Решение системы линейных алгебраических уравнений Метод Халецкого

Министерство  образования и науки РФ

ГОУ ВПО  Тамбовский государственный технический  университет 
 
 
 
 
 
 
 
 

Кафедра: «ТО и ПТ» 
 
 

Лабораторная  работа №2

«Решение системы линейных алгебраических уравнений

Метод Халецкого» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила: студентка группы СМП-31

Павлова А.Г

Проверил: Ермаков А.А  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Тамбов 2011 
 

Точный метод  решения СЛАУ - метод Холецкого (метод  квадратных корней).

Он применяется  в случае, если матрица системы  является симметричной и положительно определенной. В основе метода лежит алгоритм специального LU-разложения матрицы А, где L - нижняя треугольная матрица, а U - верхняя треугольная матрица (если главный минор не равен 0, то существует разложение, причем оно единственно).

Разбиение матрицы  А= на верхнюю и нижнюю к примеру будет выглядеть так 

L = и U = . 

В результате преобразований матрица А приводится к виду A= (где - транспонированная матрица). Если разложение получено, то решение системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: и . Для нахождения коэффициентов матрицы L неизвестные коэффициенты матрицы приравнивают соответствующим элементам матрицы A. Затем последовательно находят требуемые коэффициенты по формулам: 

, i = 2, 3,..., m,

, i = 3, 4,..., m,

, i = k+1,..., m,

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Постановка  задачи 
 

Решить систему  линейных алгебраических уравнений  вида Ах=b, где А={ау} – квадратная матрица порядка m, b={b1, b2,…,bm}T – вектор-столбец  правых частей системы. По найденному решению получить вектор навязки правой части системы. 
 

Решение программы в Matlab 

A=[ 0.38  -0.05  0.01  0.02  0.07;...

    0.052  0.595  0    -0.04  0.04;...

    0.03      0   0.478  -0.14 0.08;...

    -0.06  1.26  0  0.47 -0.06;...

    0.25  0  0.09  0.01  0.56 ] ;

B=[ 2.32;

    2.544;

-3.238;

    1.534;

    0.12];

[N,N]=size(A);

u=zeros(N,N);

z=zeros(N,1);

x=zeros(N,1);

u(1,1)=sqrt(A(1,1));

for j=2:N;

    u(1,j)=A(1,j)/u(1,1);

end

for i=2:N

    s=0;

    for k=1:i-1;

        s=s+u(k,i)*u(k,i);

    end

    if (A(i,i)-s)<0,break,end

    u(i,i)=sqrt(A(i,i)-s);

    for j=i+1:N;

        s=0;

        for k=1:i-1

            s=s+u(k,i)*u(k,i);

        end

        u(i,j)=(A(i,j)-s)/u(i,i);

    end

end

end

z(1)=B(1)/u(1,1);

for i=2:N

    s=0;

    for k= 1:i-1

       s=s+u(k,i)*u(k,i);

   end

   z(i)=B(i)-s/u(i,i);

end

   x(N)=z(N)/u(N,N);

   for i=N-1:-1:1

       s=0;

       for k=i +1:N

           s=s+u(i,k)*x(k);

       end

       x(i)=(z(i)-s)/u(i,i);

   end

x 
 

  Результат 

        x = 

    6.5331

    3.4358

   -4.0312

    2.2625

    0.0608