Методы анализа и обработки данных

Качественная  группировка подразумевает выполнение негласного правила: элементы внутри групп  должны быть максимально похожими, элементы из разных групп – максимально  отличаться друг от друга. Особенно это  касается статистических группировок.

 

Сформулируйте задачу интерполяции в стандартной постановке.

 

 

Задача интерполяции в стандартной  постановке заключается в том, чтобы 

найти полином  L_n (x) степени не выше  *, который в узловых точках

принимает те же значения, что и  функция *(x):

 

L_n(x)=y_i                  i= 0,1,2, … * (2.1.2)

 

Любой полином  L_n (x) называется интерполяционным полиномом функции  *(x), а сама приближенная замена

функции еѐ интерполяционным полиномом:    *(x)  ≈ L_n(x)

 

называется интерполяцией функции  полиномом по известным значениям 

функции в узловых точках.

 

Найденный интерполяционный полином  можно использовать затем для

приближенного вычисления значений функции  при произвольных значениях 

аргумента в соответствии с вышеобозначенной формулой.

 

 Опишите конструкцию  интерполяционного полинома Лагранжа.

 

Задача интерполяции называется задачей  собственно интерполяции

(экстраполяции), если точка  x принадлежит (не принадлежит) отрезку a, b .

Различие между задачами интерполяции и экстраполяции носит не только

чисто внешний формальный характер: в общем случае точность решения 

задачи интерполяции существенно  превосходит точность решения задачи

экстраполяции. Это можно считать  подтверждением простой житейской 

истины: предсказание будущего – дело ненадежное и неблагодарное!

В стандартных учебниках по численным  методам доказывается теорема,

согласно которой интерполяционный полином L_n(x)

удовлетворяющий условиям существует, и он единственный.

 

 

Приведите определение  полиномов, по традиции носящих название коэффициентов Лагранжа.

 

Полиномы  L_ni (x), которые по традиции называют коэффициентами

Лагранжа, определяются следующим  образом:

 

   L_ni (x) =

Непосредственно следует, что коэффициенты

Лагранжа обладают следующим характеристическим свойством: 

 

L_ni (x_J)=

 

где используется стандартное обозначением символа Кронекера,

который определяется следующим образом:

 

Например,  , но  .

Из этого следует, что  в узловых точках значения интерполяционного  полинома Лагранжа совпадают со значениями функции.

 

Каким характеристическим свойством обладают коэффициенты Лагранжа?

В отличии от интерполяционного полинома в канонической форме для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительно определять коэффициенты полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента x полином Лагранжа приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в том случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x.

Интерполяционный полином  Лагранжа оказывается очень удобным  для приближенного вычисления определенных интегралов. Если, например, некоторую  функцию заменить интерполяционным полином Лагранжа , то определенный интеграл от нее может быть вычислен следующим образом   .

Значения интегралов от   не зависят от   и могут быть легко вычислены аналитически.

 

 

Чем отличаются задачи собственно интерполяции и экстраполяции  данных?

 

Простейшая задача интерполяции заключается в следующем. На отрезке {a,b}  заданы n+1 точки   x_{i =} x_0, x_1,……, x_n ,    которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x), в этих точках:     f(x₀) = y_0, f(x₁) = y_1…., f(x_n) = y_n

 Различают два вида интерполяции:

• Глобальная – соединение всех точек f(x) единым интерполяционным полиномом
• Локальная – соединение точек отрезками прямой (по двум точкам), отрезками параболы (по трем точкам)

 

Экстраполя́ция, — особый тип аппроксимации, при котором функция аппроксимируется вне заданного интервала, а не между заданными значениями.

Иными словами, экстраполяция — приближённое определение значений функции   в точках  , лежащих вне отрезка  , по её значениям в точках  .

Общая задача экстраполяции заключается в нахождении значений некоторой функции, описывающей изменение показателя во времени, в точке, лежащей вне интервала наблюдения данной функции, что дает возможность использования экстраполяции для целей прогнозирования. 

 

 

Какое отношение задача экстраполяции данных имеет к  предсказанию будущего?

 

К настоящему времени задача экстраполяции нашла широкое применение как способ прогнозирования простых прогнозирующих моделей. Экстраполяция определяет тенденции будущего развития исследуемого явления при условии, что закономерности данного явления, сложившиеся в прошлом, будут существовать и в будущем. Эти закономерности определяют наиболее устойчивые черты прогнозируемою процесса — его тренд, причем предполагается, что он может быть описан с помощью какой-либо функции

 

 

Запишите формулу  для оценки точности интерполяции, основанной на применении теоремы Ролля.

Применяя теорему Ролля, получают следующую оценку погрешности интерполяции:

 

| * (x) – L_n (x) | ≤ | *_n (X) 

 

Опишите конструкцию  интерполяционного полинома Ньютона.

 

 

 

 

Опишите процедуру  вычисления коэффициентов разложения, входящих в выражение (2.2.1) для интерполяционного  полинома Ньютона.

 

Коэффициенты разложения  c_i (* = 0,1,2, … *) должны быть выбраны так,

чтобы в узловых точках значения интерполяционного полинома совпали  со значениями восстанавливаемой функции. Именно благодаря тому, что процедура  последовательного определения коэффициентов разложения доведена в методе Ньютона до полного автоматизма, а выполняемые на каждом шаге действия просты и однотипны, метод пользуется заслуженной популярностью.

 

 

Как рассчитываются разделенные  разности первого, второго и более  высоких порядков для функции, заданной таблично.

 

Процедура вычисления коэффициентов  разложения. Первые, вторые и третьи разделенные разности:

 

 

y₁^{(1) ₌} = 1

 

y₂⁽¹⁾ ₌ =

 

y₃⁽¹⁾ ₌ =

y₂^{(2) ₌} =      

y₃^{(2) ₌} =

y₃^{(3) ₌} =

 

 Перечислите преимущества метода Ньютона.

 

Интерполяционные полиномы Ньютона  удобно использовать при последовательном увеличении степени интерполяционного  многочлена. А также, очень быстрая сходимость по сравнению с методом половинного деления и методом простой итерации к заданной точности. Недостаток: громоздкий алгоритм: на каждой итерации необходимо вычислять значение функции и ее первой производной.

 

 

Каким образом в  методе Ньютона можно получить независимую  оценку точности интерполяции, не опирающуюся  на априорные допущения о характере  поведения восстанавливаемой функции?

 

Исходя из предположения о том, что точность интерполяции близка к разности между двумя последовательными приближениями, в методе Ньютона можно получить разумные оценки точности интерполяции, не прибегая ни к каким априорным допущениям о поведении функции вне узлов интерполяции.

 

 

 Перечислите основные  свойства скалярного произведения.

Линейность по каждому  из своих аргументов (сомножителей):

(£, f + µg,h ) = £ (f, h) + µ (g, h)

(f, £g + µh) = £ (f, g) + µ (f h)

Симметричность:

(g, f) = (f, g)

Положительная определенность:

(f, f) ≥ 0

 

Для любых векторов − a, − b и − c и любого числа   справедливы равенства:

• (− a)2=(− a − b) 0 , причем (− a)2=0 − a=− 0;
• переместительный закон: (− a − b)=(− b − a) ;
• распределительный закон: (− a+− b − c)=(− a − c)+(− b − c) ;
• сочетательный закон:  (− a − b)=( − a − b) .
• Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
• Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.
• Скалярное произведение двух векторов − a(a1;a2;a3)  и − b(b1;b2;b3), заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле (− a − b)=a1 b1+a2 b2+a3 b3.

 

Приведите определение  нормы вектора в евклидовом пространстве.

 

В евклидовом векторном пространстве можно определить норму векторов, согласованную со скалярным произведением:

   ||f ||= (f, f)

Норма обладает следующими свойствами:

Положительность:      ||f || ≥ 0

причем равенство возможно лишь для нулевого вектора f = 0

Линейность:    ||£f || = |£| ||f||

Неравенство Минковского:     ||f + g|| ≤ ||f|| + ||g||

 

Вспомните определение  метрики в евклидовом пространстве.

 

Евклидова дистанция или Евклидова метрика — геометрическое расстояние между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемое по теореме Пифагора.

Евклидова дистанция между точками p и q это длина отрезка  . В Декартовых координатах, если p = (p₁, p₂,…, p_n) и q = (q₁, q₂,…, q_n) две точки в Евклидовом пространстве, длина отрезка p q равна:

 

 

Дайте определение  ортогональности векторов. Какие  векторы называют единичными?

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве

 

 

Вектор называется единичным, если его норма равна 1.

Вектор единичный означает, что ||f || = 1

 

Единичные ортогональные  векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы  i, j и k,  связанные с координатными осями:  i – с осью Х,   j – с осью Y и  k – с осью Z. В соответствии с этим определением: 

 

( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0,  

 

| i | = | j | = | k | = 1. 

 

Любой вектор  a  может быть выражен через эти векторы единственным образом:  a =  x i + y j + z k . Другая форма записи:  a = ( x, y, z ). Здесьx,  y,  z - координаты вектора  a  в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов   i,  j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.

Пусть  a = ( x, y, z );  b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) =  xu + yv + zw.

 

Какие базисы называются ортогональными (ортонормированными)?

 

Базис евклидового пространства называется ортогональным, если различные векторы  базиса попарно ортогональны.

Базис евклидового пространства называется ортонормированным, если он ортогонален  и, кроме того, все векторы базиса единичные.

Ортогональным дополнением к подпространству  V' евклидового векторного пространства V называется подпространство V'', образованное векторами, каждый из которых ортогонален ко всем векторам из подпространства V':

 

V'' = (f'':

f' € V'(f'', f') = 0)

 

 

Сформулируйте абстрактную  задачу аппроксимации и запишите ее решение.

 

Аппроксима́ция, или приближе́ние — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

Аппроксимация позволяет исследовать  числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к  изучению более простых или более  удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко вычисляются, или свойства которых уже известны). В теории чисел изучаются диофантовы приближения, в частности, приближения иррациональных чисел рациональными. В геометрии рассматриваются аппроксимации кривых ломаными. Некоторые разделы математики в сущности целиком посвящены аппроксимации, например, теория приближения функций, численные методы анализа.