Программа численного интегрирования

Министерство  образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет 
 

Кафедра «Горные машины» 
 
 
 
 
 
 
 

КУРСОВАЯ  РАБОТА

По  дисциплине «Информатика» 
 

Программа численного интегрирования 
 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 
 
 
 
 
 
 
 

Руководитель:          Ринкевич В. П. 
 
 

Исполнитель:        Семенова М. В.

гр. 102528 
 
 
 

2010 

Содержание 

Введение…………………………………………………………………………4

1. Постановка задачи………………………………………………………………5
2. Математическая формулировка задачи………………………………………..7
3. Алгоритмизация задачи…………………………………………………………9
4. Идентификаторы программы…………………………………………………..12
5. Блок-схема алгоритма…………………………………………………………..13
6. Текст исходной программы………………………………………………………..
7. Результаты выполнения программы……………………………………………...
8. Анализ результатов………………………………………………………………...
9. Инструкция по работе с программой……………………………………………..

Заключение…………………………………………………………………………

Список использованных источников……………………………………………..

 

     Введение 

     В курсовой работе в соответствии с  заданием на проектирование решается задача разработки программы вычисления определенных интегралов численными методами. Численное интегрирование используется, когда аналитическое нахождение значений первообразной функции  сложно или вообще невозможно. 

     В данной пояснительной записке проводится описание последовательности шагов  по составлению программы на алгоритмическом  языке Turbo Pascal 7.0 и результаты применения этой программы для нахождения приближенного значения интеграла численным методом Симпсона и методом трапеций. Рассматриваются вопросы математической формулировки и алгоритмизации задачи, разработки блок-схемы алгоритма её решения, составления исходной Pascal-программы и реализации вычислений по составленной программе. 

     Выбор метода вычисления, обращение к справке  по программе и выход из программы  обеспечивается с помощью специального меню. Ввод исходных данных и вывод  результатов вычисления интеграла  выполняется в отдельном для  каждого метода вычислений окне. 

     В пояснительной записке приводится также анализ точности вычислений определенного  интеграла использованными методами.

 

1. Постановка  задачи

 

  Ставится  задача составить программу вычисления интеграла вида 

I=  (1) 

где a и b – нижний и верхний пределы интегрирования, f(x) – непрерывная интегральная функция на отрезке [a, b]. Такой определённый интеграл можно трактовать как площадь фигуры (рисунок 1), ограниченной ординатами a и b, осью абсцисс x и графиком подынтегральной функции f(x). 

Рисунок 1. К вычислению определенного интеграла 

  Обыкновенный  определённый интеграл, у которого известна его первообразная F(x), вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница 

I=F(b)-F(a)   (2) 

  Численное интегрирование применяется, если нахождение F(x) сложно или невозможно. Оно заключается в интерполяции f(x) на отрезке [a, b] подходящим полиномом, для которого известна первообразная F(x). Обычно отрезок [a, b] разбивается на N частей, к каждой применяется соответствующая простая формула. 

  Таким образом, программа должна обеспечивать возможность:

• быструю смену подынтегральной функции f(x) путем замены аналитического выражения ее правой части в подпрограмме – функции;
• выбором пользователем численного метода вычисления интеграла;
• ввода с клавиатуры значений пределов интегрирования a и b и количества интегралов разбиения n;
• вывода результатов вычисления на дисплей в удобном для восприятия виде с отображением названия выбранного численного метода, значений пределов интегрирования и принятого числа интегралов разбиения;
• программа после загрузки должна выводить на дисплей исходное окно-заставку, в которой отображаются общие сведения о статусе программы и ее авторах;
• после выполнения указанной в строке подсказки процедуры перехода должно выводиться вертикальное меню с пунктами: «Справка», «Метод Симпсона», «Метод трапеций» и «Выход»;
• при выборе в меню пункта «Справка» должна выводится краткая выводиться краткая справка о назначении программы и порядке работы с ней;
• после выбора в меню варианта численного метода должно открываться отдельное окно, в котором будут выводиться запросы программы о значениях пределов интегрирования, числе интегралов разбиения и в этом же окне после ввода исходных значений будет выводиться результат вычисления интеграла выбранным методом;
• при выборе пункта меню «Выход» программы должна завершать работу.

 

 

2. Математическая  формулировка задачи

 

  Метод Симпсона.

  Подынтегральную функцию f(x) заменим интерполяционным полиномом второй степени P₂(x) – параболой, проходящей через узлы x₀, x₁, x₂ (рис 2), тогда 

(3) 

  где R – погрешность вычисления интеграла.

 

Рисунок 2. Метод Симпсона 

  Для записи полинома P₂(x) воспользуемся интерполяционной формулой Ньютона для трех узлов 

P₂(x)=f₀+f₀₁(x-x₀)+f₀₁₂(x-x₀)(x-x₁),     (4) 

где 

,

- разделенные разности; h – расстояние между узлами.

      Введем  новую переменную z=x-x₀, тогда x=z+x₀ и полиномом (4) принимает вид 

P₂(z)=f₀+(f₀₁-f₀₁₂h)z+f₀₁₂z²    (5) 

      Теперь  вычислим интеграл от полинома (5) 

    (6) 

      Последнее соотношение называют квадратурной формулой Симпсона, или формулой парабол где

f₀=f(x)   (7)

 – значение подынтегральной функции при текущем значении x; 

  (8) 

  (9) 

      Метод трапеций.

  Подынтегральную функцию заменим на участке [x_i, x_i+h] полиномом первой степени P₁(x). Такая аппроксимация неоднозначна. Одним из возможных способов является проведение прямой через значения функции на границах интервала интегрирования (рис. 3). В этом случае приближенное значение интеграла определяется площадью трапеции 

.

 

Рисунок 3. Метод трапеций

 

3. Алгоритмизация  задачи

 

  В соответствии с постановленной в разделе 2 задачей целесообразно реализовать алгоритм, использующий обращение к соответствующим подпрограммам из головной программы.

  Алгоритм  работы головной программы следующий:

1. Скрыть курсор с использованием подпрограммы – процедуры скрытия курсора и вывести в специальном окне заставку программы, содержащую сведения о назначении программы, исполнителе и руководителе курсовой работы, а также подсказку для пользователя о последующих действиях, с использованием подпрограммы – процедуры заставки.
2. Запустить подпрограмму-процедуру вертикального меню при нажатии любой клавиши с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и скрытия курсора.
3. Запустить подпрограмму-процедуру справки и вывести в специальном окне справочные сведения о работе с программой при выборе пункта меню «Справка» с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и скрытия курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
4. Запустить подпрограмму-процедуру вычисления интеграла методом Симпсона при выборе пункта меню «Метод Симпсона» с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки окна и выключения курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
5. Запустить подпрограмму-процедуру вычисления интеграла методом трапеций при выборе пункта меню «Метод трапеций» с использованием подпрограмм-процедур построения окна, вывода рамки и включения курсора, а также строки-подсказки о возврате в меню.
6. Завершить работу программы при выборе пункта меню «Выход».

 

     Алгоритм  вычисления интеграла методом Симпсона в подпрограмме-процедуре включает следующие шаги:

1. Создать окно для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления по методу Симпсона.
2. Восстановить отображение курсора нормального размера соответствующей подпрограммой-процедурой.
3. Ввести нижний a и верхний b пределы интегрирования как границы отрезка интегрирования и количество n интервалов его разбиения.
4. Вывести в окне запрос о правильности ввода a, b и n.
5. Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии «Y» перейти к вычислениям, при нажатии любой клавиши перейти к пункту 3 алгоритма.
6. Вычислить значение шага по h формуле h=(b-a)/n.
7. Присвоить первоначальному значению интеграла s нуль и начальному значению аргумента x₀ значение a.
8. Организовать цикл по i от 1 до n.
9. Вычислить по формулам (7) – (9) значения f₀, f₁ и f_2.
10. Вычислить значение s=s+ f₀+4 f₁+ f₂.
11. Вычислить новое значение x=x+h.
12. Закончить цикл по i.
13. Вычислить конечное значение интеграла s=s*h/6.
14. Вывести результаты вычислений в том же окне.
15. Вывести в окне запрос о продолжении вычислений с новыми исходными данными.
16. Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии «Y» перейти в окно с меню, при нажатии любой другой клавиши прейти в окно с заставкой программы.

 

  Алгоритм  вычисления интеграла методом трапеций в подпрограмме-процедуре включает:

1. Создать окно для ввода исходных данных и вывода результатов вычисления по методу трапеции.
2. Восстановить отображение курсора нормального размера соответствующей подпрограммой-процедурой.
3. Ввести нижний a и верхний b пределы интегрирования как границы отрезка интегрирования и количество n интервалов его разбиения.
4. Вывести в окне запрос о правильности ввода a, b и n.
5. Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии «Y» перейти к вычислениям, при нажатии любой клавиши перейти к пункту 3 алгоритма.
6. Вычислить значение шага h по формуле h=(b-a)/n.
7. Присвоить первоначальному значению интеграла s нуль и начальному значению аргумента x₀ значение a.
8. Организовать цикл по i от 1 до n.
9. Вычислить значения f₀ и f₁
10. Вычислить значение s=s+ f₀+f₁.
11. Вычислить новое значение x=x+h.
12. Закончить цикл по i.
13. Вычислить конечное значение интеграла s=s*h/2.
14. Вывести результаты вычислений в том же окне.
15. Вывести в окне запрос о продолжении вычислений с новыми исходными данными.
16. Выполнить анализ кода нажатой в ответ на запрос клавиши: при нажатии «Y» перейти в окно с меню, при нажатии любой другой клавиши прейти в окно с заставкой программы.