Понятие информатики

 

12. Системы счислений

Совокупность приемов  наименования и обозначение чисел  называется системой исчисления. В  качестве условных знаков для записи чисел используются цифры.

Система исчисления, в которой  значение каждой цифры в произвольном месте последовательности цифр, обозначающей запись числа, не изменяется, называется непозиционной.

Система исчисления, в которой  значение каждой цифры зависит от места в последовательности цифр в записи числа, называется позиционной.

Для перевода чисел из системы  исчисления с основой p в систему  исчисления с основой q, используя  арифметику новой системы исчисления с основой q, нужно записать коэффициенты разложения, основы степеней и показатели степеней в системе с основой q и выполнить все действия в  этой самой системе. 
13.Математический редактор MathCAD: основные понятия. Выполнение численных и символьных вычислений.

MathCAD является математическим редактором, позволяющим производить разнообразные научные и инженерные расчеты. MathCAD очень прост в использовании из–за отсутствия необходимости сначала писать программу, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат.

Возможности MathCAD:

1)математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора MathCAD, который прост в использовании;

2)математические расчеты проводятся немедленно в соответствии с введенными формулами;

3)графики различных типов (по выбору пользователя) с богатыми возможностями форматирования вставляются непосредственно в документы;

4)возможны ввод и вывод данных в файлы различных форматов;

5)документы могут быть распечатаны непосредственно в MathCAD в том виде, который пользователь видит на экране компьютера, или сохранены в формате RTF для последующего редактирования в более мощных текстовых редакторах (например, Microsoft Word);

6)символьные вычисления позволяют осуществлять аналитические преобразования, а также мгновенно получать разнообразную справочную математическую информацию.

Операторы численного и символьного  ввода

Для выполнения простых расчетов по формулам необходимо проделать следующее:

1. определить место в документе, где должно появиться выражение, щелкнув мышью в соответствующей точке документа;
2. ввести левую часть выражения;
3. ввести знак численного равенства = (можно набрать с клавиатуры) или символьного равенства → (этот знак расположен на панели Evaluation (Выражения)).

Задание: Произвести численное и символьное  вычисление arcos(0).

Решение: численный расчет:

                  аналитический (символьный) расчет:

Результат: в первом случае будет рассчитано численное значение выражения, а во втором (если это возможно) – аналитическое.

 

14.Математический редактор MathCAD: решение уравнений и систем уравнений.

 

1 Одно уравнение с одним неизвестным

Для решения алгебраических уравнений с одним неизвестным  в MathCAD предусмотрена встроенная функция root, которая, в зависимости от типа задачи, может включать либо два, либо четыре аргумента и, соответственно, использует разные алгоритмы поиска корней:

1.root(f(x), x) – находит корень, расположенный в окрестности заданного числа ;

2.root(f(x), x, a, b) – находит корень в отрезке , где

 – скалярная функция,  определяющая уравнение f(x)=0;

 – имя скалярной  переменной, относительно которой  решается уравнение;

, – границы интервала внутри которого происходит поиск корня.

Первый тип функции root требует дополнительного задания начального значения переменной , для чего нужно просто перед применением функции root присвоить некоторое число. Поиск корня будет производиться вблизи этого числа.

Задание: Решить алгебраическое уравнение с одним неизвестным .

Решение:

Результат: Хотя уравнение имеет бесконечное количество корней , , MathCAD находит (с заданной точностью) только один из них, лежащий наиболее близко к . Если задать другое начальное значение, например, , то решением будет другой корень и т. д. Таким образом, для поиска корня средствами MathCAD требуется его предварительная локализация.

             3 Решение систем уравнений: вычислительный  блок Given/Find

Рассмотрим решение системы n нелинейных уравнений с m неизвестными:

 

Здесь , …, – некоторые скалярные выражения, зывисящие от скалярных переменных  и возможно еще каких–то переменных.

Для решения систем в MathCAD применяется специальный вычислительный блок Given/Find (Дано/Найти), состоящий из трех частей, идущих последовательно друг за другом:

Задание: Решить систему уравнений

Решение:

 

                            

Результат: В первых двух строках вводятся функции, которые определяют систему уравнений. Затем переменным и , относительно которых она будет решаться, присваиваются начальные значения. После этого следует ключевое слово Given и два логических оператора, выражающих рассматриваемую систему уравнений. Завершает вычислительный блок функция Find, значение которой присваивается вектору . В последних двух строках осуществляется проверка правильности решения системы уравнений.

Вычислительным блоком с  функцией Find можно найти корень уравнения с одним неизвестным. Действия Find  в этом случае совершенно аналогичны действиям в уже рассмотренном примере. Задача поиска решения рассматривается как задача решения системы, состоящей из одного уравнения. Единственным отличием будет скалярный, а не векторный тип числа, возвращаемого функцией Find.

Задание: Решить алгебраическое уравнение

fРешение:

 

 

15Математический редактор MathCAD: работа с матрицами.

1 Транспонирование

Транспонированием называют операцию, переводящую матрицу размером в матрицу размером , делая столбцы исходной матрицы строками, а строки – столбцами. Ввод символа транспонирования (transpose) осуществляется с помощью панели инструментов Matrix (Матрица) или нажатием комбинации клавиш Ctr + l. Не забывайте, что для вставки символа транспонирования матрица должна находиться между линиями ввода.

Задание: Транспонируйте матрицу  .

Решение: 

 

2 Сложение

В Mathcad можно как складывать матрицы, так и вычитать их друг из друга. Для этих операций применяются символы “+” или “–” соответственно. Матрицы должны иметь одинаковый размер, иначе будет выдано сообщение об ошибке. Каждый элемент суммы двух матриц равен сумме соответствующих элементов матриц-слагаемых.

Задание: Найдите сумму  и разность двух матриц и .

Решение:

Кроме сложения матриц Mathcad поддерживает операцию сложения матрицы со скаляром. Каждый элемент результирующей матрицы равен сумме соответствующего элемента исходной матрицы и скалярной величины.

Задание: Вычислите и , если – матрица и – скаляр: и .

 Решение:

 

3 Умножение

При умножении следует  помнить, что матрицу размером допустимо умножать только на матрицу размером . В результате получается матрица размером .

Чтобы ввести символ умножения, нужно нажать клавишу «*» или воспользоваться панелью инструментов Matrix (Матрица), нажав на ней кнопку Dot Product (Умножение). Умножение матриц обозначается по умолчанию точкой.

Задание: Умножить матрицу A на транспонированную матрицу B, если и .

Решение:

Результат: если вычисление невозможно, то программа выделяет красным цветом ошибку.

Аналогично сложению матриц со скаляром определяется умножение  и деление матрицы на скалярную  величину.

 

4 Определитель квадратной  матрицы

Определитель (Determinant) матрицы обозначается стандартным математическим символом. Чтобы ввести оператор нахождения определителя матрицы, можно нажать кнопку Determinant (Определитель) на панели инструментов Matrix (Матрица). В результате появляется местозаполнитель, в который следует поместить матрицу.

Задание: Найдите определитель матрицы A = .

Решение:

 Скалярное произведение  векторов

Скалярное произведение векторов (vector inner product) определяется как скаляр, равный сумме попарных произведений соответствующих элементов. Векторы должны иметь одинаковый размер. Скалярное произведение двух векторов и равно , где – угол между векторами. Если векторы ортогональны, их скалярное произведение равно 0. Обозначается скалярное произведение тем же символом умножения. Никогда не применяйте для обозначения скалярного произведения символ ×, который является общеупотребительным символом векторного произведения. 

Пример:

 

 

 

 

Векторное произведение

Векторное произведение (cross product) двух векторов и с углом между ними равно вектору с модулем , направленным перпендикулярно плоскости векторов и . Обозначают векторное произведение символом ×, который можно ввести нажатием кнопки CrossProduct (Векторное произведение) на панели Matrix (Матрица) или сочетанием клавиш Ctr + 8.

Пример:

 

16Математический редактор MathCAD: построение и редактирование графиков функций.

1. Двумерные графики

1.1Графики в декартовой системе координат

Для построения графика в  декартовой системе координа необходимо:

1.ввести выражение, описывающее некоторую функцию;

2.вывести шаблон X–Y Plot с помощью меню или панели Graph;

3.заполнить две помеченные для ввода позиции: в первую ввести с клавиатуры f(x) (по оси Y), а во вторую ввести  x (по оси X);

4.сделать щелчок мышью вне графика.

Задание: Построить график функции .

Решение:

                           

1.2 Графики в полярной  системе координат

      В полярной  системе координат каждая точка  задается углом φ и модулем радиус–      вектора r(φ). График функции обычно строится в виде линии, которую описывает конец радиус–вектора при изменении угла φ в определенных пределах (чаще всего от  0 до 2π). Опция Polar Plot  выводит шаблон таких графиков в виде окружности с шаблонами данных. Перед построением таких графиков надо задать функцию r(φ). После вывода шаблона следует ввести в шаблон внизу φ, а в местозаполнитель справа – функцию r(φ). После построения графика надо вывести графический курсор мыши из области графика. Функция и переменная могут иметь другие имена. Если необходимо,  то задаются пределы изменения переменной φ.

Задание: Построить график функции .

Решение:

                             

3. Построение нескольких рядов данных

     На одном  графике может быть отложено  до 16 различных зависимостей. Чтобы  построить на графике еще одну  кривую, необходимо:

1.поместить линии ввода таким образом, чтобы они целиком захватывали выражение, стоящее в надписи координатной оси Y;

2.нажать клавишу <,>;

3.в появившемся местозаполнителе ввести выражение для второй кривой;

4.щелкнуть мышью в любом месте вне этого заполнителя (на графике или вне него).

После этого вторая кривая будет отображена на графике. Описанным  способом будет создано несколько  зависисостей, относящихся к одному аргументу. Чтобы на однам и том же графике отложить функции разных аргументов, следует ввести имена этих аргументов через запятую возле оси X.

 

1.4 Форматирование графиков

1. Масштаб осей

 Когда график создается  впервые, MathCAD выбирает представленный диапазон для обеих координатных осей автоматически. Чтобы изменить этот диапазон, необходимо:

a.Перейти к редактированию графика, щелкнув в его пределах мышью;

b.График будет выделен, а вблизи каждой из осей появятся два поля с числами, обозначающими границы диапазона. Щелкнуть мышью в области одного из полей, чтобы редактировать соответствующую границу оси.

c.Удалить содержимое поля;

d.Ввести новое значение диапазона;

e.Щелкнуть мышью за пределами поля и график автоматически будет перерисован в новых пределах.

1.4.2 Свойства осей

 Изменение внешнего  вида шкалы, нанесенной на коордианатную ось, производится с помощью диалогового окна Formatting Currently Selected (Форматирование выбранного графика), в котором следует перейти на вкладку X–Y Axes (Оси X–Y). Вызвать диалог можно двойным щелчком в области графика или выполнением команды Format/ Graph/X–Y Plot или выбором контекстного меню вкладки Format.С помощью флажков и переключателей легко поменять внешний вид каждой из осей. Доступны опции:

a.Log Scale (логарифмичекий масштаб) – график по данной оси будет нарисован в логарифмическом масштабе; полезно, если данные разнятся на несколько порядков;

b.Grid lines (линии сетки) – показать линии сетки;

c.Numbered (нумерация) – показать нумерацию шкалы;

d.Autoscale (автоматический масштаб) – выбор диапазона оси производится автоматически системой MathCAD;

e.Auto grid (автоматические шкалы) – разбиение шкалы производится автоматически процессором MathCAD; если этот флажок снят, то в поле ввода рядом с ним требуется указать необходимое количество меток шкалы;

f.Axes style (вид оси) – можно выбрать один из трех видов системы координат: Boxed (прямоугольная), Crossed (пересечение; координатные оси в виде двух пересекающихся прямых), None (нет; координатные оси не показывабтся на графике);

g.Equal scale (одинаковый масштаб) – оси X и Y принудительно рисуются в одинаковом масштабе.

 

1.4.3 Ряды данных

 Чтобы отформатировать  стиль построения кривых, представляющих  ряды данных, следует перейти  к вкладке Trace (След) диалогового окна Formatted Currently Selected X–Y Plot. На данной вкладке можно выбрать тип кривых (точки и/или линии), форму и размер маркеров точек, тип и толщину линии, а также задать цвет и легенду для каждой из кривых.