Узлы и зацепления

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Введение 3

1. Теория узлов 5
1. История возникновения и развития 5
2. ПЛОСКИЕ ДИАГРАММЫ УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ 10
3. ИНВАРИАНТЫ ЗАЦЕПЛЕНИЙ 13
4. Инвариант раскрасок 13
5. Полином Конвея 15
6. d–ДИАГРАММЫ 18
2. Применение узлов 30
1. Применение 30
2. Физики завязали свет узлом 32

Заключение 34

Список использованной литературы 37

 

 

Введение.

Узлы появились в доисторические времена - вместе с первыми нитками и верёвками. Узлами пользовались первые мореплаватели, ткачи, строители... Узлы — предметы простые и наглядные. Все мы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни. Математические узлы во многом напоминают узлы самые обычные, с одним важным отличием - концы узла всегда считаются склеенными. То есть, чтобы развязать на практике математический узел, нам необходимо разрезать нить (веревку, шнурок или что-то еще, что мы использовали для завязывания этого узла). В последние годы математики и физики с огромным интересом и удивительной интенсивностью стали заниматься соответствующими теориями, особенно теорией узлов. Достаточно сказать, что за это время четыре медали Филдса

были получены именно за работы, связанные с этой теорией.

Развитие теории узлов инициировал великий английский физик Дж. Максвелл. Он пришёл к выводу, что волны осуществляют электромагнитные взаимодействия, а потом его осенила ещё более смелая мысль: сами взаимодействующие частицы  – тоже волны;  но  так как частицы (атомы) очень маленькие, а волны – длинные, волны-атомы должны замыкаться на себя на небольшом участке пространства: это узелки, в памяти которых хранится вся физико-химическая информация об атоме, закодированная в самом характере заузливания атома. Максвел и его ученики принялись за исследование узлов, начали их систематическую классификацию в виде таблиц.

Однако наиболее успешно теория узлов стала развиваться лишь вместе с топологией - наукой о свойствах фигур, сохраняющихся при гомеоморфизмах. Математиков привлекла сама красота предмета.

В последние годы теория узлов перестала быть утехой лишь небольшого числа специалистов, неожиданно превратившись в одно из самых модных увлечений математиков, физиков и даже генетиков. Например, в молекулярной биологии при расшифровке аминокислот и изучении ДНК возникла идея о том, что кодирование химической информации происходит в маленьких узелках и косах.

 

Целью данной курсовой работы было рассмотреть следующие задачи:

• дать определение узла и зацепления;
• рассмотреть теорию узлов;
• исследовать применение узлов; 
  

1.Теория узлов.

1.1.История возникновения и развития.

Узел галстука, узлы корабелов и альпинистов, гордиев узел, клубок змей, петля палача... Узлы — это и обиходные предметы, и символы сложности, а порой — метафоры зла. Узлы — точнее, математическая теория узлов — интересует многих биологов, химиков, физиков. Узлы  вошли в моду.

Узлы повсеместно использовались уже со времен античности. Это объясняется их важной технологической ролью, особенно в мореходстве и строительстве. Но появление веревок и узлов произошло раньше, в доисторические времена, и предшествовало изобретению топора, лука, колеса.

Сегодня мы применяем узлы, не задумываясь даже, что их возраст исчисляется тысячелетиями. Нам и в голову не приходит, что такие узлы, как выбленочный, прямой и беседочный (см. рис. 0.1), служили жителям Древнего Египта еще пять тысячелетий назад. (Например, выбленочный узел был обнаружен на двери третьего помещения гробницы фараона Тутанхамона.)

 

 

Рис. 0.1. Прямой, беседочный и выбленочный узлы.

 

 

 

 

 

 

Прямой (или квадратный) узел, хорошо известный в Древнем Египте, был широко распространен в быту древних греков и римлян. Он украшал жезл древнеримского бога Меркурия — покровителя торговли — и назывался nodus Hercules — геркулесовым узлом, так как этот древний герой носил шкуру убитого льва, передние лапы которого связывал на груди именно так.

 

 

 

 

Изобретателями самых хитроумных и надежных узлов оказались моряки. Ведь именно им, чаще, чем постоянным обитателям суши, приходилось иметь дело с веревками и канатами.

Наряду с технологическими и практическими применениями, несомненно, нужно упомянуть также эстетический и магический аспекты. Скандинавские народы (возможно, в силу своей неразрывной связи с морем) особенно любили украшения в виде узлов. Их часто помещали на оружие, форштевни кораблей, применяли для создания узоров.

 

 

 

 

 

 

 

 

Лучшие из узлов пережили века, переходя от поколения к поколению (существует изображения более 700 различных узлов).

Одно из наиболее ярких применений узлов можно увидеть в орнаментах болгарских, новгородских и московских летописей XII–XIV вв.

 

 

 

 

Отметим существенную роль узлов в арсенале фокусника: узлы, которые таковыми не являются, веревки, которые мгновенно развязываются на только что тщательно связанной ассистентке фокусника и т. д. С математической точки зрения некоторые из таких фокусов (доступные начинающему волшебнику).

В обычном смысле под узлом понимается отрезок веревки, расположенный в трехмерном пространстве,  а под  развязыванием узла –

выпрямление этого отрезка путем деформирования его в трехмерном пространстве. Однако если рассматривать узлы с такой точки зрения, то все узлы будут развязываемыми (один конец можно легко протащить через весь узел). Поэтому, для того чтобы иметь содержательную теорию, нужно каким- либо образом закрепить концы (например, взяв два конца в руки, в процессе деформации не выпускать их из рук). Поэтому под узлом будем понимать веревку в трехмерном пространстве, концы которой соединены. Простейший (незапутанный) узел, показанный на рис. 1,а, будем называть тривиальным узлом.

Если задан узел, то его можно шевелить (производить изотопию), двигая его в трехмерном пространстве, при этом не разрывая и не склеивая веревку ни в каких точках (в том числе и не разводя концы).

Возникает естественный вопрос (главный в теории узлов): как по двум заданным узлам понять, изотопны они или нет. Иными словами, можно ли один из них непрерывно продеформировать в другой. Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (то есть можно ли его развязать).

Этот вопрос чрезвычайно сложный. Над ним бьются многие великие ученые вот уже более полутора веков. Достаточно упомянуть имена К.Ф. Гаусса, лорда Кельвина, А. Пуанкаре, М. Дена, а в последнее время четырех

филдсовских лауреатов Э. Виттена, В. Джонса, В. Дринфельда и М. Концевича, получивших свои медали за открытия, связанные с теорией узлов. Проблема распознавания узлов решена лишь частично – алгоритм, решающий ее, существует, но очень сложен нереализуем на компьютере. Однако на пути решения этой задачи возникло много интересных результатов, о части которых мы расскажем в своей работе.

Теорией узлов занимались не только математики. Большая заслуга принадлежит здесь и физикам – начиная от лорда Кельвина, предложившего описывать химические элементы узлами, и кончая Э. Виттеном – единственным физиком – лауреатом филдсовской медали. Многие инварианты узлов (полином Джонса, а также инварианты конечного порядка, называемые также инвариантами Васильева) физики пытаются использовать в своих исследованиях, хотя пока еще рано судить о естественнонаучных успехах этих работ.

В последнее время узлы стали обсуждаться и в других естественных науках: в генетике в связи с зацеплением нитей молекул ДНК, в гидродинамике в связи с изучением устойчивых вихрей, образующих узлы, в ферромагнетизме, где возникают заузленные потоки магнитных полей. Таким образом, эта замечательная и  глубокая математическая теория способствует возникновению новых направлений в нематематических науках.

Простейшие примеры нетривиальных узлов  показаны на рис. 1 Они называются левым трилистником, правым трилистником и восьмеркой соответственно. В дальнейшем мы покажем, что каждый из них нетривиален, а также то, что трилистник (как правый,

так и левый) неизотопен восьмерке.

 

1.2.ПЛОСКИЕ ДИАГРАММЫ УЗЛОВ И ЗАЦЕПЛЕНИЙ.

Прежде чем пытаться развязывать узлы, нужно придумать разумный способ их задания (описывать узел параметрическим вложением окружности в трехмерное пространство очень неудобно). Для этого используем понятие плоской диаграммы узла

(которое уже есть на рис. 1,а-г).

Пусть дан узел в трехмерном пространстве. Рассмотрим какую-нибудь плоскость (которую в дальнейшем будем обозначать через Oxy) и спроектируем его на эту плоскость. Можно выбрать плоскость таким образом, что на проекции будем иметь гладкую кривую с несколькими точками трансверсального самопересечения (то есть не касания кривых, а пересечения, при которой одна ветвь кривой проходит сквозь другую под углом), причем в каждой точке будут пересекаться ровно две ветви этой кривой. При этом в каждой точке пересечения нужно сказать, какая ветвь проходит выше (то есть имеет большую координату z), а какая ниже (см. рис. 1,и). Легко видеть, что такой картинки (кривой на плоскости с двойными точками самопересечения и указанием в каждой точке, какая ветвь проходит выше (образует переход), а какая ниже (образует

проход)) достаточно для того, чтобы задать узел (с точностью до изотопии).

Рядом с теорией узлов находится теория зацеплений.

Под зацеплением будем понимать несколько непересекающихся несамопересекающихся замкнутых веревок (кривых), вложенных в трехмерное пространство. При этом под изотопией зацеплений будем понимать непрерывную деформацию этих веревок в трехмерном пространстве, в процессе которой не происходит пересечений веревок (кривых) друг с другом и самопересечений. Аналогично случаю узлов можно рассмотреть плоские диаграммы зацеплений, которые определяются точно так же, как и плоские диаграммы узлов, с той

лишь разницей, что на плоскости находится не одна, а несколько погруженных кривых.

Под компонентой зацепления понимается узел, представленный одной из окружностей данного зацепления.

Тривиальным зацеплением из n компонент называется зацепление, которое можно продеформировать (произотопировать) в набор из n тривиальных узлов, расположенных в

n различных непересекающихся областях трехмерного пространства.

На рис. 1 показаны также плоские диаграммы простейших зацеплений: тривиальное зацепление из двух компонент (рис. 1,д), зацепление Хопфа (рис. 1,е),

зацепление Уайтхеда (рис. 1,ж) и кольца Борромео (рис. 1,з). В дальнейшем будет показано, что зацепления на рис. 1,е–з не являются тривиальными.

Нашей следующей задачей является попытка распознать по двум заданным плоским диаграммам узлов (зацеплений), задают они изотопные узлы (зацепления) или нет. Обычно для ответа на такие вопросы используют два метода. Если мы хотим доказать, что два зацепления изотопны, то нужно попытаться разбить процесс изотопии на маленькие элементарные шаги из заданного списка (простейшие изотопии). Если же

нужно показать неизотопность двух зацеплений, то можно попытаться найти функцию, которая принимает одинаковые значения на изотопных узлах и разные - на двух заданных. Такая функция называется изотопическим инвариантом зацеплений. Изотопический инвариант называется полным, если для любых двух неизотопных зацеплений дает разные значения. Это значит, что такой инвариант решает обе задачи, то есть всегда точно может сказать, изотопны данные два узла (зацепления) или нет.

Нахождение полного инварианта – чрезвычайно трудная задача. До сих пор ни об одном найденном инварианте зацеплений не доказано, что он является полным.

Приступим к решению первой задачи, то есть к нахождению движений для плоских диаграмм зацеплений. Заметим, что любая деформация плоскости, неизменяющая типа картинки (то есть взаимного расположения перекрестков кривой и дуг, их соединяющих),

не меняет изотопического типа зацепления. При этом существуют еще три движения, называемые движениями Рейдемейстера и обозначаемые через

W1 , W2 , W3 , которые, изменяя расположение перекрестков, не меняют изотопического типа зацепления. Их список показан на рис. 2 сверху.

Каждое из трех движений Рейдемейстера изменяет диаграмму зацепления только внутри маленькой области. Это означает, что вне этой области диаграмма зацепления остается неизменной, а внутри изменяется так, как показано на рис. 2 сверху.

Теперь можно показать, что узел, показанный на рис. 2 снизу слева, тривиален (см. изотопию там же). Однако для того чтобы показать, что два

зацепления неизотопны, просто применять движения Рейдемейстера недостаточно. Мы можем сколь угодно долго их  применять, не получая одинаковых плоских картинок, так и не зная, пора уже остановиться (то есть что зацепления неизотопны) или можно продолжать применять движения Рейдемейстера, пытаясь доказать их изотопность.