Представление информации в вычислительных машинах

Различные хитрые способы кодирования  десятичных цифр внутри тетрады применяются для автоматического обнаружения ошибок в расчетах.

В наиболее часто используемой естественной двоично-кодированной десятичной системе  счисления веса двоичных разрядов внутри тетрады, то есть 8, 4, 2, 1 (см. табл. 1).

Шестнадцатеричная система счисления

При программировании иногда используется шестнадцатеричная система счисления, перевод чисел из которой в двоичную систему счисления весьма прост — выполняется поразрядно (полностью аналогично переводу из двоично-десятичной системы). Для изображения цифр, больших 9, в шестнадцатеричной системе счисления применяются буквы

● А представляет цифру -> 10,

● В -> 11,   ● С -> 12,   ● D -> 13,   ● Е -> 14,  ● F –> 15 (см. табл. 1).

 

Таблица 1. Таблица двоичных кодов десятичных и шестнадцатеричных цифр

 

Цифра	Код	Цифра	Код	Например, шестнадцатеричное число F17B(16) в двоичной системе выглядит так: 1111 0001 0111 1011(2),   а десятичное число 9703(10) в двоично-десятичной системе выглядит так: 1001 0111 0000 0011(2-10).
0	0000	8	1000
1	0001	9	1001
2	0010	А	1010
3	0011	В	1011
4	0100	С	1100
5	0101	D	1101
6	0110	Е	1110
7	0111	F	1111

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.4. Выполнение арифметических операций в компьютере

 

Правила выполнения арифметических операций

в двоичной системе счисления 

Сложение	101110 +	Вычитание	101110 -
	001011		001011
Результат	111001	Результат	100011
Умножение	101101x101     101101     000000     101101	Деление	101101/101 1 10 101
Результат (произведение)	11100001	Результат (частное)	1001

аналогичны правилам операций в  десятичной системе счисления.  

 

 

 

Особенности выполнения операций над числами с плавающей  запятой

 

Кратко остановимся на выполнении операции над числами с плавающей запятой.

 

При сложении (вычитании) чисел с одинаковыми порядками их мантиссы складываются (вычитаются), а результату присваивается порядок, общий для исходных чисел.

Если порядки исходных чисел  разные, то сначала эти порядки  выравниваются (число с меньшим порядком приводится к числу с большим), затем выполняется операция сложения (вычитания) порядков.

Если при выполнении операции сложения мантисс возникает переполнение, то сумма мантисс сдвигается вправо на один разряд, а порядок суммы увеличивается на 1.

 

При умножении чисел с плавающей запятой их мантиссы перемножаются, а порядки складываются.

 

При делении числа с плавающей запятой мантисса делимого делится на мантиссу делителя, а для получения порядка частного из порядка делимого вычитается порядок делителя.

Если при этом мантисса делимого больше мантиссы делителя, то мантисса частного окажется больше 1 (происходит переполнение) и ее следует сдвинуть на 1 разряд вправо, одновременно увеличив на единицу порядок частного.

 

Выполнение арифметических операций над числами в дополнительных кодах

 

При выполнении арифметических операций в компьютере обычно применяются  не простые, а модифицированные коды. Модифицированный код отличается от простого использованием для изображения знака числа двух разрядов.

Второй знаковый разряд служит для  автоматического обнаружения ситуации переполнения разрядной сетки: при  отсутствии переполнения оба знаковых разряда должны иметь одинаковые цифры (нули или единицы), а при переполнении разрядной сетки цифры в них будут разные. При переполнении результат сдвигается вправо на один разряд.

Сложение производится по обычным правилам сложения двоичных чисел: единица переноса, возникающая из старшего знакового разряда, просто отбрасывается.

Примеры сложения:

X=-0,1101; Y=0,1001. Результат сложения: 11,0011 + 00,1001 = 11,1101 (или -1100);

Х= 0,1101; Y=0,1001. Результат сложения: 00,1101 + 00,1001 = 01,0110 (переполнение, после сдвига вправо получим 00,10110, или +10110);

Х= 0,1101; Y=-0,1001. Результат сложения: 00,1101 + 11,0111 = 100,0100(или 00,0100);

X=-0,1101; Y=-0,1001. Результат сложения: 11,0011 + 11,0111 = 110,1010 (переполнение, после сдвига вправо получим 11,01010, или -10110).

 

Умножение чисел в дополнительных кодах производится по обычным правилам умножения двоичных чисел. Единственной особенностью является то, что если сомножитель является отрицательным (знаковые разряды равны 11), то перед началом умножения следует приписать к нему слева столько единиц, сколько значащих разрядов у другого сомножителя справа от запятой. Результат (произведение) всегда получаем в дополнительном коде.

 

 

 

Особенности выполнения операций в обратных кодах

 

Обратные коды следует складывать как обычные двоичные числа, поступая со знаковыми разрядами, как с  обычными разрядами, а если возникает  единица переноса из знакового разряда, ее следует прибавить к младшему разряду суммы кодов.

Последнее обстоятельство (возможное  добавление единицы в младший  разряд) увеличивает время выполнения операций в обратных кодах, поэтому  в компьютере чаще используются дополнительные коды.

 

Выполнение арифметических операций в 16-ричной системе счисления

 

Арифметические операции в шестнадцатеричной  системе в машине не выполняются.

Операции сложения и вычитания  чисел в таком представлении иногда приходится выполнять при программировании, например при вычислении полных адресов ячеек памяти (при сложении и вычитании адресов сегмента, базы, индекса, смещения в ПК).

Правила их выполнения - обычные для позиционной системы счисления.

 

 

3. Особенности представления информации в ПК

 

1. Числовая информация внутри ПК кодируется в двоичной или в двоично-десятичной системах счисления; при вводе и выводе любой информации в ПК используются специальные коды представления информации — коды ASCII (American Standard Code for Information Interchange — американский стандартный код для обмена информацией). Эти же коды применяются для кодирования буквенной и символьной информации внутри ПК.

Для удобства работы введены следующие  термины для обозначения совокупностей двоичных разрядов (табл. 2). Эти термины обычно используются в качестве единиц измерения объемов информации, хранимой или обрабатываемой в компьютере.

Таблица 2. Двоичные совокупности

 

Количество двоичных разрядов в группе	Наименование единицы измерения
1	Бит
8	Байт
16	Параграф
8•10241 = 8•210	Кбайт (килобайт)
8•10242 = 8•220	Мбайт (мегабайт)
8•10243 = 8•230	Гбайт (гигабайт)
8•10244 = 8•240	Тбайт (терабайт)
8•10245 = 8•250	Пбайт (пентабайт)

 

Последовательность нескольких бит  или байт часто называют полем данных.

Биты в числе (в слове, в поле и т. п.) нумеруются справа налево, начиная  с 0-го разряда. В ПК могут обрабатываться поля постоянной и переменной длины.

Поля постоянной длины: □  слово     — 2 байт;   □ двойное слово        — 4 байт;

                                       □ полуслово — 1 байт;     □  расширенное слово — 8 байт.

 

 Числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова и полуслова.

 Числа с плавающей запятой             - формат двойного и расширенного слова.

 Поля переменной длины могут иметь любой размер от 0 до 255 байт, но обязательно равный целому числу байт.

 

Структурно запись двоичного числа -1100 0001₍₂₎, равного десятичному -193₍₁₀₎, в разрядной сетке ПК выглядят следующим образом (рис. 1, 2) –       прижимаясь вправо.

Слово = 2 байт = 16 бит

Разряд	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Число	1	0	0	0	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	1
	Знак числа	Абсолютная величина числа

Рис. 1. Число с фиксированной  запятой формата слово со знаком

 

Двойное слово = 4 байт = 32 бит

 

Разряд	31	30	29	28	27	26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	…	1	0
Число	1	0	0	0	1	0	0	0	1	1	0	0	0	0	0	1	0	…	0	0
	Знак числа	Порядок							Мантисса

Рис.2. Число с плавающей запятой  формата двойное слово

Прижимаясь влево 
Двоично-кодированные десятичные числа могут быть представлены в ПК полями переменной длины в так называемых упакованном (рис. 3) и распакованном форматах.

В упакованном формате для каждой десятичной цифры отводится по четыре двоичных разряда (полбайта), при этом знак числа кодируется в крайнем правом полубайте числа (1100 — знак «+» и 1101 — знак «-»). Здесь: ЦФ — цифра, Знак — знак числа.

 

ЦФ

ЦФ

ЦФ

ЦФ

…

ЦФ

Знак

Рис. 3.Структура  поля упакованного формата

 

В распакованном формате (рис. 4) для  каждой десятичной цифры отводится  по целому байту, при этом старшие  полубайты (зона) каждого байта (кроме самого младшего) в ПК заполняются кодом 0011 (в соответствии с ASCII-кодом), а в младших (левых) полубайтах обычным образом кодируются десятичные цифры. Старший полубайт (зона) самого младшего (правого) байта используется для кодирования знака числа.

 

Зона(0011)

Цф

Зона(0011)

ЦФ

…

Зона(0011)

Цф

Знак

ЦФ

Рис. 4. Структура  поля распакованного формата

Упакованный формат используется обычно в ПК при выполнении операций сложения и вычитания двоично-десятичных чисел.

 

Распакованный формат используется в  ПК при вводе-выводе информации, а также при выполнении операций умножения и деления двоично-десятичных чисел.

 

Например, число -193₍₁₀₎ = - 0001 1001 0011_(2-10) в ПК будет представлено:

 

□ в упакованном: 0001 1001 0011 1101

□  в распакованном формате: 0011 0001 0011 1001 0011 0011 1101 0011