальных и совершенно различных по своей природе объектов и процессов. Здесь мы рассмотрим одну задачу, эквивалентную проблеме четырех красок.

      Пусть i, j и k суть стандартные единичные  направляющие векторы координатных осей x, y и z соответственно. В трехмерном пространстве определено векторное  произведение векторов, обозначаемое знаком i. Если u, u k R3 – два вектора, то их векторное произведение u i u имеет  длину а направление определяется по правилу буравчика или правой руки. Легко убедиться в том, что  это произведение не ассоциативно, то есть произведение u1 i u2 i ... i un , вообще говоря, не определено, если в нем  не расставлены скобки. Действительно, например, 0 = i i (j i j) (i i j) i j = – i. Для того чтобы выражение u1 i u2 i ... i un имело  определенный смысл, в нем нужно  правильным образом расставить n – 2 пары скобок. Такое выражение со скобками называется ассоциацией.

      Теорема 3. Для каждой пары ассоциаций, связанных  с выражением u1 i u2 i ... i un , существует такая подстановка {u1 , u2 , ..., un} {i, j, k} (то есть {i, j, k} подставляются каким-то образом вместо всех uk), что значения ассоциаций будут равны между  собой и отличны от нуля.

      Утверждение касается только векторов в трехмерном пространстве и кажется простым, но доказать его так же трудно, как  и теорему о 4-раскраске. Доказательство эквивалентности последней теоремы  проблеме четырех красок дано Л. Кауфманом и объяснено на пальцах. Здесь мы только коротко объясним связь этих задач.

      Во-первых, причем здесь графы? Графически ассоциацию можно представлять себе в виде дерева, то есть графа специального вида, устроенного  следующим образом. Произведению всякой пары u i u соответствует пара ребер (веток), имеющих общую вершину, при этом концы ветвей соответствуют сомножителям, а общее начало – произведению. Шаг за шагом выполняя действия, предписанные в ассоциации скобками, приходим к корню этого дерева, соответствующему результату выполнения всех перемножений в заданной ассоциации. В верхней части рис. 2 представлены деревья, определяемые ассоциациями (u1 i u2) i (u3 i u4) (внизу, ветвями вверх) и (((u1 i u2) i u3) i u4) (вверху, ветвями вниз).

      Склеим  теперь оба эти дерева по концам веток (концы соответствуют всем элементам ассоциации u1 , u2 , u3 , u4) и  затем соединим корни обоих деревьев дополнительным ребром. Получится плоский  граф, изображенный в нижней части  рис. 6. Отметим два специфических свойства такого графа: в любой его вершине сходится ровно три ребра (это свойство называется кубичностью графа). Удаление любого ребра не приводит к разделению графа на две не связанные между собой компоненты (это свойство назовем отсутствием разделяющего ребра).

Рис. 6. Плоский  граф 

      Эта конструкция обобщается для любой  пары ассоциаций с одинаковым количеством  сомножителей.

      Во-вторых, причем здесь раскраски? Будем считать  векторы  i,  j и  k тремя красками, приписанными всем элементам ассоциации или, что то же, концевым веткам деревьев. Остальные ветки вплоть до корня  окрасятся по правилам вычисления векторного произведения. Если мы хотим после  вычислений получить ненулевой результат, то, как легко проверить, три ребра, сходящиеся в любой вершине, должны быть раскрашены по-разному.

      Тем самым кубический плоский граф, полученный склеиванием двух деревьев различных  ассоциаций, получит такую раскраску  ребер, что в любой вершине  сходятся три по-разному окрашенных ребра. Это так называемая правильная 3-раскраска ребер.

      В-третьих, причем здесь проблема четырех красок? Дело в том, что проблемы правильной 4-раскраски вершин и правильной 3-раcкраски ребер эквивалентны. Точнее, справедлива 

      Теорема 4. Всякий кубический граф без разделяющих  ребер допускает правильную 3-раскраску  ребер.

      Эта теорема эквивалентна теореме 1 о  правильной 4-раскраске карт. Доказательство эквивалентности не очень сложно, и его можно найти в большинстве  учебников по теории графов.

      Объясним  лишь, как 4-раскраска областей кубического  графа порождает 3-раскраску его  ребер. Пусть области кубического  графа окрашены четырьмя красками. Вместо того чтобы нумеровать краски числами 1, 2, 3 и 4, занумеруем их парами (0, 0), (0, 1), (1, 0) и (1, 1). При отсутствии разделяющих  ребер к каждому ребру примыкают  две разные области. Припишем ребру, разделяющему области, окрашенные с  помощью (i, j) и (k, l ), цвет по формуле (i + k, j + l )(mod 2). Здесь n(mod 2) означает остаток  от деления n на 2. Различающиеся пары цветов областей порождают только три  пары (0, 1), (1, 0) и (1, 1) для раскраски  ребер.

      Доказательство  Аппеля и Хакена, в целом хотя и принятое математическим сообществом, вызывает до сих пор определенный скептицизм. Для читателя, поверхностно знакомого с математикой, предыдущая фраза должна вызвать изумление: а как же обязательный для математики принцип исключенного третьего, в соответствии с которым утверждение либо справедливо, либо нет? Дело обстоит не так просто. Вот что пишут сами авторы доказательства: "Читатель должен разобраться в 50 страницах текста и диаграмм, 85 страницах с почти 2500 дополнительными диаграммами, 400 страницами микрофишей, содержащими еще диаграммы, а также тысячи отдельных проверок утверждений, сделанных в 24 леммах основного текста. Вдобавок читатель узнает, что проверка некоторых фактов потребовала 1200 часов компьютерного времени, а при проверке вручную потребовалось бы гораздо больше. Статьи устрашающи по стилю и длине, и немногие математики прочли их сколько-нибудь подробно".

      Говоря  прямо, компьютерную часть доказательства невозможно проверить вручную, а  традиционная часть доказательства длинна и сложна настолько, что ее никто целиком и не проверял. Между  тем доказательство, не поддающееся  проверке, есть нонсенс. Согласиться  с подобным доказательством означает примерно то же, что просто поверить авторам. Но и здесь все сложнее.

      Вернемся  сначала к доказательствам формулы  Эйлера и теоремы о 5-раскраске. Ее-то вроде бы нетрудно проверить, взяв лист бумаги и карандаш. Но рассуждения  в ней основаны на очевидных соображениях типа: "Плоский граф разрезает  плоскость на совокупность D(G) неперекрывающихся  многоугольных областей". Между  тем это утверждение не принадлежит  к числу аксиом или школьных теорем плоской геометрии, и его нужно  доказывать. Соответствующая теорема, сформулированная К. Жорданом, доказывается очень непросто, однако основные трудности  связаны с тем, как следует  понимать слова типа "разрезает", интуитивно вполне ясные, но с трудом поддающимся формализации. В свете  этого замечания становится уже  не совсем понятным, доказана ли теорема  о пяти красках или мы поверили правдоподобным рассуждениям, основанным на интуитивных представлениях о  свойствах геометрических фигур.

      Долгое  время идеалом математической строгости  были формулировки и доказательства Евклида, в которых осуществлялась программа вывода теорем из аксиом по определенным правилам (метод дедукции, позволяющий получать неочевидные  утверждения из очевидных посредством  ряда явно предъявляемых элементарных, очевидно законных, умозаключений). Этот образец строгости и в наше время недостижим в курсе школьной математики, но для современной чистой математики стандарты Евклида недостаточны. Евклид, по-видимому, не задумывался  над тем, почему прямая делит плоскость  на две части (и что это значит), он не определял понятия "между", считая это понятие очевидным  и т.д. Большая часть соответствующих  утверждений доказана или включена в аксиоматику геометрии только в последнюю сотню лет. Формальные выводы из новой системы аксиом стали  гораздо длиннее, чем в античные времена.

      Трудно  даже вообразить длину полного вывода теоремы о пяти красках в соответствии с современными стандартами математической логики и системы аксиом геометрии. Но совершенно точно, что такое рассуждение  никто никогда не проделывал из-за бесполезности этого занятия: формальные выводы практически не поддаются  проверке в силу свойств человеческой психики: помимо их гораздо большей (по сравнению с привычными рассуждениями) длины их сознательное усвоение идет гораздо медленнее. Поэтому обычно удовлетворяются уверенностью в  том, что формальный вывод возможен в принципе.

      В формуле Эйлера, например, математики не сомневаются. Вообще принятие доказательства есть некий социальный акт. Выдающийся алгебраист Ю.И. Манин в своей  книге "Доказуемое и недоказуемое"⁵ пишет по этому поводу: "...отсутствие ошибок в математической работе (если они не обнаружены), как и в других естественных науках, часто устанавливается по косвенным данным: имеют значение соответствие с общими ожиданиями, использование аналогичных аргументов в других работах, разглядывание "под микроскопом" отдельных участков доказательства, даже репутация автора, словом, воспроизводимость в широком смысле. "Непонятные" доказательства могут сыграть очень полезную роль, стимулируя поиски более доступных рассуждений."

      Именно  такая история происходит и с  доказательством теоремы о четырех  красках. Не так давно появилось  новое доказательство, причем та часть, которая выполнена не на компьютере, уже поддается проверке. Однако компьютерная часть все еще остается скорее предметом веры. Ведь даже проверка распечаток всех программ и всех входных  данных не может гарантировать от случайных сбоев или даже от скрытых  пороков электроники (вспомним, что  ошибки при выполнении деления у  первой версии процессора Pentium были случайно обнаружены спустя полгода после  начала его коммерческих продаж –  кстати, математиком, специалистом в  теории чисел). По-видимому, единственный способ проверки компьютерных результатов  – написать другую программу и  для другого типа компьютера. Это, конечно, совсем непохоже на стандартный  идеал дедуктивных рассуждений, но именно так осуществляется проверка утверждений во всех экспериментальных  науках⁶.

      Из  которых математика, стало быть, исключена напрасно.  
 
 
 
 
 
 
 
 

      2 Математическая логика и теория типов

      Математическая  логика — раздел математики, изучающий доказательства. Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу»⁷.

      Применение  в логике математических методов  становится возможным тогда, когда  суждения формулируются на некотором  точном языке. Такие точные языки  имеют две стороны: синтаксис  и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих  считать одни формулы верными, а  другие — нет.