Среднеквадратичные приближения функций

Содержание:

 

Введение..............................................................................................................3

§1. СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ……………………...4

1.1.     Наилучшее приближение........................................................................6

1.2.     Линейная аппроксимация........................................................................8

1.3.     Суммирование рядов Фурье...................................................................12

1.4.     Метод наименьших квадратов................................................................13

§2. Приближение функций,  заданных таблицей, тригонометрическими многочленами  по методу наименьших квадратов....................................15

§3. Реализация и тестирование метода наименьших квадратов.

3.1. Описание программы..................................................................................19

3.2. Тестирование программы...........................................................................22

Заключение.........................................................................................................23

Литература..........................................................................................................24

Текст программы................................................................................................25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Сложные вычислительные задачи, возникающие при исследовании физических и технических проблем, можно разбить на ряд элементарных - таких как вычисление интеграла, решение дифференциального уравнения и т. п. Многие элементарные задачи являются несложными и хорошо изучены. Для этих задач уже разработаны методы численного решения, и нередко имеются стандартные программы решения их на ЭВМ. Есть и достаточно сложные элементарные задачи; методы решения таких задач сейчас интенсивно разрабатываются (например, решение уравнений бесстолкновительной плазмы).

Численные методы являются одним из мощных математических средств решения задачи. Простейшие численные методы мы используем всюду, например, извлекая квадратный корень на листке бумаги. Есть задачи, где без достаточно сложных численных методов не удалось бы получить ответа; классический пример—открытие Нептуна по аномалиям движения Урана.

В современной физике таких задач много. Более того, часто требуется выполнить огромное число действий за короткое время, иначе ответ будет не нужен. Например, суточный прогноз погоды должен быть вычислен за несколько часов; коррекцию траектории ракеты надо рассчитать за несколько минут'(напомним, что для расчета орбиты Нептуна Леверье потребовалось полгода); режим работы прокатного стана должен исправляться за секунды. Это немыслимо без мощных ЭВМ, выполняющих тысячи или даже миллионы операций в секунду.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§1.  СРЕДНЕКВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ

 

В данной теме будут рассмотрены вопросы приближения функций f(х), принадлежащих к некоторому классу R, функциями φ(x) из более узкого класса , но за меру близости будет приниматься величина

или

где   р(х) — заданная   неотрицательная   функция,   называемая весом. Такое   понятие близости  имеет смысл по следующим причинам:

 

1.  Во многих случаях  нет никакой необходимости требовать  близости f(х) и φ(x) в каждой точке , т. е. требовать равномерного приближения, а достаточно лишь «интегральной» близости функций.

 

2.  Очень часто приближаемая  функция f(х) задана лишь таблицей ее значений, причем последние получены из эксперимента, т.е. имеют случайные погрешности. Если в процессе решения задачи требуется находить значения f(x) для промежуточных значений или иметь аналитическое представление функции f(х), то нецелесообразно прибегать к интерполированию, так как совсем не естественно требовать точного совпадения приближающей и приближаемой функций в некоторых точках, так как значения самой приближаемой функции неточны. Практика показывает, что приближающие функции, построенные по методу среднеквадратичного приближения, значительно лучше представляют реальную функцию f(x), чем интерполяционные многочлены.

3. Так определенная мера близости позволяет расширить класс R приближаемых функций. При рассмотрении равномерного приближения мы ограничивались классом С непрерывных функций, и это было   существенное   требование,   если ставить задачу равномерного приближения функции f(x) многочленами с любой заданной точностью. Здесь же требование непрерывности излишне. Нужно лишь требовать существования   ,   г. е. можно рассматривать приближение  функций   из класса функций, интегрируемых с квадратом с весом p(x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. 1.  Наилучшее приближение

Интерполяция позволяет  легко аппроксимировать функцию у(x). Однако точность такой аппроксимации гарантирована лишь в небольшом интервале порядка нескольких шагов сетки. Для другого интервала приходится заново вычислять коэффициенты интерполяционной формулы. Нам же всегда желательно иметь единую приближенную формулу , пригодную для большого отрезка . Поэтому далее будем сравнивать заданную и аппроксимирующую функции на большом отрезке.

При интерполяции мы приравниваем значения у(x) и φ(x) в узлах. Если определены неточно - например, из эксперимента, - то точное приравнивание неразумно. Поэтому нередко целесообразней приближать функцию не по точкам, а в среднем, т. е. в норме L_p.

Пусть заданы функция у(х) и множество функций φ(x), принадлежащие линейному нормированному пространству функций. Нас интересуют две задачи. Первая — аппроксимация с заданной точностью: по заданному найти такую φ(x), чтобы выполнялось неравенство . Второе — нахождение наилучшего приближения, т. е. функции , удовлетворяющей соотношению

     (1)

Существует ли наилучшее  приближение и единственно ли оно (для данных функции и множества)? Это имеет место не при любом выборе пространства и множества. Например, в пространстве , выберем функцию у(х) = 1 и множество φ(x)= cx; тогда

В самом деле, при  эта норма равна площади заштрихованной  трапеции   на   рис. 1, а,   т. е. двум.  При  |c|>1 эта норма, согласно рис. 1, б, равна площади заштрихованной трапеции (которая опять равна двум) плюс площади заштрихованных треугольников. Значит, для любого c, по модулю меньшего единицы, φ=cx минимизирует норму отклонения, т. е. наилучшее приближение здесь существует, но оно не единственно.

 

Рис. 1.

Выведем достаточное  условие существования наилучшего приближения. Пусть в линейном пространстве функций выбрано множество, образованное функциями вида

           (2)

где функции  можно считать линейно-независимыми. Это множество есть линейное подпространство нашего пространства. Изменим один из коэффициентов суммы (2) на величину ; получим

т. е.   норма непрерывно   зависит  от a_к.Очевидно, также есть непрерывная функция коэффициентов a_k..

      Рассмотрим нормы как функции координат а_к. Сфера

есть замкнутое ограниченное множество, поэтому  на этой сфере имеет точную нижнюю грань и в силу непрерывности достигает ее при некотором . Очевидно, >0; в противном случае , что противоречит линейной независимости .

 

Возьмем шар , где какое-то положительное число. В силу однородности нормы функции вне этого шара и, следовательно, . Значит, вне этого шара норма погрешности заведомо далека от нижней грани. Только внутри шара у(х) и достаточно близки по норме. Но шар - ограниченное и замкнутое множество значений координат a_k, поэтому непрерывная функция координат достигает на нем точной нижней грани.

Следовательно, в любом  линейном нормированном пространстве при линейной аппроксимации (2) наилучшее приближение существует, хотя не во всяком линейном пространстве оно единственно.

На практике используются пространства L₂ и С. Рассмотрим приближения в пространстве L₂, т. е. среднеквадратичную аппроксимацию.

 

1.2. Линейная аппроксимация.

Рассмотрим гильбертово пространство действительных функций, интегрируемых с квадратом с весом >0 на [a, b]. Норма в нем равна где скалярное произведение определено следующим образом:

Выберем в качестве аппроксимирующей функции линейную комбинацию (2). Подставляя ее в условие наилучшего приближения (1), получим

Приравнивая нулю производные  по коэффициентам, получим систему  линейных уравнений

         (3)

Её определитель есть определитель Грама функций ; поскольку функции линейно-независимы, он отличен от нуля. Следовательно, наилучшее среднеквадратичное приближение существует и единственно. Для его вычисления необходимо решить систему линейных уравнений (3).

Линейно-независимую  систему функций можно ортогонализировать.  Пусть уже образуют ортонормированную систему, т. е.  ;  тогда формулы (3)  резко упрощаются  и становятся удобными для вычислений

        (4)

Это коэффициенты Фурье, так что наилучшее приближение есть отрезок обобщенного ряда Фурье.

       Если функции образуют полную ортонормированную систему, то в силу равенства Парсеваля

Значит, при  норма погрешности неограниченно убывает, т. е. наилучшее приближение среднеквадратично сходится к у(x), и возможна аппроксимация с любой точностью.

Отметим, что если не ортогональны, то при определитель Грама обычно быстро стремится к нулю, система (3) становится плохо обусловленной, т. е. ее решение связано с большой потерей точности, и больше 5 — 6 членов суммы (2) брать нецелесообразно. Численная ортогонализация базиса при этом тоже приводит к большой потере точности. Поэтому если нужно большое число членов, то надо или проводить ортогонализацию точно (аналитически), или пользоваться готовыми системами ортогональных функций.

При интерполяции мы обычно полагали . Для среднеквадратичной аппроксимации удобнее в качестве брать многочлены, ортогональные с заданным весом. Наиболее употребительны из них многочлены Якоби (частным случаем которых являются многочлены Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрмита. Для аппроксимации периодических функций используют тригонометрический ряд; он соответствует .

Все перечисленные выше системы функций полные, так что  наилучшие приближения по ним  среднеквадратично сходятся при , если у(х) интегрируема с квадратом с заданным весом. При более сильных ограничениях имеет место сходимость во всех точках и даже равномерная сходимость.

 

Замечание 1. Сходимость не во всех случаях может быть равномерной. Более того, не существует такого веса , чтобы любая непрерывная функция у(х) разлагалась в равномерно сходящийся ряд по полиномам, ортогональным с этим весом. Дю Буа-Реймондом и Л. Фейером были построены примеры периодических непрерывных функций, у которых тригонометрический ряд Фурье в отдельных точках расходится.

 

Замечание 2. Сходимость среднеквадратичного приближения тем лучше, чем меньше у функции у(х) особенностей - разрывов ее самой или ее производных. Если можно выделить основные особенности в виде несложной функции у₀(x) и аппроксимировать разность у(x) - у₀(x), точность аппроксимации существенно улучшается.

Например, периодически продолжим функцию, изображенную сплошной линией на рис. 2, и аппроксимируем ее тригонометрическим рядом Фурье. Этот ряд сходится в каждой точке, но неравномерно, ибо периодическое продолжение у(х) разрывно. Если же мы положим у₀(x)=x то функция у(x)-у₀(х), изображенная пунктиром на рис. 2, имеет непрерывное периодическое продолжение, и ее ряд Фурье сходится к ней равномерно. Скорость сходимости ряда при этом также возрастает.

 

Замечание 3.  Алгебраический многочлен наилучшего среднеквадратичного приближения обладает свойством, напоминающим лагранжеву интерполяцию: разность у(x) – P_n(x) на интервале (а, b) имеет не менее n+1 нуля.

 

 

                                Рис. 2.                                                                Рис. 3,

В самом деле,   предположим  обратное:   нули  этой  разности   суть  , где . Составим многочлен

тогда произведение [у (х) - Р_п (х)] Q_m (x) не меняет знак, следовательно,

Но если в (3) положить , то квадратные скобки в сумме должны обратиться в нуль. Полученное противоречие доказывает наше утверждение.

 

 

 

1.3. Суммирование рядов Фурье.

Нахождение наилучшего приближения приводит к суммированию рядов. Казалось бы, просуммировать ряд нетрудно. Но, во-первых, он далеко не всегда сходится равномерно, даже при наличии сходимости в каждой точке. Так, если у(х) = 1 на первой половине периода и у(х) = 0 на второй, то максимум частной суммы тригонометрического ряда Фурье стремится к 1,09 при (явление Гиббса, рис. 3), хотя в любой точке, кроме точки разрыва, этот ряд сходится к функции.