Методы анализа и обработки данных

Абстрактная задача может  быть сформулирована следующим образом: в некотором множестве нужно найти элемент, удовлетворяющий заданным условиям. Эти условия можно записать в виде операторного уравнения:

F(x) = y;     x € X;     y € Y, где F = X→Y – отображение (оператор), действующее из множества X в множество Y. Если Y – линейное пространство, то всегда можно считать, что в правой части уравнения стоит нулевой этого пространства.

Чему равна размерность  пространства функций, определенных на конечном множестве, содержащем 12 точек?

Понятие размерности является фундаментальным понятием в физике и математике. Сначала под размерностью понимали минимальное число параметров, необходимых для описания положения  точки в пространстве. Действительно, на плоскости требуется задать две  координаты точки, на отрезке достаточно одной. Несостоятельность такого наивного восприятия размерности стала очевидной  после открытия взаимно однозначного соответствия между точками отрезка  и квадрата и непрерывного отображения  отрезка на квадрат. Первое из них  было построено Кантором, второе - Пеано. Действительно, рассмотрим точку, принадлежащую  единичному квадрату с координатами x=0,a1a2a3… и y=0,b1b2b3… в виде десятичных дробей. Здесь ai и bi - цифры в десятичной записи дробей. Сопоставим этой точке точку единичного отрезка с координатой z=0,a1b1a2b2a3b3…

Сформулируйте задачу аппроксимации функций, заданных на конечном множестве, полиномами.

Основную задачу теории аппроксимации  можно сформулировать следующим  образом: на некотором точечном множестве  в пространстве произвольного числа  измерений заданы 2 функции f(P) и F(P, A1, A2.... An) от точки P, из которых вторая зависит ещё от некоторого числа параметров А1, А2.... Аn; эти параметры требуется определить так, чтобы уклонение в функции F(P, A1, A2.... An) от функции f(P) было наименьшим. При этом, конечно, должно быть указано, что понимают под уклонением F от f или, как ещё принято говорить, под расстоянием между F и f.

Если, например, рассматриваются  ограниченные функции, то в качестве расстояния между двумя функциями  можно взять верхнюю грань  вмодуля их разности. При таком определении расстояния для совокупности всех ограниченных вфункций оказываются справедливыми многие соотношения, которые мы имеем для точек обычного 3х-мерного пространства.

Каким характеристическим свойством обладают полиномы Чебышева.

Полиномы Чебышева обладают рядом  замечательных свойств, которые  позволяют использовать их для построения и описания моделей объектов в  различных областях техники.

Во-первых, полиномы Чебышева обладают таким важным свойством: если на нелинейный элемент, статическая характеристика которого представляет собой полином  Чебышева некоторой степени n, подать гармонический сигнал, например, косинусоидальный (синусоидальный), единичной амплитуды, то на выходе такого нелинейного элемента также будет гармонический сигнал единичной амплитуды, но с n-кратной частотой.

Во-вторых, полиномы Чебышева растут за пределами интервала [-1, 1] наиболее быстро из всех полиномов такой же степени. Их используют для синтеза  линейных фильтров. И такие фильтры  при заданной неравномерности в  полосе пропускания обладают наиболее крутой частотной характеристикой  в полосе запирания по сравнению  с другими фильтрами того же порядка.

В-третьих, полиномы Чебышева являются набором ортогональных с весом  функций, что позволяет представить, например, однозначную статическую  характеристику нелинейного безинерционного звена в виде довольно быстро сходящегося ряда.

Запишите аппроксимирующий полином в виде разложения по полиномам  Чебышева.

В результате получаем коэффициенты полинома Т n (x). Интересно было бы узнать, какую ошибку мы получаем при разложении степенной функции по полиномам Чебышева. Для этого, используя выше описанные алгоритмы, мы сначала представляем функцию y = x n (где n берем от 1 до 10) через полиномы Чебышева (T n), а затем, чтобы оценить ошибку, чебышевское разложение снова превращаем в многочлен. Выполнив эти операции, мы получаем очень необычные результаты. Для нечётных n ошибка настолько мала, что её едва можно различить на графиках. Для чётных же степеней мы можем наблюдать смещение графика, полученного в результате преобразования, вниз относительно оригинала. Это можно объяснить следующим образом. За смещение графика несёт ответственность коэффициент перед x 0. Вспомним алгоритмы, они построены так, что каждый предыдущий коэффициент вычисляется через последующий. В результате накапливающаяся ошибка вычисления больше всего влияет на коэффициент при x 0. Следствием этого является смещение графиков чётных степеней, так как в их разложении присутствует этот коэффициент. Можно отметить также, что смещение при разложении функции y = x 2 больше, чем при разложении функции y = x 10. Этот тоже можно легко объяснить, так как при увеличении степени вклад T 0 в разложении степенной функции значительно уменьшается. Что же будет, если коснуться нечётных степеней. Тогда мы получим такое хорошее совпадение, так как чётные коэффициенты в разложении нечётных степеней равны 0, а коэффициенты при всех степенях x, кроме нулевой, влияют только на отклонение ветвей. Подтверждением этого служат графики

Также в программе было использовано разложение в ряд Тейлора  для сравнения с разложением  по полиномам Чебышева. Прежде всего, было рассмотрено приближение на интервале [-1; 1]. Наложив на график sin (4 x /3) график его приближения полиномами Чебышева и график, построенный с помощью разложения в ряд Тейлора, получаем очень точное совпадение. Визуально невозможно различить три кривых. Рассматриваем график ошибок. В соответствии с теорией ошибка Чебышева знакопеременна и распределена более или менее равномерно по всему интервалу. Ошибка же Тейлора небольшая около 0 и сильно увеличивается при приближении к 1 (заметим, что в этом и в других случаях ряд Тейлора содержит те же степени x, но с иными коэффициентами). Наиболее интересно рассмотреть приближение на более длинных интервалах. На интервале [-1; 1] приближение полиномами Чебышева седьмой степени достаточно хорошее, но уже на интервале [-10; 10] приближение этой же степенью очень плохое. Рассмотрим приближение на этом же интервале полиномом более высокой степени (T 11). Получим достаточно неплохое приближение, причём на графике очень отчётливо видно, что ошибка распределена равномерно. Здесь опять хочется сравнить с разложением в ряд Тейлора. Если посмотреть на графики, мы увидим, что приближение с помощью рядов Тейлора очень хорошее в середине интервала, но имеет сильное отклонение от эталона на концах. Сравним ошибки чебышевского приближения и приближения с помощью рядов Тейлора. При таком сравнении ясно проявляются свойства полиномов Чебышева - максимальная ошибка меньше, чем при использовании ряда Тейлора

Полиномы Чебышева дают великолепное приближение функции в том  смысле, что максимальная ошибка этого  приближения очень мала, но эти  приближения достаточно сложно вычисляются. Обычно относительно малое уменьшение ошибки не стоит того труда, который  необходимо потратить на нахождение этого приближения. Именно поэтому  полиномы Чебышева используют для корректировки  разложения в ряд Тейлора. Нахождение исправленных коэффициентов не составляет особой сложности, поэтому этот метод, называемый экономизацией степенного ряда легко может применяться для повседневного программирования.

Выпишите формулы  для вычисления коэффициентов разложения аппроксимирующего многочлена по полиномам  Чебышева.

Один из подходов к задаче интерполяции - метод Лагранжа.  

Другой подход - метод  Ньютона (метод разделённых разностей).

  - разделённая разность 1-го порядка;

- разделённая разность 2-го

Метод наименьших квадратов 

Выпишите формулы  для вычисления биномиальных коэффициентов.

В математике биномиальные коэффициенты - это коэффициенты в разложении бинома Ньютона    по степеням  . Коэффициент при обозначается    (иногда  ) и читается "биномиальный коэффициент из n по k" (или "це из n по k")