Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский  государственный технический университет

им. И.И. Ползунова» 

БИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ  ИНСТИТУТ (филиал) 

Кафедра информатики и вычислительной математики 

 

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ 
ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДОМ (МЕТОД СЕКУЩИХ) 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 

К КУРСОВОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Информатика» 

КР 080401.08.000 ПЗ

обозначение документа 

Выполнил 

студент   гр. ТИЭТ-01      Л.В.Лемжина

                                        подпись                         и.о. фамилия

Нормоконтролер

доцент, к.т.н.        Г.И.Севодина

                                                                  подпись                          и.о. фамилия 
 
 
 
 
 
 

Бийск 2011 
 

Федеральное агентство Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Алтайский  государственный технический университет

им. И.И. Ползунова»

Бийский технологический институт (филиал)

Кафедра информатики и вычислительной математики

УТВЕРЖДАЮ

Зав. кафедрой ИВМ

__________   Г.И. Севодина

«_15» __февраля___  2011_ г.

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу по дисциплине «Информатика»

студенту__ Лемжиной Л.В.________________________________

группа _____ТиЭТ-01________________ факультет ___ХТиМ_________

Тема  проекта: «Решение нелинейного уравнения численным методом»

Срок  сдачи студентом законченного проекта ___1.06.10_______________

Исходные  данные к проекту: (Текст задания)______Вариант 8______________

__Дано нелинейное уравнение.  Исследовать поведение функции графически, отделить корни, провести математическую проверку на наличие корня в выбранных интервалах и его единственность.  Реализовать решение в автоматизированной системе MathCad. Найти корни (не более 3) вблизи начала координат с заданной точностью e=10^-7.    ____

   Разработать алгоритм  уточнения  корня методом  секущих и представить  его  в виде блок-схемы. Разработать проект решения нелинейного  уравнения в визуальной среде Delphi.______________________________________

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Дата  выдачи задания: _____15.02.10_____________________________________

_______________(Ф.И.О.)______________(подпись  студента) 

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………………………………………….4

Теоретические сведения 5

Отделение корней 7

Метод хорд 8

   Блок-схема метода хорд………………………………………………………………………………10

Практическая  часть 11

Заключение 13

Список  литературы 14 
 

 

Введение

     В данной курсовой работе рассмотрена  проблема решения линейных уравнений. Проблема разработки алгоритма решения и написание на его основе приложения является практически актуальной, так как решение уравнений без привлечения ЭВМ является достаточно трудоемким.

     Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений с одной переменной не решается путем аналитических  преобразований (точными методами), на практике их решают только численными методами. Решить такое уравнение- это  значит установить, имеет ли оно  корни, сколько корней, и найти  значения корней с заданной точностью.

 

Теоретические сведения

     В общем случае нелинейное уравнение  можно записать в виде

     ,    (1)

     где функция определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале  .

     Любое число , обращающее функцию в нуль, , называется корнем уравнения (1).

     Два уравнения  и называются равносильными, если всякое решение каждого из них, является решением и для другого.

     Нелинейные  уравнения с одним неизвестным  подразделяются на алгебраические и трансцендентные.

     Уравнение (1) называется алгебраическим, если функция является многочленом. Известно, что всякое алгебраическое уравнение степени n имеет ровно n корней, вещественных или комплексных, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность. Если функция не является алгебраической, то уравнение (1) называется трансцендентным. В общем случае уравнение (1) может быть решено с помощью известных формул лишь для очень узкого класса функций. Так, например, для алгебраических уравнений степени выше четырех не существует общих формул, выражающих корни этих уравнений через их коэффициенты. Поскольку большинство уравнений не решается точными методами, на практике их решают с помощью численных методов. Если функция не является многочленом, то типичной является ситуация, когда по виду уравнения нельзя выписать точные значения корней и даже определение числа корней представляет трудную задачу. Решить такое уравнение – это значит установить имеет ли оно корни, сколько их, и найти значения корней с заданной степенью точности.

     Приближенное  решение уравнений, как правило, поводится в два этапа: отделение  корней, т.е. нахождение достаточно малых  отрезков, в которых содержится только по одному корню и уточнение корней, т.е. вычисление корней с заданной степенью точности.

     Численные методы, в которых производится последовательное, шаг за шагом уточнение начального приближения  к корню, называются итерационными методами, а каждый такой шаг называется итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня: , называемой итерационной последовательностью. Если с ростом n эти значения приближаются к истинному значению корня, то говорят, что итерационный процесс сходится, в противном случае - расходится. Наиболее распространенными численными методами решения уравнения (1) являются: метод хорд, метод касательных (Ньютона), метод простой итерации и метод половинного деления. Применение того или иного метода для решения уравнения, зависит от поведения функции , числа корней и начального приближения.

 

Отделение корней

     Первый  этап численного решения уравнения  состоит в отделении корней, т.е. установлении «тесных» промежутков, содержащих только один корень. Во многих случаях отделение корней можно произвести графически, например с использованием автоматизированной системы программирования MathCAD. Действительные корни уравнения (1) - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс, достаточно построить график и отметить на оси отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение (1) равносильным ему уравнением

           (2).

     В этом случае строятся графики функций  , а потом на оси отмечаются отрезки, содержащие абсциссы точек пересечения этих графиков. При этом графическое отделение корней следует подкрепить вычислениями, используя следующие известные положения:

1. если непрерывная на отрезке функция принимает на его концах значения разных знаков, т.е. , то уравнение имеет на этом отрезке по крайней мере один корень.
2. если функция строго монотонна, то корень на отрезке единственный.

 

 

     Метод хорд

     Пусть уравнение (1) имеет на отрезке один корень, а функция на этом отрезке непрерывна. Пусть для определенности функция возрастает и выпукла вверх, причем и , , что соответствует рисунку 1.

      Геометрический  смысл метода хорд состоит в том, что дуга кривой заменяется хордой и ищется точка пересечения хорды с осью абсцисс, которая и берется в качестве следующего приближения к решению.

     Из  рисунка видно, что левый конец  интервала остается неподвижным, а  правый конец выбран в качестве начального приближения к корню: , . Из уравнения прямой, проведенной через точки и получим значение , равное абсциссе точки пересечения хорды с осью абсцисс. Корень теперь находится на отрезке . Применяя снова метод хорд, проведем прямую через точки и , получим и т.д. . Получаем последовательность приближенных значений , каждый последующий член которой ближе к истинному значению корня, чем предыдущий. Рассмотрим случай, когда функция возрастает и выпукла вниз, и , , что соответствует рисунку 2.

     В данном случае правый конец интервала  остается неподвижным, а левый конец  выбран в качестве начального приближения  к корню: , . Заметим, что за начальное приближение к корню выбирается тот конец интервала, где функция и вторая производная имеют значения разных знаков, а другой конец, где функция и вторая производная имеют одинаковые знаки остается неподвижным.

      Рассмотрим  случай, когда функция  убывает и выпукла вверх, и , , что соответствует рисунку 3. В данном случае правый конец интервала остается неподвижным, а левый конец выбран в качестве начального приближения к корню: , .

     Возможен  случай, когда функция  убывает и выпукла вниз, и , , что соответствует рисунку 4. В данном случае левый конец интервала остается неподвижным, а правый конец выбран в качестве начального приближения к корню: , .

 

Блок-схема  метода хорд

 

Практическая  часть

     Найдем корни уравнения , методом секущих.

     Для начала необходимо построить график, и посмотреть на каких промежутках  функция  пересекает ось Ox.

  исходная функция

Построили график ,при котором значение х.. от -2 до 2.Шаг составляет 0.1.