Теория и методы принятия управленческих решений

     В целом надежность сформированной экспертизы определяется двумя основными факторами. Во-первых, квалификацией экспертов, их способностью к решению задач данного уровня сложности. Во-вторых, квалификацией исследовательской команды, ее способностью отобрать компетентных экспертов, "извлечь" и аккумулировать экспертные знания о проблеме.

     В связи с дороговизной и сложностью проведения экспертного опроса выбор этого метода должен быть строго оправданным. Имеет смысл привлекать экспертов только для решения нетривиальных масштабных задач, для которых требуется получение независимой, объективной оценки ситуации, а также для выработки решений, которые не могут быть получены никаким другим способом [8].

2.2. Формализованные  методы принятия  решений.

На этапе  принятия решений наряду с использованием методов экспертных оценок полезным инструментом являются и более формализованные методы с применением элементов теории вероятностей [4, 261 c.]. Одним из таких методов является линейное программирование.

     Математические  модели оптимизации позволяют существенно  поднять качество планирования и  управления при реализации различных экономических проектов. Так, если установлено (например, методами математической статистики), что рассматриваемые характеристики зависят друг от друга линейно, причём область допустимых решений задаётся линейными функциями-ограничениями, то для решения таких задач могут быть

использованы  линейные математические модели. При  оптимизации переменной величины в  случае линейности модели применяются  методы линейного программирования. Основное положение в линейном программировании заключается в том, что связь между факторами, влияющими на исследуемую характеристику, линейна. Кроме того, только линейными зависимостями должны быть заданы используемые в задаче функции-ограничения, определяющие область изменения допустимых значений рассматриваемой величины.

Линейное  программирование решает задачи нахождения оптимальных значений переменных для  линейной целевой функции и системы  её ограничений, заданных линейными алгебраическими уравнениями или неравенствами.

Общей задачей линейного программирования называется задача о нахождении максимума (минимума) линейной функции:

F ( X ) =С  ₁ x₁ + C₂ x₂ + ... + Cn xn                            (1.1)

при ограничениях

a₁₁ x₁ + a₁₂ x₂ + ... + a_1n xn ≤ b₁ ;

a x + a x + ... + a x ≤ b ;

21 1         22 2                2n n        2

.........................................

ak₁ x₁ + ak ₂ x₂ + ... + akn xn ≤ bk ;                        (1.2)

ak +1,1 x₁ + ak +1, 2 x₂ + ... + ak +1,n xn = bk +1 ;

ak + 2,1 x₁ + ak + 2, 2 x₂ + ... + ak + 2,n xn = bk + 2 ;

.....................................................

a x + a x + ... + a x = b ,

m1 1          m2 2                mn n         m

x j ≥ 0, j = 1,2,..., l ; l ≤ n. 

     Решение X = ( x1 , x2 ,..., xn ) системы ограничений (1.2), при котором

функция F ( X ) принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным планом задачи линейного программирования. Все остальные решения системы ограничений называются допустимыми планами. Функция F(X) называется целевой функцией. Ограничения (1.2) называются основными.

Стандартной (симметричной) задачей называется задача линейного программирования, в которой все основные ограничения заданы неравенствами и все переменные задачи неотрицательны.

Основной (канонической) задачей называется задача линейного программирования, в которой все ограничения  заданы равенствами и все переменные неотрицательны [5].

     Симплексный метод

     Для нахождения оптимального плана задачи линейного программирования применяется симплексный метод.

Симплексный метод решения задач линейного  программирования основан на идее последовательного улучшения решения задачи, исходя из опорного плана (первоначального решения), найденного каким угодно способом.

В задачах  линейного программирования, как  правило, решаются системы ограничений, в которых число линейно независимых  переменных меньше общего числа переменных задачи.

Любые m переменных системы m линейных уравнений  с n переменными   (m<n) называются базисными (основными), если определитель матрицы размерности m × m коэффициентов при них отличен от нуля. Остальные n − m переменных называются свободными (неосновными).

Симплексный метод позволяет улучшать план задачи наиболее рациональным способом, опираясь на критерии оптимальности решения.

Критерий  оптимальности решения  при отыскании  максимума линейной функции симплексным методом можно сформулировать следующим образом:

если  в выражении линейной функции  через свободные переменные отсутствуют положительные коэффициенты при свободных переменных, то решение оптимально.

Критерий  оптимальности решения  при отыскании  минимума линейной функции:

если  в выражении линейной функции  через свободные переменные отсутствуют отрицательные коэффициенты при свободных переменных, то решение оптимально.

     На  практике удобнее для выяснения  вопроса: является ли найденный план оптимальным, пользоваться оценками переменных ∆ j , j = 1, n , которые вычисляются по формулам

n

∆ j = ∑ Ci aij − C j .                  (1.3)

i =1

     Тогда критерии оптимальности решения  формулируются иначе, а именно:

при отыскании максимума  функции:

если  оценки всех переменных неотрицательны, то значение целевой функции максимально и решение оптимально;

при отыскании минимума функции:

если  оценки всех переменных неположительны, то значение целевой функции минимально и решение оптимально.

     Первоначальное  допустимое решение определяется методом  выравнивания (введением дополнительных переменных, с помощью которых неравенства превращаются в равенства) или М-методом − методом искусственного базиса. [5].

     Целочисленное программирование.

Задачи  оптимизации, в которых переменные принимают целочисленные значения, относятся к целочисленному программированию. Рассмотрим несколько таких задач.

Задача  о выборе оборудования. На приобретение оборудования для нового участка цеха выделено 20000 долларов США. При этом можно занять площадь не более 38 м² . Имеется возможность приобрести станки типа А и станки типа Б. При этом станки типа А стоят 5000 долларов США, занимают площадь 8 м² (включая необходимые технологические проходы) и имеют производительность 7 тыс. единиц продукции за смену. Станки типа Б стоят 2000 долларов США, занимают площадь 4 м² и имеют производительность 3 тыс. единиц продукции за смену. Необходимо рассчитать оптимальный вариант приобретения оборудования, обеспечивающий при заданных ограничениях максимум общей производительности участка.

     Пусть Х - количество станков типа А, а У - количество станков типа Б, входящих в комплект оборудования. Требуется выбрать комплект оборудования так, чтобы максимизировать производительность С участка (в тыс. единиц за смену):

С = 7 Х + 3 У → max .

     При этом должны быть выполнены следующие  ограничения: по стоимости (в тыс. долларов США)

     5 Х + 2 У  ≤  20,

по занимаемой площади (в м2 )

8 Х + 4 У ≤  38,

а также  вновь появляющиеся специфические  ограничения по целочисленности, а  именно,

Х ≥ 0 , У ≥ 0 ,  Х и У - целые числа.

     Сформулированная  математическая задача отличается от задачи линейного программирования только последним условием целочисленности. Однако наличие этого условия позволяет (в данном конкретном случае) легко решить задачу перебором. Действительно, как ограничение по стоимости, так и ограничение по площади дают, что Х ≤ 4. Значит, Х может принимать лишь одно из 5 значений: 0, 1, 2, 3, 4.

     Если  Х = 4, то из ограничения по стоимости  следует, что У = 0, а потому С =  7 Х =  28.

     Если  Х= 3, то из первого ограничения вытекает, что У ≤  2, из второго У ≤ 3. Значит, максимальное С при условии  выполнения ограничений достигается при У =2, а именно С = 21 + 6 =  27.

Если  Х= 2, то из первого ограничения следует, что У ≤  5, из второго также  У ≤ 5. Значит, максимальное С при  условии выполнения ограничений  достигается при У =5, а именно С = 14 + 15 =  29.

     Если  Х= 1, то из первого ограничения имеем У ≤ 7, из второго также У ≤ 7. Значит, максимальное С при условии выполнения ограничений достигается при У = 7, а именно С =  7 + 21 =  28.

     Если  Х= 0, то из первого ограничения вытекает У ≤ 10, из второго У ≤ 9. Значит, максимальное С при условии выполнения органичений достигается при У = 9, а именно С =  27.

     Все возможные случаи рассмотрены. Максимальная производительность С = 29 (тысяч единиц продукции за смену) достигается  при Х = 2, У = 5. Следовательно, надо покупать 2 станка типа А и 5 станков типа Б [9].

     Метод моделирования.

     Моделирование – единственный к настоящему времени  систематизированный способ увидеть  варианты будущего и определить потенциальные  последствия альтернативных решений,  что позволяет их объективно сравнивать.).

     Построение  модели является процессом. Основные этапы этого процесса – постановка задачи, построение, проверка на достоверность, применение и обновление модели.

Постановка  задачи. Первый и наиболее важный этап построения модели, способный обеспечить правильное решение управленческой проблемы, состоит в постановке задачи. Правильное использование математики или компьютера не принесет никакой пользы, если сама проблема не будет точно диагностирована. Правильная постановка задачи важнее даже, чем ее решение. Построение модели. После правильной постановки задачи следующим этапом процесса предусмотрено построение модели. Разработчик должен определить главную цель модели, какие выходные нормативы или информацию предполагается получить, используя модель, чтобы помочь руководству разрешить стоящую перед ним проблему. Также необходимо определить какая информация требуется для построения модели, удовлетворяющей этим целям и выдающей на выходе нужные сведения.

     Проверка  модели на достоверность. После построения модели ее следует проверить на достоверность. Один из аспектов проверки заключается в определении степени соответствия модели реальному миру. Специалист по науке управления должен установить – все ли существенные компоненты реальной ситуации встроены в модель. Второй аспект проверки модели связан с установлением степени, в которой информация, получаемая с ее помощью действительно, помогает руководству совладать с проблемой.

     Применение  модели. После проверки на достоверность модель готова к использованию. Ни одну модель науки управления нельзя считать успешно выстроенной, пока она не принята, не понята, и не применена на практике. Это кажется очевидным, но зачастую оказывается одним из самых тревожных моментов построения.

     Обновление  модели. Даже если применение модели оказалось успешной, почти наверняка она потребует обновления. Руководство может обнаружить, что форма выходных данных не ясна или желательны дополнительные данные. Если цели организации изменяются таким образом, что это влияет на принятие решений, модель необходимо соответствующим образом модифицировать [21].

     Теория  игр. Одна из важнейших переменных, от которой зависит успех организации, - конкурентоспособность. Очевидно, способность прогнозировать действия конкурентов означает преимущество для любой организации. Теория игр – метод моделирования оценки воздействия принятого решения на конкурентов.