Автор: Пользователь скрыл имя, 14 Мая 2014 в 23:09, курсовая работа
Целью данной курсовой работы было рассмотреть следующие задачи:
• дать определение узла и зацепления;
• рассмотреть теорию узлов;
исследовать применение узлов;
Введение 3
1. Теория узлов 5
1.1. История возникновения и развития 5
1.2. ПЛОСКИЕ ДИАГРАММЫ УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ 10
1.3. ИНВАРИАНТЫ ЗАЦЕПЛЕНИЙ 13
1.4. Инвариант раскрасок 13
1.5. Полином Конвея 15
1.6. d–ДИАГРАММЫ 18
2. Применение узлов 30
2.1. Применение 30
2.2. Физики завязали свет узлом 32
Заключение 34
Список использованной литературы 37
Самый известный инвариант — это многочлен Александера, открытый американским математиком Джеймсом Александером в 1928 году. Этот многочлен обозначается ΔK(t) и строится в соответствии с числом пересечений каждого вида, имеющихся на диаграмме данного узла. Например, простому узлу типа «трилистник» соответствует многочлен Александера ΔK(t) = t – 1 – 1 /t. По-разному деформированным вариантам одного и того же узла отвечает один и тот же многочлен Александера; узлы с разными многочленами различны. В то же время два узла с одним и тем же многочленом Александера необязательно эквивалентны. Для многочлена Александера неотличимы, например, прямой узел и «бабий» узел. За последние 60 лет специалисты по теории узлов разработали много других
инвариантов, но многие задачи
Немецкий математик, Эмиль Артин, в 1936 году создал теорию кос. Можно указать (бесконечный) список кос (без повторений) и алгоритм, относящий любой косе ее номер в этом списке.
Как классифицировать узлы? Как указать (бесконечный) список узлов (без повторений) и алгоритм, относящий любому узлу его номер в этом списке.
Проблема систематизации всевозможных положений кривой в пространстве представляется чрезвычайно трудной. Аналитический подход (при котором узлы задаются уравнениями) ничего не дает; комбинаторный подход (при котором мы задаем узел как замкнутую ломаную линию, перечисляя последовательно координаты вершин) также безрезультатен. В этих двух случаях данные, задающие узел, не позволяют ни видеть его, ни манипулировать им. На практике, чтобы увидеть узел, его рисуют, т. е. проектируют на удобно выбранную плоскость, получая так называемую диаграмму узла. Когда манипулируют бечевкой, задающей положение узла в пространстве, его диаграмма претерпевает непрерывные изменения. Они позволяют отслеживать на плоскости эволюцию положений узла в пространстве. А можно ли обратить этот процесс? Можно ли осуществлять непрерывные модификации проекции таким образом, чтобы в результате получить все возможные положения бечевки в пространстве? Вот вопрос, который ставит Рейдемейстер. И он на него отвечает. «Для этого достаточно осуществлять над диаграммой конечное число операций, причем каждая из этих операций либо должна быть тривиальным плоским преобразованием (т. е. деформацией проекции, не меняющей перекрестки и их взаимное расположение), либо должна иметь вид одного из трех преобразований, изображенных на рис.
Теорема об узлах. Узлы образуют ассоциативную и коммутативную систему относительно умножения. В этой системе есть единичный элемент, но нет обратных элементов.
Узлы находят применение как в чистой математике, так и в реальных физических объектах. Часто, узлы способны предложить свежий взгляд на объект, прежде не понимаемый так хорошо. В других случаях, узлы подсказывают
Узлы также интересны и сами по себе. Теория узлов также является популярным разделом современной математики из-за своей доступности для общей
В биологии узлы проявляются в нитеподобной структуре ДНК. Это делает возможным для молекулы ДНК завязываться в узел. Молекулы ДНК очень велики; это позволяет им обладать свойствами сжатия и растяжения, необходимыми для формирования узлов. Используя теорию узлов, биологи способны предсказать на что будут похожи более комплексные структуры.
Исследователи опробовали такие предсказания и подтвердили их верность.
Химики также заинтересованы
Другим крупным полем исследования, на первый взгляд несвязанным с узлами, является статистическая механика. Это направление в физике, моделирующее поведение большого количества частиц. Зачастую, система моделируется в форме решётки. Луис Кауфман и другие теоретики узлов нашли связь между некоторыми моделями статистической механики и узлами. К этому моменту, статистическая механика произвела некоторые открытия в области теории узлов, тогда как теория узлов пока ещё ничего нового не сделала для статистической механики. Совершенно ясно, что эти две области останутся тесно связанными.
Американским физикам удалось доказать, что свет может двигаться по запутанным и замкнутым траекториям (узлам). Работа ученых опубликована в журнале Nature Physics. О том, что свет в принципе может двигаться по подобным траекториям, было
известно еще 20 лет назад. Тогда физики из Мадридского университета показали, что если трехмерное пространство особым образом разбить на окружности (так называемое слоение Хопфа), то эти окружности могут быть решениями уравнения Максвелла. Это уравнение описывает траектории движения света с точки зрения электромагнетизма. Результаты испанских ученых, однако, воспринимались просто как математическая абстракция: можно ли добиться чего-то подобного на практике (в лаборатории) было неизвестно. Американские физики исследовали поведение замкнутых траекторий во времени. Им удалось показать, что большинство траекторий со временем деформируется и увеличивается в размере. Но ученым удалось обнаружить и устойчивые пути, практически не изменяющиеся с течением времени. Сами исследователи заявляют, что о возможном практическом применении данного открытия говорить еще рано, но некоторые общие направления выделить можно. Так, например, одной из проблем в будущих термоядерных реакторах является управление движением плазмы, которое предполагается осуществлять при помощи систем магнитных полей. Конфигурацию этих полей нужно менять со временем. Благодаря новым результатам представляется возможным завязать потоки плазмы в узлы, которые со временем не меняются.
Первые результаты теории узлов являются заслугой физика, Уильяма Томсона (лорда Кельвина). Точкой отсчета (1860) была его идея сделать узел моделью атома, моделью, которую окрестили «атомом-вихрем». Для построения теории материи с этой точки зрения необходимо было начинать с изучения узлов. Теория Кельвина не развилась и скоро была забыта, оставив, в наследство ряд проблем («гипотезы Тейта»), которые физики тогда не смогли разрешить, но с которыми математики сумели разобраться спустя столетие.
Фундаментальную связь между узлами и косами, открыл американец Дж. Александер спустя полвека после неудачного старта Кельвина. Алгебраическая теория кос, разработанная в свое время совсем еще юным немецким математиком Эмилем Артином (Emil Artin), более алгебраична (и, следовательно, более проста и эффективна), чем геометрическая теория узлов. Эта связь (геометрическая суть которой по-детски проста: «замыкание косы») позволила получить — это результат Александера — все узлы, отталкиваясь от кос. И поскольку классификация кос была быстро получена Артином, была сделана, конечно же, попытка вывести из нее классификацию узлов. Усилия в этом направлении не привели к цели, но породили ряд красивых результатов.
Существует хитроумная и одновременно очень простая геометрическая конструкция, принадлежащую немецкому математику Курту Рейдемейстеру. Эта идея позволяет свести изучение узлов в пространстве к изучению их проекций (называемых «диаграммами узлов») на плоскости.
Сществует алгоритм, изобретенный соотечественником Рейдемейстера Вольфгангом Хакеном, который позволяет определить, можно или нельзя развязать данный узел, но этот алгоритм очень сложный. Дело в том, что
иногда, чтобы распутать узел, нужно сначала его еще больше запутать ( так, в переносном смысле, бывает и в реальной жизни).
В 1949 г. немцем Хорстом Шубертом была сформулирована и доказана теорема о существовании и единственности разложения узла на простые множители. Подозрительное сходство между множеством узлов, наделенным операцией композиции (которая состоит просто-напросто в завязывании узлов последовательно один за другим), и множеством натуральных чисел с операцией умножения породила различные надежды. Например, не являются ли узлы не чем иным, как геометрическим кодированием чисел, не сведется ли классификация узлов к банальному пересчитыванию? Эти надежды были разбиты.
Существует одно изобретение, на первый взгляд тривиальное, англо- американца Джона Конвея, одного из наиболее оригинальных математиков
20 века. Речь идет о новых небольших геометрических операциях над диаграммами узлов. В отличие от операций Рейдемейстера, они позволяют изменять не только вид диаграммы узла, но также и тип узла, а иногда преобразовывают его в зацепление. С их помощью можно определять и вычислять вполне элементарным образом полином Александера—Конвея узла (или зацепления). Эти операции дают очень удобный и достаточно эффективный метод доказательства того, что два узла имеют разный тип и, в частности, что некоторые узлы не могут быть развязаны.
Таким образом, теория узлов, блестящий дебют которой состоялся почти сто пятьдесят лет тому назад, развивалась затем благодаря настойчивым усилиям математиков, которыми управляло чисто интеллектуальное любопытство. Чтобы продвигаться, нужны были новые конкретные идеи.
И они возникали в воображении лучших исследователей, порождая каждый раз надежды, часто, увы, чрезмерные. Но каждая неудача позволяла
лучше сконцентрироваться на
Теория узлов остается живой и загадочной. Главные проблемы по- прежнему открыты: узлы продолжают ускользать от попыток их ясно классифицировать, и по-прежнему неизвестно, обладают ли они легко вычислимой полной системой инвариантов. И наконец, та фундаментальная роль, которую, как полагают, они играют в физике, еще до конца не определилась.
0