Теория графов. Математическая логика и теория типов

      Согласно теореме Кука, доказанной Стивеном Куком в 1971-м году, проблема SAT NP-полна.

      Чтобы четко сформулировать задачу распознавания необходимо условиться об алфавите, с помощью которого задаются экземпляры языка. Этот алфавит должен быть фиксирован и конечен. В своей книге Хопкрофт, Мотвани и Ульман предлагают использовать следующий алфавит: {« », « », « », «(», «)», «x», «0», «1»}.

      При использовании такого алфавита скобки и операторы записываются естественным образом, а переменные получают следующие  имена: x1, x10, x11, x100 и т. д., согласно их номерам, записанным в двоичной системе счисления.

      Пусть некоторая булева формула, записанная в обычной математической нотации, имела длину N символов. В ней каждое вхождение каждой переменной было описано хотя бы одним символом, следовательно, всего в данной формуле не более N переменных. Значит, в предложенной выше нотации каждая переменная будет записана с помощью символов. В таком случае, вся формула в новой нотации будет иметь длину символов, то есть длина строки возрастет в полиномиальное число раз.

      Например, формула  примет вид .

      Семь  мостов Кёнигсберга. Семь мосто́в Кёнигсберга существовали в Кёнигсберге (нынешнем Калининграде) в XVI—XX веках (см. Рис. 2). Взаимное расположение мостов натолкнуло математика Леонарда Эйлера на размышления, приведшие к возникновению теории графов.

        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      Рис. 2. Старинная карта Кёнигсберга. Буквами обозначены части города: А — Альтштадт, Б — Кнайпхоф, В — Ломзе, Г — Форштадт. Цифрами обозначены мосты (в порядке строительства): 1 — Лавочный, 2 — Зелёный, 3 — Рабочий, 4 — Кузнечный, 5 — Деревянный, 6 — Высокий, 7 — Медовый 

      Издавна среди жителей Кёнигсберга была распространена такая загадка: как  пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды? Многие кёнигсбержцы пытались решить эту задачу, как  теоретически, так и практически, во время прогулок. Но никому это  не удавалось, однако доказать, что  это даже теоретически невозможно.

      В 1736 году задача о семи мостах заинтересовала выдающегося математика, члена Петербургской  академии наук Леонарда Эйлера, о чём  он написал в письме итальянскому математику и инженеру Мариони от 13 марта 1736 года. В этом письме Эйлер  пишет о том, что он смог найти  правило, пользуясь которым легко  определить, можно ли пройти по всем мостам, не проходя дважды ни по одному из них (в случае семи мостов Кёнигсберга это невозможно).

      На  упрощённой схеме части города (графе) мостам соответствуют линии (рёбра  графа), а частям города — точки  соединения линий (вершины графа). В  ходе рассуждений Эйлер пришёл к  следующим выводам:

      • Число нечётных вершин (вершин, к которым ведёт нечётное число рёбер) графа всегда чётно. Невозможно начертить граф, который имел бы нечётное число нечётных вершин.

      • Если все вершины графа чётные, то можно, не отрывая карандаша от бумаги, начертить граф, при этом можно начинать с любой вершины графа и завершить его в той же вершине.

      • Граф с более чем двумя нечётными вершинами невозможно начертить одним росчерком.

      Граф  кёнигсбергских мостов имел четыре нечётные вершины, следовательно невозможно пройти по всем мостам, не проходя ни по одному из них дважды³.

        
 
 
 
 
 
 
 

      Рис. 3. Упрощённая схема мостов Кёнигсберга. Значение букв и цифр — см. Рис.2 - комментарий к старинной карте Кёнигсберга 

        
 
 
 
 
 

      Рис. 4. Граф кёнигсбергских мостов 

      Созданная Эйлером теория графов нашла очень  широкое применение: например, её используют при изучении транспортных и коммуникационных систем, в частности, для маршрутизации  данных в Интернете.

      Проблема  четырёх красок — математическая задача, предложенная Ф. Госри (англ. Francis Guthrie) в 1852 году.

      Выяснить, можно ли всякую, расположенную на сфере карту, раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две  области, имеющие  общий участок  границы в виде дуги, были раскрашены в разные цвета.

      К. Аппель и В. Хакен доказали в 1976 г., что так можно раскрасить любую  карту. Это была первая крупная математическая теорема, для доказательства которой  был применён компьютер. Не смотря на последующие упрощения, доказательство практически невозможно проверить  не используя компьютер.

      Раскрашивая географическую карту естественно  пользоваться по возможности меньшим  количеством цветов, однако так, чтобы  две страны, имеющие общую часть  границы (не только общую точку), были окрашены по-разному. В 1852 году Френсис  Гутри (Guthrie), составляя карту графств  Англии, обратил внимание, что для  такой цели вполне хватает четырех  красок. Его брат, Фредерик, сообщил  об этом наблюдении известному математику О. Де Моргану (DeMorgan), а тот – математической общественности. Точная формулировка гипотезы опубликована А. Кэли (Cayley, 1878).

      Первое  доказательство появилось год спустя и принадлежало В. Кемпе (Kempe). Одиннадцать  лет спустя П. Хивуд (Heawood) обнаружил  в нем ошибку⁴. За первым ошибочным доказательством последовало множество других. В этом отношении проблема четырех красок уступала лишь знаменитой проблеме Ферма. До середины XX века, хотя проблемой четырех красок занимались многие выдающиеся математики, положение с доказательством изменилось несущественно: идеи Дж. Д. Биркгофа позволили П. Франклину в 1913 году доказать гипотезу для карты с не более чем 25 странами. Позже это число было увеличено до 38.

      В 1977 году доказательство гипотезы четырех  красок было наконец получено К. Аппелем  и У. Хакеном (Appel, Haken) и опубликовано в двух статьях. Значительную часть  рутинных проверок выполнил компьютер, и это революционное нововведение в сложившуюся практику дедуктивных  рассуждений в чистой математике служит основанием для некоторого естественного  скептицизма по отношению к данному  доказательству и по сей день. Сначала  мы приведем точные формулировки, докажем  теорему о пяти красках и укажем некоторые эквивалентные проблемы.

      Проблемы  раскраски карты на глобусе и  плоскости эквивалентны. Действительно, в случае карты на сфере можно  вырезать кусок внутренней области  какой-либо страны; продырявленную сферу  можно деформировать (растянуть) в  плоскую область – представим, что карта сделана из тонкой резины. На плоской карте отверстие превратится  в "океан", омывающий со всех сторон одну страну. Разумеется, длины границ, их форма, размеры стран подвергнутся при растяжении значительным изменениям, но сетка границ останется, добавится  лишь растянутая граница прорезанного отверстия, внешняя граница океана. Ее можно убрать, то есть раскрасить океан так же, как и окруженную им страну. Такие деформации стран и их границ, очевидно, не меняют задачи раскраски. Ниже рассматривается плоская карта.

      Начнем  с того, что заменим задачу раскраски  плоской карты на эквивалентную  ей проблему, касающуюся плоских графов. Выберем столицу у каждой страны (то есть выберем по одной внутренней точке в каждой из стран) и соединим дугами столицы стран, имеющих общий  сегмент границы. В результате получится  так называемый плоский граф.

      Определение 1. Графом G называется конечное множество  вершин V(G) и конечное множество ребер R(G ), так что каждое ребро имеет  своими концами две различные  вершины. Граф называется плоским, если вершины являются точками плоскости, а ребра – ломаными линиями (составленными  из отрезков) в этой же плоскости, имеющими своими концами вершины, не пересекающимися  между собой и не включающими  других вершин, кроме своих концов.

      Отметим, что в плоском графе не допускаются  петли (ребра, имеющие началом и  концом одну и ту же вершину).

      Плоский граф разрезает плоскость на совокупность D(G) неперекрывающихся многоугольных  областей, необязательно конечных (рис. 5).

        
 
 
 
 
 
 
 

Рис. 5. 4-раскраска  плоского графа 

      Если  перенумеровать используемые краски 1, 2, ..., n, то на соответствующем карте  плоском графе этими числами  окажутся занумерованы вершины / столицы.

      Определение 2. Правильной n-раскраской плоского графа G называется отображение f: V(G ) ® {1, 2, ..., n}, причем f(u1) # f(u2) в случае, если существует такое ребро r k R(G ), что граница r состоит из u1 и u2 .

      Наконец, можно сформулировать проблему четырех  красок в виде следующего утверждения.

      Теорема 1. Любой плоский граф допускает  правильную 4-раскраску.

      Вот решение этой-то проблемы и заняло более столетия. Однако на первый взгляд чуть более слабое утверждение о  правильной 5-раскраске доказать достаточно просто. Для доказательства понадобится  формула Эйлера, связывающая число  вершин, ребер и областей. Пусть | M | обозначает число элементов конечного  множества M.

      Теорема Эйлера. Для любого плоского графа | V(G) | – | R(G) | + | D(G) | = 2.

      Заметим, что если не учитывать внешнюю  бесконечную область, то формула  Эйлера для триангуляции конечного  плоского графа имеет вид | V(G ) | – | R(G ) | + + | D(G ) | = 1.

      Теорема 2. Любой плоский граф допускает  правильную 5-раскраску.

      Доказательство. Сначала упростим граф. Если есть несколько  ребер, соединяющих некоторую пару вершин (такая ситуация может возникнуть, если две страны имеют несколько  несвязанных между собой кусков границы, например как у России и  Китая), то оставим только одно ребро: правильность раскраски такого уменьшенного графа все равно гарантирует  правильную раскраску исходного.

      Проведем  теперь индукцию по числу вершин графа. Для графа с тремя вершинами  утверждение теоремы очевидно. Пусть  оно справедливо для всех графов с n – 1 вершиной.

      Пусть D1 , D2 , ..., Dm – полный набор всех m = D(G ) областей графа, а N(Di) – число  ребер, составляющих границу i-й области  графа. При этом N(Di) ³ 3 для любого i. Любое ребро входит в границу в точности двух областей, поэтому

      N(D1) + N(D2)+ ... +N(Dm) = 2R(G ).

      Вследствие  неравенств N(Di) ³ 3 имеем

      2R(G ) = N(D1) + N(D2) + ... + N(Dm) ³ 3m = 3D(G ),

      откуда 2R(G ) ³ 3D(G ).

      По  формуле Эйлера | V(G ) | – 2 + | D(G ) | = | R(G ) |, откуда

      3 | R(G ) | = 3 | V(G ) | – 6 + 3 | D(G ) | £ 3 | V(G ) | – 6 + 2 | R(G ) |

      и, следовательно,

      | R(G ) | £ 3 | V(G ) | – 6.

      Заметим, что удвоенное число ребер  можно отождествить и с другой характеристикой графа. Пусть a1 , a2 , ... ..., an есть полный набор n = V(G ) вершин графа, а M(aj) – число ребер, сходящихся в вершине с номером j. Но каждое ребро заканчивается двумя вершинами, поэтому 

      2R(G) = M(a1) + M(a2) + ... + M(an).

      Кроме того, как это следует из неравенства (1), 2 | R(G ) | £ 6 | V(G ) | – 12. Следовательно,

      M(a1) + M(a2) + ... + M(an) £ 6 | V(G ) | – 12.

      Из  последнего неравенства можно вывести, что существует по крайней мере одна вершина, в которой сходится не более  пяти ребер. Действительно, предположим  противное, то есть "j M(aj) ³ 6. Тогда